上海交大船舶流体力学课件5.pdf

Shanghai Jiao Tong University 2.1.3 Euler方法和方法和Lagrange方法的区别方法的区别 Shanghai Jiao Tong University 2.1.3 Euler方法和方法和Lagrange方法的区别方法的区别 Shanghai Jiao Tong University 加速度： 当地加速度当地加速度 (局部加速度局部加速度) 变位加速度变位加速度 (迁移加速度迁移加速度) (, y,)( , , , ) lim t () xxy zz ttx y z t t uvw txyz t VV a VVVV V VV 2.1.3 Euler方法和方法和Lagrange方法的区别方法的区别 Shanghai Jiao Tong University 2.1.3 Euler方法和方法和Lagrange方法的区别方法的区别 , , ,x y z t , , ; , ,x y z pT ; , , p TV t ( ) t V 参数参数Lagrange法法Euler法法 独立变量独立变量a, b, c, t 因变量因变量 质点导数质点导数 dt d v 2 2 t r Euler法法定义在空间上，各物理量形成场，故广泛采用定义在空间上，各物理量形成场，故广泛采用场论场论知 识，而 知 识，而Lagrange法主要用于象波浪理论、台风等方面。法主要用于象波浪理论、台风等方面。 Euler法法中是一阶导数，中是一阶导数，Lagrange法中加速度是是二 阶导数，故求解问题时， 法中加速度是是二 阶导数，故求解问题时，Euler法比法比Lagrange法容易法容易。 Shanghai Jiao Tong University 2.1.3 Euler方法和方法和Lagrange方法的区别方法的区别 注意注意： Euler方法中的方法中的空间点空间点(x, y, z)与与 Lagrange方法中方法中质点位置质点位置 x, y, z有区别有区别， Euler方法中的空间点方法中的空间点(x, y, z)是是t 的独立变 量即 的独立变 量即与与t无关无关，而，而Lagrange方法中质点位 置 方法中质点位 置x, y, z是是 t 的函数的函数。 Shanghai Jiao Tong University 2.1.3 Euler方法和方法和Lagrange方法的区别方法的区别 Shanghai Jiao Tong University 2.2 迹线和流线迹线和流线 上一节主要从数学上描述 流体运动。在本节，将讲述流 体运动的几何表示。 上一节主要从数学上描述 流体运动。在本节，将讲述流 体运动的几何表示。 Shanghai Jiao Tong University 2.2.1 迹线迹线 定义定义：流体质点流体质点在连续时间内 描绘出来的曲线，就是 在连续时间内 描绘出来的曲线，就是迹线迹线 (pathline)。 由于 。 由于迹线迹线是是流体质点流体质点运动过程 的路径，在 运动过程 的路径，在Lagrange法法中，就 是 中，就 是流体质点的位置函数流体质点的位置函数： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) xx a b c t yy a b c t zz a b c t Shanghai Jiao Tong University 2.2.1 迹线迹线 Shanghai Jiao Tong University 2.2.1 迹线迹线 Shanghai Jiao Tong University 2.2.1 迹线迹线 Shanghai Jiao Tong University 2.2.1 迹线迹线 一般情况给出的是一般情况给出的是Euler方法方法中的中的速度场速度场，即，即: 流体质点在流体质点在 dt 时间内由时间内由空间点空间点(x, y, z)移动到移动到空间点空间点(x+udt, y+vdt, z+wdt)，即移动了，即移动了dr距离，距离，迹线方程迹线方程为：为： ddtrV 或写成或写成 式中式中x, y, z是是 t 函数。 流场中每一点在不同时刻都有 流体质点通过，而 函数。 流场中每一点在不同时刻都有 流体质点通过，而各个流体质点都 有自己的轨迹 各个流体质点都 有自己的轨迹，因此要求，因此要求迹线迹线具体 形状，必须给出 具体 形状，必须给出初始条件初始条件以确定积 分常数。 以确定积 分常数。 ( , )( , , , )tx y z tVV rV d d d d d d x u t y v t z w t dxdydz dt uvw Shanghai Jiao Tong University 2.2.2 流线流线 定义定义：速度场的：速度场的矢量线矢量线，就是，就是流线(流线(streamline) )，它是一条瞬 时曲线，这一曲线上 ，它是一条瞬 时曲线，这一曲线上流体速度流体速度均与均与此线相切此线相切。 在流场中画出一系列假想的曲线，在任一瞬间，使 。 在流场中画出一系列假想的曲线，在任一瞬间，使曲线 上每一点的 曲线 上每一点的切线方向切线方向与流经该点的与流经该点的流体质点的速度方向流体质点的速度方向 一致一致，这些曲线就叫做，这些曲线就叫做这一时刻这一时刻流体的流体的流线流线。 根据定义，即根据定义，即V与与dr平行，因此平行，因此 流线方程流线方程为：为： 其中其中t为参变量，积分时作常数处理。为参变量，积分时作常数处理。 0dVr dxdydz uvw Shanghai Jiao Tong University 2.2.2 流线流线 0dVr Shanghai Jiao Tong University 已知二维速度场，已知二维速度场， u x t vy 1 , (1) 求迹线方程，已知条件为求迹线方程，已知条件为 1,0 1 yt x (2) 求流线方程，已知条件为求流线方程，已知条件为 00 , tt xayb (1) 迹线方程为：迹线方程为： dd , d1d xxy y ttt 积分后可得积分后可得 12 lnln1ln,lnlnxtCytC 即即 1 /1 122 1, x Ct xCtyC eyC e 由由 1,0 1 yt x ，得12 1,1CC 所以迹线方程为： 1x ye 解：解： 2.2.2 流线流线 Shanghai Jiao Tong University (2) 流线方程为流线方程为 11 dd t xy xy 积分可得 1lnlnlntxyC 即 1 t xCy 由 00 , tt xayb 得 a C b 所以流线方程为：1 t b yx a 复习：迹线和流线复习：迹线和流线 Shanghai Jiao Tong University 2.2.2 流线流线 流线性质：流线性质： 具有具有瞬时性瞬时性。 切线方向为速度方向，切线方向为速度方向，流线流线密密处处速度高速度高，稀，稀处处速度低速度低。 流线在流场中流线在流场中不能相交或分叉不能相交或分叉，如有交叉点，则该点速 度必为零（驻点），或无限大（奇点）。 ，如有交叉点，则该点速 度必为零（驻点），或无限大（奇点）。 流线不能在流体内流线不能在流体内中断中断。 由于流场内各点速度矢量与流线相切，由于流场内各点速度矢量与流线相切，流线不能穿过流 线 流线不能穿过流 线，亦即可将，亦即可将流线视为流线视为固壁固壁。 Shanghai Jiao Tong University 2.2.2 流线流线 流管流管 (streamtube) 作一任意封闭曲线作一任意封闭曲线C，在，在C上每一点作出 该瞬时流线，这些流线构成的管状曲面 称为 上每一点作出 该瞬时流线，这些流线构成的管状曲面 称为流管流管。流管具有类似流线性质，具 有瞬时性。当流体作定常运动时，流管 形状将不随 。流管具有类似流线性质，具 有瞬时性。当流体作定常运动时，流管 形状将不随 t 改变，就象真管子一样。改变，就象真管子一样。 流管横截面积流管横截面积称为称为流管截面流管截面，若一段 流管两端的横截面积分别为 ，若一段 流管两端的横截面积分别为A1和和A2，截 面上法向平均流速为 ，截 面上法向平均流速为v1、v2，则根据质 量守恒定理，对不可压流有 ，则根据质 量守恒定理，对不可压流有V1A1=V2A2=Q， 若 ， 若A0，则，则V ，实际流动不可能， 因此 ，实际流动不可能， 因此流管不可能在流场内部中断流管不可能在流场内部中断，它只 能始于及终于流场边界或自行封闭或伸 展到无限远 它只 能始于及终于流场边界或自行封闭或伸 展到无限远。 Shanghai Jiao Tong University 2.2.2 流线流线 流量流量 (flux)： 单位时间单位时间内通过某一内通过某一空间曲线面空间曲线面的的流体体积（质量、重量）流体体积（质量、重量）称 为 称 为体积（质量、重量）体积（质量、重量）流量流量。 体积流量 质量流量 重量流量 体积流量 质量流量 重量流量 对于对于封闭曲面封闭曲面S，均取外法线方向为 正，此时流量为： ，均取外法线方向为 正，此时流量为： Gauss定理定理 1 n n SS Qv dsds V 2n S Qv ds 3n S Qgv ds ddS S VnV Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 理论力学中，理论力学中，刚体刚体运动可分解为运动可分解为平动平动和和转动转动两部分：两部分： r VV M M V r 参考点参考点M运动速度 动点到参考点 运动速度 动点到参考点M矢径 旋转角速度 矢径 旋转角速度 Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 在流体力学中，为研究流体运动，在流场中取出一在流体力学中，为研究流体运动，在流场中取出一微团微团，微团 上某点 ，微团 上某点M(x, y, z)，其邻近一点为，设，其邻近一点为，设M 处流体速度为处流体速度为V，则，则 (,)Mxdx ydy zdz (1)(3 ) ( 2 ) (5 ) ( 4 ) ()()() 11 ()() 22 11 ()()()() 22 MMM MM xyz xyz udxdydz dxdydz dy u y w x w x u y u y u z u z u z v dz x x u u v x u x VVV VV ijk ijk Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 (1) 1 (2)() 2 1 (3)() 2 1 (4)() 2 1 (5)() 2 xx z y xy xz u x vu xy uw zx uv yx uw zx 式中：式中： Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 , xxyyzz uvw xyz 下面对各分项作出物理意义解释下面对各分项作出物理意义解释 (1) 的物理意义的物理意义 Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 只考虑只考虑x向直线变形向直线变形 单位长度伸长：单位长度伸长： / x uu d x d td xd t xx 单位长度伸长速率：单位长度伸长速率： x x x u d tx 同样可说明：同样可说明： , yyzz vw yz 它表示流体微团在它表示流体微团在x方向上的方向上的伸长伸长或或缩短缩短的快慢。的快慢。 称为称为线变形速率线变形速率。, xxyyzz Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 xxyyzz uvw xyz V 很显然有：很显然有： 是是速度的散度速度的散度(divergence of velocity)，表示，表示单位体积单位体积单位时间单位时间 的的体积变化率体积变化率(volumetric strain/ dilatation rate, or rate of change of volume per unit volume )。 V 在在x方向的体积变化：方向的体积变化： x uu Vuxyztuyztxyzt xx 在在x方向方向单位体积单位体积单位时间单位时间的体积变化：的体积变化： as , 0 x u xyzt Vu x xt Vtxyztx Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 同样可得在同样可得在y和和z方向方向单位体积单位体积单位时间单位时间的体积变化：的体积变化： , as , , 0 y z V Vvw yzt VtyVtz 因此因此单位体积单位体积单位时间单位时间的的总体积变化总体积变化： =V as , , , 0 Vuvw xyzt Vtxyz 可用可用速度散度速度散度表示表示流体体积变化率流体体积变化率。V 0V不可压缩流体 Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 0, 0, 0, V V V 表示该流体微团不断有流体流出， 称为 表示该流体 source源() 微团不断吸收流体， 称为 不可压缩流体的速度 s 场 。 汇 是 一 ()。ink 个无源场。 Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 , xyxzzy (2) 的物理意义的物理意义 , xyz (3) 的物理意义的物理意义 Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 / vv tgx txt xx 对一个流体微团，在时间对一个流体微团，在时间dt内内OA的角度变化为：的角度变化为： Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 因此因此OA的的角速度角速度(angular velocity)为：为： as , 0 dv xt dtx 同样可以得到同样可以得到OB的的角速度角速度： as , 0 du yt dty x y O Shanghai Jiao Tong University 2.3 流体微团的变形和旋转流体微团的变形和旋转 11 ()() 22 xy vu xy 表示流体微团中某一直角的表示流体微团中某一直角的角度变角度变 形速率形速率( (rate of angular deformation)， 称为 )， 称为角变形速率角变形速率或称或称剪变形角速度。剪变形角速度。 当时，表示角度变小，反 之，角度变大 当时，表示角