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自然科学史研究 第 30 卷第 2 期 ( 2011 年) : 151169 Studies in the History of Natural Sciences Vol 30No 2( 2011) “ 日影千里差一寸” 观念起源新解 徐凤先 ( 中国科学院 自然科学史研究所， 北京 100190) 何驽 ( 中国社会科学院 考古研究所， 北京 100710) 摘要日影千里差一寸的观念在中国天文学史上产生过深远影响。结合 考古学和考古天文学的新发现和新的研究结论， 并重新分析解读相关历史文献 的记载， 得出日影千里差一寸的观念当产生于国家建立之际黄河中游两个重要 的考古学文化 尧都陶寺和禹都王城岗 的日影观测实践。这两个地点观 测到的夏至日影分别为 1. 6 尺和 1. 5 尺， 也就是 周髀算经 和周礼 所记载的 两个夏至日影长度; 通过对早期长度和距离的分析证明两地之间的直线距离接 近当时的 1000 里。这一时期正是中国文明史上日影测量和大范围地理测量相 继开始的特殊时期， 由此产生了日影千里差一寸的理论观念。 关键词日影千里差一寸周髀算经周礼陶寺王城岗 中图分类号N092P1-092 文献标识码A文章编号1000-0224( 2011) 02-0151-19 收稿日期: 2010-09-27; 修回日期: 2010-12-09 作者简介: 徐凤先， 女， 1965 年生， 黑龙江哈尔滨人， 博士， 中国科学院自然科学史研究所研究员， 主要研究天 文学史、 考古天文学。何努， 笔名何驽， 1963 年生， 北京人， 博士， 中国社会科学院考古研究所研究员， 主要研究 新石器时代晚期至夏商周考古、 中国文明起源考古。 基金项目: 国家自然科学基金( 项目编号: 10873039) ; 中国科学院知识创新工程重要方向性项目( 项目编号: KJCX2-YW-T15) ; 中国科学院自然科学史研究所古代科技史项目( 项目编号: Y023011003) 日影千里差一寸的观念在中国天文学史上产生过深远影响。这一观念从何时出现没 有文献记载。从本文下面的讨论将可看到， 古文献中凡对此有详细解释的， 都是将这一观 念理解为在正南北方向上日影千里差一寸。但是因为天地并非平行的平面， 日影在南北 方向上千里差一寸在事实上并不成立， 所以此观念不会得自于南北方向相距千里的两个 地点的实际测量结果。相反， 真正南北方向上的一系列测量结果一定会否定这一观点， 历 史的发展正是如此。南北朝时期刘宋元嘉十九年( 442) 使使往交州测影， 何承天以所得 数据与阳城比较， 始发现千里差一寸之说与当时的实际距离存在巨大差距。( 1 ， 563 页) 唐代的一行和南宫说组织大规模的测量， 在河南选择在同一经线上的四个点以水准 法测量其距离， 并测夏至日影和北极高度， 得出“大率五百二十六里二百七十步， 晷差二 寸余。而旧说王畿千里， 影差一寸， 妄矣” 2 ， 测出这四个点间的数据， 其实已经认识到了 152自然科学史研究30 卷 日影的变化是不均匀的。 虽然到唐代已完全认识到了日影千里差一寸这一观念与事实不符， 但对其产生的原 因， 中国古代没有进行过探究， 直到近年才有学者尝试寻找答案。 席泽宗提出这一观念可能和周初封疆测距离有关 ， “ 千里差一寸 的数据， 当是在这种 测量中得出的经验数字” 。 3 受此启发， 汪小虎提出 “ 日影千里差一寸 说的起源是近距离 测量经验” ， 这种经验与勾股测量术结合， 加上中国古人认为天地是平行的， 因此把它推广到 对宇宙结构的测量中。 4 但该文对于具体在什么时代、 在多大范围内的近距离测量、 测量的 结果如何、 从小范围的经验到大范围的推广会产生多大的误差等等， 都没有作具体研究。 本文提出 ， “日影千里差一寸” 观念的产生远在史前， 它产生于早期日影测量与早期 的其他历史活动中， 其中的 “千里” 并不是指南北方向上的 1 千里， 而是两测量地点的大 致直线距离， 且当时 1 里长度也不是后来的 1 里或现在的 1 华里， 而相当于今 250 米， 即 0. 5 华里。由于当时中国文明的发展处在正午日影测量和大范围的地理测量的早期阶 段， 相关的两个日影测量地点具有特殊的政治地位， 因而建立了 1 千里和 1 寸的关联。 1“ 日影千里差一寸” 的早期文献记载 早期记载日影千里差一寸的文献有 周髀算经 、 淮南子天文训 、 尚书纬考灵 曜 、 张衡 灵宪 、 郑玄注 周礼 等。 1. 1文献中的记载 有关日影千里差一寸的记载被引用最多的是周髀算经 。周髀算经 有一套完整 的天地大小的计算模式， 其中 “日影千里差一寸” 是一个重要前提。 周髀算经 第一段写周公问商高勾股方圆之法。第二段则是荣方与陈子的问答。 先记荣方请教陈子 “今者窃闻夫子之道， 知日之高大， 光之所照， 一日所行， 远近之数， 人 所望见， 四极之穷， 列星之宿， 天地之广袤， 夫子之道皆能知之， 其信有之乎?” 陈子启发荣 方思之再三。最后荣方表示 “方思之以精熟矣， 智有所不及， 而神有所穷， 智不能得， 愿终 请说之” ， 陈子于是答复荣方之问， 一开始就是: 夏至南万六千里， 冬至南十三万五千里， 日中立竿无影。此一者天道之数。周髀 长八尺， 夏至之日晷一尺六寸。髀者， 股也。正晷者， 句也。正南千里， 句一尺五寸。 正北千里， 句一尺七寸。日益南， 晷益长。( 5 ， 1820 页) 没有对日影千里差一寸的由来作任何介绍， 直接将其作为一个公理。可见在周髀算经 成书的时代， 日影千里差一寸早已成为一个无需证明的公理。 与 周髀算经 成书年代大致相当的 淮南子天文训 也有相关记载: 树表高一丈， 正南北相去千里， 同日度其阴， 北表一尺， 南表尺九寸， 是南千里阴 短寸， 南二万里则无影。( 6 ， 54 页) 其中 “北表一尺” 显系 “二尺” 之误。与其他文献不同的是 ， 淮南子天文训 记载的表 高为 1 丈。 尚书纬考灵曜 已佚 ， 隋书天文志 引其中的相关记载为: 日影于地千里而差一寸。( 1 ， 563 页) 2 期 徐凤先等 : “日影千里差一寸” 观念起源新解153 郑玄注 周礼地官大司徒 说: 凡日景于地， 千里而差一寸。( 7 ， 66 页) 张衡 灵宪 中的相关内容为: 将覆其数， 用重钩股， 悬天之景， 薄地之义， 皆移千里而差一寸得之。 8 可见， 日影千里差一寸在汉代及汉代以前是一种普遍的认识。 1. 2日影千里差一寸并非盖天家说 因为日影千里差一寸出现在盖天说的代表著作周髀算经 中， 因此经常被作为盖天 说的理论。 通过简单的几何画图和计算就可以知道， 只有天地平行日影长度的变化才会是线性的。 如图1， 表高 Lb， 日高 H， 表影长 Ly， 测量地点到日下距离 D。由相似三角形比例关系可知， 图 1日高与表影示意图 Lb/H = Ly/D( 公式 1) 因此， Ly= ( Lb/H) D( 公式 2) 因表高 Lb与日高 H 是不变的， 所以日影 长度与观测地到日下的距离是线性关系。 然而周髀算经 中关于天地的形状又 有明确的叙述 : “天象盖笠， 地法覆盘” ， “极 下者高人所居六万里， 滂沲四聵而下。天之 中央亦高四旁六万里。 ” 这样天地就不是两 个平行的平面， 其形状变得很复杂， 对此已有 很多讨论， 例如李约瑟 9 ， 钱宝琮10 ， 江晓原11 等， 在此不详述。按唐代李淳风的理解: “以理推之， 法云天之处心高于外衡六万里者， 此乃语与术违” ( 5 ， 21 页) ， 即周髀算 经 中叙述的天地形状与其日影千里差一寸的计算方法不符。陈美东也指出 ， 周髀算 经 整个系统虽经过精心设计， 但 “存在严重的顾此失彼的现象” ( 12 ， 94 页) 。 值得注意的是， 浑天家也认为日影千里差一寸。张衡是东汉中期著名的浑天家， 曾制作水 运浑象。如前节所引， 他在 灵宪 中也认为日影千里差一寸。三国时吴国的王蕃也是著名浑天 家， 著有 浑天象说 ， 并制作浑象， 他也将日影千里差一寸作为推算天地大小的基本假设。 13 浑天说经西汉中期到晚期 “落下闳营之， 鲜于妄人度之， 耿中丞象之， 几乎几乎， 莫之 能违也” 14 ， 扬雄本人更提出了 “难盖天八事” ， 浑天说的地位得到确认。而东汉前期又有 王充对浑天说进行批判并对盖天说加以发展( 12 ， 9598 页) 。因此东汉中期直至三国时 代， 浑天家与盖天家应该是泾渭分明的。如果在当时日影千里差一寸被认为完全属于盖天 家的学说， 那么张衡、 王蕃作为浑天家的代表人物， 不应该不加深究地接受这一说法。 盖天家和浑天家都接受这一说法， 说明当时日影千里差一寸是独立于盖天说和浑天 说之外的一种不可动摇的观念， 应该有其独立的源头。 2“ 千里差一寸” 中的“ 里” 与“ 尺” ( “ 寸” ) 从几何模型上看， 天地平行的假说只能得出日影均匀变化， 并不能得出具体变化的幅 154自然科学史研究30 卷 度， 也就是说， 得不出来具体的千里和一寸的对应关系。 由前面日影公式( 1) Lb/H = Ly/D 可见， 表影长度与表高之比等于观测地到日下距离 与日高之比。只要表影长度和表高采用同一长度单位， 日高与观测地到日下距离采用同 一长度单位， 不管这两个单位是什么， 或者其具体的长度为多大， 公式( 1) 都是成立的。 所以从公式( 1) 中得不出来 “尺” ( 等于 10“寸” ) 和 “里” 的长度的换算关系。 2. 1西周以来的 “里” 与 “尺 ” ( “寸” ) 中国古代表示较小的长度的单位是十进制的 。汉书律历志 有 : “度者， 分、 寸、 尺、 丈、 引也， 所以度长短也。一为一分， 十分为寸， 十寸为尺， 十尺为丈， 十丈为引， 而 五度审矣。 ” 15 出土的最早的商代的尺证明当时分、 寸、 尺之间确实是十进制的。16 1 丈 =10 尺 =100 寸 =1000 分， 历代没有过变化。 但是， 丈、 尺、 寸、 分这些长度单位在中国古代具体指多长呢? 研究表明， 天文上专门 用的尺寸在相当长的时间内曾延续固定的长度， 自北周至明代天文上所用的尺寸一直保 持不变， 1 尺 =24. 525 厘米。 17 但是， 民间所用的尺度并不是一直不变的。更重要的是， 用于度量长距离的单位 “里” 与短距离的单位 “尺” ( 与 “寸” ) 的关系不是固定不变的。 里的长度与尺的长度是通过“步” 这个单位联系起来的。对于一里的长度的解释， 谷梁传 有记载 : “古者三百步为里， 名曰井田。井田者， 九百亩， 公田居一。 ” 18 韩诗外 传 也有 : “古者八家而井田， 方里为一井， 广三百步， 长三百步为一里。其田九百亩。广 一步、 长百步为一亩。 ” 19 其他文献的记载也很多。在唐代以前， 一直采用一里等于三百 步， 到唐初以后改为一里等于三百六十步， 元代可能采用过一里等于二百四十步。 20 步与尺的换算关系也是有变化的 。礼记王制 记载的步与尺的关系为 : “古者以 周尺八尺为步， 今以周尺六尺四寸为步。 ” 21 汉书食货志 也有记载 : “理民之道， 地著 为本。故必建步立亩， 正其经界。六尺为步， 步百为亩， 亩百为夫， 夫三为屋， 屋三为井， 井 方一里， 是为九夫” 22 。唐代改为五尺一步， 采用的是大尺， 五尺一步实际上相当于以前 的六尺一步。 20 因为历代民用尺的长度多有一些变化， 步与尺的对应关系又不固定， 所以 一步的长度和一里的长度也在变化。 由此可见， 尽管天文上用的尺度自北周到明代能长期维持不变， 但是民用的“里” 的 长度在不同时代是有变化的。 现代天文史家对于古代天文文献中的 “里” 与“尺” 的换算关系以及“里” 本身的长度 的认识也有出入。如对于唐代 1 里的长度， 陈美东说 : “一行和南宫说所说的 1 里， 是为 150 丈 =1500 尺” ; 23 薄树人说 : “中国古代1 里等于300 步， 1 步等于5 尺”24 ， 二者都接 受伊世同的研究结论， 即 1 天文尺 =24. 525 厘米， 由此则二人都认为 1 里 =367. 875 米; 而吴守贤、 全和钧认为 “唐代的一里相当于现代的 371. 25 米” 25 ， 未说明原因。又如对于 唐代一行、 南宫说所测得的 “南北距离 351 里 80 步， 北极高度相差一度” 这一结果， 薄树 人给出过两个长度 : “南北距离351 里80 步， 北极高度相差一度。这个数据就是地球子午 线上一度的长。化成现代的度量单位， 子午线1 度长129. 22 公里” 24 ， 这无疑是按照351 里 80 步 =351. 267 里， 351. 267 367. 875 1000 =129. 22 公里， 计算得到的， 1 度指唐代 的度; 陈美东算出 “子午线每 1长为 131. 11 公里” 23 ， 与此是一致的; 但薄树人在另一篇 文章中又说 : “一行由此算出每隔 351 里 80 步北极高度即差一度。化为现代的单位后得 2 期 徐凤先等 : “日影千里差一寸” 观念起源新解155 地球子午线 1的长为 151. 07 公里” ， 26 未说明计算方法。 再如陈美东先生在 中国古代天文学思想 一书中， 计算 山海经海外东经 中竖亥 步东极至于西极的距离时明言 1 里 =300 步， 但没有明言一步等于多少尺， 不过从他计算 出的数据可知， 此处他用的 1 步 =5 尺， 1 里 =1500 尺( 12 ，176 页) ; 但在计算洛书 甄曜度 和 春秋考异邮 的数据时， 则明言 “ 1 里 =300 步， 1 步 =6 尺 =60 寸 =600 分” ( 12 ， 177178 页) ， 则是 1 里 =1800 尺。 可见， 文献可考的最早的里和步的换算关系是一里等于三百步， 但其可靠证据只能上 推到西周， 其创制显然是为了方便井田制的计算。而步与尺的换算关系有 1 步等于 6 尺、 5 尺、 8 尺、 6 尺 4 寸等不同制度。由此带来的后果是， 千里差一寸中“里” 和“寸” 的对应 关系不同人有不同的理解。 西周之前里和步的换算关系、 步和尺的换算关系没有可靠的文献记载， 不能以西周以 后的对应关系来看待。 2. 2陶寺的尺寸与早期 “里” 的合理假设 如前引 汉书律历志 所载， 十进制在后世长度单位中普遍使用， 汉代是从“分” 到 “引” 共 5 级单位。出土的商代的尺也是十进制。 如果假设最初的表示长距离的单位 “里” 与表示短距离的单位 “尺” 的对应关系， 最简 单也最符合逻辑的假设就是 1 里 =1000 尺。何驽对陶寺文化长度单位的研究得出， 陶寺 的1 尺等于25 厘米， 1 寸等于2. 5 厘米， 5 尺等于1 步。 27 按照这种关系， 1000 尺 =200 步 =1 里， 相当于现在的 250 米。 2. 3早期 “里” 的假设之文献证据: 有关天地尺寸的记载 早期的长度单位中， 1 尺 =5 步、 1000 尺 =1 里， 这一假设并不是没有文献上的依据， 只是需要通过仔细的分析。相关的依据就是中国古代关于天地尺寸的不同文献记载。 2. 3. 1先秦到汉代文献中的天地尺寸 先秦到汉代的文献有很多描述过天地的尺寸。其中最多见的有两套， 一套是23 万余里， 多指四极之内; 一套是东西28000 里， 南北26000 里， 多指四海之内。如 淮南子墬形训 : 四海之内， 东西二万八千里， 南北二万六千里， 水道八千里， 通谷六， 名川六百， 陆 径三千里。禹乃使太章步自东极至于西极， 二亿三万三千五百里七十五步， 使竖亥步 自北极至于南极， 二亿三万三千五百里七十五步。 “亿” 在此无疑指较万大1 级的十进制数量单位， 即 10 万。此外还有二种， 一种四极之内东 南西北的数据同为五亿九万七千里， 仅见于 吕氏春秋有始览 ; 28 一种东西 90 万里、 南 北80 或81 万里之说， 仅见于纬书之中， 其自相矛盾之处陈美东先生已指出( 12 ， 179 页) 。 23 万余里的数据实际上是指从北极到冬至日下的距离， 其数据来自于类似 周髀算经 中的计算方法， 以日影千里差一寸为前提， 计算从北极下到周地加上从周地到冬至日下得到 的距离 。周髀算经 中北极 “勾一丈三寸” ， 即周地到极下 103000 里 ， “冬至晷长丈三尺五 寸” ， 即周地到冬至日下距离为 135000 里， 这样冬至日道的半径就是 238000 里。不同的文 献关于冬至日影长度又有一丈三尺之说( 下面将论及) ， 如果仍然按北极高度一丈三寸计， 则北极下到冬至日下的距离为233000 里。因此23 万余里是一个理论上的计算数字。 2800026000 里是指四海之内。先秦到汉代的文献中记载很多 ， 淮南子墬形训 156自然科学史研究30 卷 中的记载已如前引。又如 管子地数 : 地之东西二万八千里， 南北二万六千里。 29 吕氏春秋有始览 : 凡四海之内， 东西二万八千里， 南北二万六千里。 28 山海经中山经 : 天地之东西二万八千里， 南北二万六千里。出水之山者八千里， 受水者八千里。 出铜之山四百六十七， 出铁之山三千六百九十。( 30 ， 53 页) 尸子 : 八极之内有君长者， 东西二万八千里， 南北二万六千里。 31 人们可以大致描述这个范围内有多少山多少水多少矿产， 因此这个范围是当时的人们所 能到达的、 或通过口口相传所能够证实的世界 ， 河图括地象 对此已有明确说明: 八极之广东西二亿三万三千里， 南北二亿三万一千五百里。夏禹所治四海内地 东西二万八千里， 南北二万六千里。 32 认为东西二万八千里、 南北二万六千里这个范围是夏禹所控制的四海之内的范围。 2. 3. 2从天地尺寸看 “步” 与 “里” 的限制 淮南子墬形训 中禹使太章和竖亥所步的东极至于西极、 北极至于南极之数都是 “里” 和 “步” 混用 ， “步” 在 “里” 的后面， 显然是比 “里” 小的单位; 前引几种“里” 和“步” 混 用的距离中 ， “步” 都是 “七十五步” ， 因此1 里至少要大于75 步。先秦到汉代文献中 “里” 和 “步” 混用的、 描述西周之前事件的尺寸中， 最大的“步” 的数据是淮南子墬形训 中 : “禹乃以息土填洪水以为名山， 掘昆仑西以下地， 中有增城就重， 其高万一千里百一十 四步二尺六寸” ( 6 ， 56 页) ， 此段所言虽如高诱注 “此乃诞， 实未闻也” ， 但这个文献所见 的最大的 “步” 的数据也没有超过 200， 与我们 200 步为一里的假设不相矛盾。但从这些 数据中仍无法看出 “步” 与 “里” 的换算关系。 2. 3. 3早期 “步” 与 “里” 的换算关系 幸运的是 ， 山海经海外东经 中有一套只用 “步” 来表示的天地大小的数据: 帝命竖亥步自东极至于西极， 五亿十选九千八百步。竖亥右手把算， 左手指青丘 北。一曰禹令竖亥， 一曰五亿十万九千八百步。( 30 ， 61 页) 郭璞注 山海经 : “选， 万也。 ” 陈美东认为 ， “1 亿为 10 万里， 选亦即万” ， 这样“五亿十选 九千八百步” 等于 500000 +100000 +9800 =609800 步， 陈先生依 300 步 =1 里， 得到此处 的距离为约 2033 里; 再以古 1 尺 = 今 24 厘米计算， 得到此处的距离约相当于 740 千米。 对于这一结果， 他说 : “即便就地径来说， 这未免也太小了。 ” ( 12 ， 176 页) 确实， 没有任 何文献记载地的大小近于 2000 里。 其实陈先生此处的算法是可商榷的。因为如果此处 “亿” 指十万， 那么“五亿十选” 可 以直接说 “六十选” 或 “六亿” ， 既然说成 “五亿十选” ， 则表明 “一亿” 不等于 “十选” 。在中 国古代 ， “十 ” 、 “百 ” 、 “千 ” 、 “万” 所指的数字大小从来都是固定的， 如 汉书律历志 说: “数者， 一、 十、 百、 千、 万也” ， 最大的单位是万， 并未列入“亿” 。秦汉以前 ， “万” 是常用的 最大的数量级 ， “亿” 经常用来表示较 “万” 大一级的数字， 即“十万” 33 ， 但是这一点并不 绝对。如 礼记王制 中有 : “方一里者为田九百亩; 方十里者为方一里者百， 为田九万 2 期 徐凤先等 : “日影千里差一寸” 观念起源新解157 亩; 方百里者为方十里者百， 为田九十亿亩; 方千里者， 为方百里者百， 为田九万亿亩。 ” 如 郑玄所注， 这一段中第一个“亿” 是指十万， 第二个“亿” 是指 1 万。 21 所以， 汉代之前， “亿” 不象 “十 ” 、 “百 ” 、 “千 ” 、 “万” 一样永远指固定的数字“十万” 。无疑正是因为这个原 因， 到了汉代 ， “亿” 就用来指万万了 ， 汉书律历志 所载的三统历中“亿” 都是指一万 万， 汉以后固定下来不再变化。 再来看 山海经海外东经 中的竖亥步自东极至于西极的数字 。“五亿” 后面跟“十 选九千八百步 ” ， “选” 指万无疑 ， “十选” 指十万 ， “亿” 在“十选” 之前， 所以此处“亿” 当指 比 “十万” 大一级的数量单位， 即百万。这样“五亿十选九千八百步” 就是指 5109800。根 据何驽对陶寺度量单位的研究， 当时 5 尺等于 1 步。按照本文前一节的假设， 当时 1000 尺等于 1 里， 就相当于 200 步等于 1 里， 那么 5109800 步相当于 25549 里， 这个数字很接 近于 26000 里。 太章、 竖亥所能步测的， 显然不是日道的半径， 而是当时禹所能控制、 加上他所耳闻的 地理范围。各种文献在撰写和转抄中会误将冬至日道半径的四极之内与大禹时代所能步 测的四海之内弄混， 因此出现混乱 。山海经海外东经 中竖亥所步测的应该是四海之 内 ( “东极至于西极” 应为 “北极至于南极” 之误) ， 而 淮南子墬形训 中的太章、 竖亥步 四极的数据当是依日影千里差一寸计算的冬至日道的半径， 而不是太章、 竖亥步测的四海 之内的数据。 各种文献均认为太章、 竖亥步东西、 南北之事发生在夏禹时。大禹距帝尧时代很近， 大约相当于考古学所谓的 “龙山时代晚期” ， 在黄河中游地区最有代表性的两个文化是晋 南的陶寺文化和豫西的王湾三期文化( 又称河南龙山文化) 。根据考古界多数学者认为 陶寺文化与尧舜有关， 王湾三期文化与早期夏文化有关， 我们认为以陶寺文化的长度单位 推测同时期的王湾三期文化也采用相同的长度换算单位是合乎逻辑的。我们看到， 由此 得到的 山海经海外东经 中竖亥步自东极至于西极的距离与其他文献中记载的四海 之内的距离可以吻合。这证明了我们关于黄河中游龙山时代晚期或文献上所称的尧舜禹 时代 5 尺 =1 步， 1000 尺 =200 步 =1 里的假设具有相对合理性。 此处出现一个让人惊愕的结果。按照当时 1000 尺 = 1 里 = 250 米计算， 28000 里相当于现在的 7000 公里， 26000 里相当于 6500 公里。在地球上北纬 34 35 度的纬度处从东向西直行， 从中国的东部沿海出发， 过中 国中原地区 也就是夏人所居住的地区， 向西越过昆仑山和西亚地区， 将直达叙利亚地中海沿岸。登封告 成王城岗纬度为 3424， 按地球平均半径 6371 公里计算， 这一纬度的纬圈长度为 2 6371 cos3424 = 33012 公里。在这一纬度中国东部沿海的经度约在东经 120 度， 叙利亚地中海沿岸所在的经度约为东经 36 度， 跨越 84 度经度， 其长度为 33012 84 360 =7703 公里。对比当时的 28000 里相当于现在的 7000 公里可 见， 如果认为东西 28000 里是当时实测所得， 则东西方向测出的距离较真实距离小 2812 里( 703 公里) ， 测量 误差为 10%。在王城岗所在的经度( 东经 113 度 7 分) 上， 欧亚大陆最南端的纬度约 22 度， 最北端的纬度约 74 度， 跨越 52 度。经向长度为 6371 52/180 =5579 公里。对比古代的 26000 里等于现在的 6500 公里 可见， 经向的测量较实际值大出 3684 里( 921 公里) ， 误差 16. 5%。因为南北向的测量很难保证在同一条经 线上， 17、 18 世纪在海上确定经度仍然是欧洲人面临的一个巨大的难题， 所以经向距离的测量较实际值偏大 完全在预料之中。加之如果当时测量最南端的地点向西偏移到达雷州半岛最南端甚至海南岛的南端， 则纬 度要低 24 度; 如果北端的地点偏西， 到达泰梅尔半岛， 则纬度要高 2 4 度， 都会造成测出的距离偏大。纬 度 4 度的经度长度约 445 公里， 相当于当时的 1780 里。由此看来， 先秦到汉代文献中一致认为的大地东西 28000 里、 南北 26000 里应该不是出于凭空臆想的杜撰。 158自然科学史研究30 卷 3一寸与千里 陶寺与王城岗 现在换一种思路， 检核一下早期文献中记载的日影长度是否有正好相差 1 寸的两 个数据。我们惊讶地发现， 早期日影长度记载影响最广泛的就是两种， 一种是周髀算 经 中的夏至一尺六寸、 冬至一丈三尺五寸， 另一种是周礼 中的夏至一尺五寸。这两 个夏至数据之间相差正好 1 寸。下面将论证， 这两个数据中的前者极可能是得自于山 西临汾陶寺遗址的理论数值， 陶寺是许多学者认同的帝尧都城34; 后者很可能得自于 河南登封告成王城岗遗址， 这是许多学者认同的禹都阳城35， 陶寺到王城岗之间的距 离很接近于当时的 1000 里。当时的日影观测和特定的历史发展阶段产生了日影千里 差一寸之说。后来因为大禹开创了中国历史上的第一个王朝国家所拥有的特殊重要 性， 登封告成 也就是至迟在战国时期便有其称的古阳城 被后世天文学家认为 是地中。 3. 1陶寺到王城岗的距离 陶寺的经纬度是 N355255. 9， E1112954. 9， 登封告成王城岗的经纬度是 N342404. 4， E1130731. 2。通过计算和 GPS 测量都可得到， 陶寺到王城岗之间的 直线距离为223 公里。依 “ 2. 2” 和 “ 2. 3” 两节所论证的， 陶寺文化和王湾三期文化的1 里 等于 1000 尺， 相当于现在的 250 米， 当时的 1 千里则相当于 250 公里。陶寺与王城岗两 地距离 223 公里相当于陶寺文化的 892 里， 距当时 1 千里相差 27 公里即当时的 108 里， 接近于当时的 1 千里; 若将其近似为 1000 里， 其数值偏大约 10. 8%。考虑到步测测量时 可能走的不是完全的直线， 加上在山区测量时没有完全消除沟壑陵谷起伏等干扰因素， 都 会造成测量结果偏大， 当时完全可能将这一距离认为极为接近 1 千里。可以与此作为对 照的是， 唐代一行和南宫说组织的子午线测量中， 测量得到的距离也大于实际距离， 具体 的比率不同学者计算的结果有 13. 9%24 、 18. 2%( 23 ， 366 页) ， 或 20%25 。 也许当时知道陶寺到王城岗的距离不完全等同于 1000 里， 只是近似于 1000 里， 出 于方便取其整数， 便将其约为 1000 里， 我们今天描述一些大的距离时仍然用类似的近 似值。 3. 21. 6 尺日影与陶寺 冬至、 夏至的日影长度与表高、 观测地点的地理纬度、 黄赤交角之间的关系为: Lx= Lbtan( ) ( 公式 3) Ld= Lbtan( + ) ( 公式 4) 式中 Lx为夏至影长， Ld为冬至影长， Lb 为表高， 为地理纬度， 为黄赤交角。更精确的 计算还要考虑太阳半径、 蒙气差、 地球视差等因素。 3. 2. 1周髀算经 的时代与已往的纬度计算结果 夏至日影 1 尺 6 寸只出现在周髀算经 这一种文献中。由周髀算经 推算观测地 的纬度有三种数据可用， 一是夏至日影一尺六寸， 二是冬至日影一丈三尺五寸， 三是北极 高度一丈三寸。因为如公式( 3) 、 ( 4) 所示， 表影长度是纬度和黄赤交角的函数。黄赤交 角是个随时间有微小变化的变量， 变化周期约 41000 年， 在近 5000 年以来都处在减小的 2 期 徐凤先等 : “日影千里差一寸” 观念起源新解159 过程中， 约每百年减小 49 秒。所以如果仅知道冬至和夏至表影长度之一， 那么在可能的 历史年代范围内， 观测地点纬度的确定还是有一定误差的。如果同时知道冬至和夏至的 表影长度， 那么从理论上讲就可以准确求得观测点的地理纬度和黄赤交角， 随之确定下来 观测年代。但是还有蒙气差的改正、 太阳半径的改正和视差的改正， 从而使得结果不十分 确定。 钱宝琮在 1929 年 36 和 1958 年10 曾两度对周髀算经 进行研究， 他的计算都是将 冬夏至日影作为一组数据， 而将北极高度作为另一个独立的数据。前一次他既订正了太 阳半径， 也订正了蒙气差， 给出冬夏至日影观测地纬度为 3537， 黄赤交角 242; 后一次 只订正了蒙气差， 得到冬夏至日影观测地纬度为 352042， 黄赤交角 24154。由北极 高度算得地理纬度为 374950。钱宝琮认为由冬夏至日影数据和由北极高度数据推算 的纬度相差约 229， “不能认为由测量时的偶然误差所致。并且纬度 352042或 374950都相当高， 远在周都洛阳之北 ” ， “又从 周髀 书中冬、 夏至日日影推算出来的黄 赤交角， 242也是相当大， 不是西周以后的天文实际” ， 据此钱先生认为周髀算经 的三 个数据 “不能是实际测量的真实记录” 10 。 能田忠亮 1933 年计算过 周髀算经 的二至日影长度与北极璇玑长度。他没有加入 太阳半径改正和蒙气差改正， 直接用二至日影计算得到观测地纬度为 35. 33， 即 3520， 黄赤交角 24. 02， 并给出黄赤交角 24. 02 的年代为 2500 年; 用北极璇玑晷长计算得到 纬度为 37. 84。但他认为黄赤交角随时间变化缓慢， 以之确定年代并不可靠， 而纬度的 计算结果是可靠的; 至于利用北极璇玑算出的纬度与利用二至日影算出的纬度有 2 度半 的差值， 他认为是古人观测粗糙造成的， 35多的纬度应该是周髀算经 可信的观测 纬度。 37 高平子 1937 年由二至影长计算， 并改正蒙气差和太阳半径后， 得到观测地纬度为 3537. 4， 黄赤交角为 2402. 8， 与钱宝琮 1929 年的结果相同。他将告成和洛阳自公元 前 1200 年至公元 2000 年间冬夏至日影的理论长度值做成图表， 比较后认为“ 周髀 所 记之晷景至为疏远， 恐出于理想， 非由实测” 38 。 可见， 钱宝琮和高平子认为周髀算经 不是实测， 理由之一是纬度太高， 不合周都 洛阳， 之二是黄赤交角太大， 不合周初年代， 之三( 只有钱宝琮) 是由北极得出的纬度与 由二至日影得出的纬度有 2 度多的差异。前两条理由的得出是因为他们首先认定了 周髀算经 的数据应该来自于周初， 在周都洛阳或阳城所测。而能田忠亮则采取了相 对宽容的态度， 他并不否认这些数据来自实测， 而是允许古代的观测有更大的观测 误差。 赵永恒最近将 周髀算经 中的冬夏至日影与北极高度作为同一组数据进行拟合， 得 到两个观测年代， 公元前 511 年左右和公元前 142 年左右， 以公元前 511 年左右为好。观 测地纬度约 35. 2 度， 夏至晷长测量精度略大于半寸， 冬至晷长和北极璇玑晷长的测量精 度在 2 寸左右。 39 3. 2. 2周髀算经 与陶寺遗址 随着陶寺遗址陶寺文化中期观象祭祀台的发现 40， 41 和初步判定4244 ， 周髀算经 冬夏至日影观测地点问题有了新的见解。黎耕和孙小淳最近提出周髀算经 的日影可 160自然科学史研究30 卷 能是陶寺观测的结果。他们由钱宝琮得到的黄赤交角算得观测年代约为距今 4396 年， 由 高平子得到的黄赤交角算得观测年代约为距今 4424 年。结合钱宝琮算得的地理纬度 352042和高平子算得的纬度 35374， 以及陶寺的纬度 355359， 认为 “ 周髀 中数值 与尧都陶寺较合。考虑到地理纬度的误差， 并使用更加精确的黄赤交角长周期变化公式， 将有望得到更为精确的结论” 45 。 黎耕和孙小淳提出的周髀算经 冬夏至日影得之于陶寺的观点， 虽然从纬度上有 2030分的差距， 从时代上比较符合陶寺文化早期( 公元前 2300前 2100 年) ， 与陶寺文 化中期( 公元前 2100前 2000 年) 有一定的差距， 但这是一种值得高度重视的见解， 因为 早期的观测误差显然会较后世大一些， 而且为了某些目的早期观测的理论数值可能取整， 即在 “分” 级采用四舍五入或类似的方法， 只用“寸” 来表示日影长度。当然， 陶寺早期城 址建成和使用时间段为公元前 2300前 2100 年， 因而周髀算经 冬夏至日影数据测自 陶寺早期城址也具有很大的潜在可能。 周髀算经 晷影观测出自陶寺之说随后有了一个有力的证据， 就是在陶寺遗址发现 的一根漆杆 46 。这根漆杆出土于陶寺文化中期王级大墓中， 出土时残长 171. 8 厘米， 残 断部分不超过 10 厘米。漆杆被漆成黑绿相间的色段， 加以粉红色带分隔。何驽推测这根 漆杆为圭表日影测量仪器系统中的圭尺。尤其引人注意的是漆杆第 1012 号绿色带被 11 号粉红色带有意隔断， 第 111 号色段总长 39. 9 厘米。根据对陶寺尺度研究的结果， 1 陶寺尺等于25 厘米， 则39. 9 厘米相当于1. 596 陶寺尺， 非常接近于1. 6 尺， 这应该就是 陶寺夏至晷长的理论标志点。 作为黑色带和绿色带分隔的粉红色带宽度在 0. 51. 5 厘米之间， 相当于 0. 20. 6 陶寺寸。考虑到测影时由于日光散射影端较虚等因素， 当时的观测误差达到 0. 5 厘米 ( 即0. 2 陶寺寸) 是可以接受的。况且陶寺漆圭尺夏至标志点第1 至11 号色段长39. 9 厘 米， 比 1. 6 尺( 即 40 厘米) 误差仅 0. 1 厘米， 相当于陶寺 0. 04 寸， 远小于可以接受的 0. 2 陶寺寸的误差临界值。 因此 ， 周髀算经 中的夏至影长 1. 6 尺， 冬至影长 13. 5 尺极可能是陶寺遗址观测结 果的理论标准数值。 3. 31. 5 尺日影与阳城( 王城岗) 汉代以前的日影观测数据除了 周髀算经 的夏至 1. 6 尺、 冬至 13. 5 尺之外， 夏至还 有 1. 5 尺和 1. 48 尺两种， 冬至还有 1 丈 3 尺。 3. 3. 11. 5 尺、 1. 48 尺与 1 丈 3 尺的文献记载 夏至影长 1. 5 尺最权威的记载存在于 周礼 中 。周礼地官大司徒 记载: 以土圭之法测土深， 正日景， 以求地中。日南则景短多暑， 日北则景长多寒， 日东 则景夕多风， 日西则景朝多阴。日至之景， 尺有五寸， 谓之地中。天地之所合也， 四时 之所交也， 风雨之所会也， 阴阳之所和也。然则百物阜安， 乃建王国焉。( 7 ，66 页) 陶寺早期中型墓 M2200 出土的红彩尖头木棍复原长 225 厘米， 若尖头插于地下 25 厘米， 地表露出 200 厘米， 恰可做陶寺 8 尺高立表。资料见中国社会科学院考古研究所编 陶寺遗址 ， 文物出版社待刊。 2 期 徐凤先等 : “日影千里差一寸” 观念起源新解161 周礼大司徒 只言夏至不言冬至。 周礼冬官考工记 也有记载 : “土圭尺有五寸， 以致日， 以土地。 ” ( 7 ，284 页) 郑玄注 : “夏日至之景尺有五寸， 冬日至之景丈有三尺” ， 认为夏至 1. 5 尺、 冬至 13 尺是一 套数据; 贾公彦疏 : “ 夏日至之景尺有五寸， 冬日至之景丈三尺 者， 皆通卦验 文” ， 认 为这套数据是 易纬通卦验 的数据。李淳风注周髀算经 引尚书考灵曜 也有 “日永影尺五寸， 日短影一十三尺” ( 5 ， 23 页) 。 但是 易纬通卦验 又有夏至影长 1. 48 尺之记载 。续汉书律历志 下刘昭注引 易纬 47 及 周髀算经 李淳风注引易纬通卦验 ( 5 ， 24 页) 皆作“夏至景尺有四 寸八分， 冬至一丈三尺” ， 冬至仍为 1 丈 3 尺， 夏至则为 1. 48 尺。 这样 周髀算经 之外的文献记载的汉代以前观测到的冬夏至日影长度组合为: ( 1) 夏至 1. 5 尺 ( 周礼大司徒 ) 。 ( 2) 夏至1. 5 尺， 冬至13 尺 ( 郑玄注 周礼 ， 贾公彦疏引 通卦验 ， 李淳风注 周髀 引 尚书考灵曜 ) 。 ( 3) 夏至 1. 48 尺， 冬至 13 尺 ( 续汉书律历志 刘昭注引易纬 ， 李淳风注周髀 引 易纬通卦验 ) 。 3. 3. 21. 5 尺与周公测影 因 周礼大司徒 明言夏至日影一尺五寸的长度为地中， 所以这一数据被作为周公 测影的结果。 关于周公测影之地， 自汉代已分为二说， 一主阳城， 一主洛阳， 李淳风注周髀算经 对此有说明 : “ 周礼大司徒 职曰 : 夏至之景尺有五寸 ， 马融以为洛阳， 郑玄以为阳 城” ( 5 ， 24 页) 。后世亦有此分歧。 周礼大司徒 郑玄注 : “郑司农云: 土圭之长尺有五寸， 以夏至之日， 立八尺之表， 其景适与土圭等， 谓之地中。今颍川阳城地为然。 ” 孔颖达正义 : “周公度日景正五表， 今 阳城是周公度日景之处， 古跡犹存。 ” 即汉代的郑玄和唐代的孔颖达都认为是阳城。历代 天文学家多接受此种观点， 如隋书天文志 说 : “昔者周公测影于阳城， 以参考纪历。 其于 周礼 ， 在大司徒之职” ( 1 ， 561 页) ， 接下来就是引用“以土圭之法” 一段。 阳城因为周公测影而成为中国天文学史上一个具有特殊意义的地方。唐代一行、 南宫说 组织的大规模日影和北极高度测量， 阳城是一个重要地点。一行大衍历 也将阳城的数 据作为与其他观测点比较的基准。南宫说曾在阳城立碑刻“周公测景台” 以为纪念， 该碑 至今仍在， 其北面就是元郭守敬建造的 40 尺高的观星台。现今学者亦多主张周公测影在 阳城， 认为就是现在的周公测影台和登封观星台所在地 : “虽然中国最早的王朝夏王朝一 开始把自己的都城选在了阳城， 但阳城被认为是地中， 却是始自周公的立表测影。对 于地中的选择， 则以立表测影为依据。 ” 48 洛阳说的提出是因为洛阳是周初所营的洛邑所在地。据李淳风之说， 汉代的马融主 张周公测影在洛阳。其实郑玄也不十分坚定地认为周公测影之地在阳城 。周礼天官 冢宰 “惟王建国” 句下郑玄注 : “周公居摄而作六典之职， 谓之周礼。营洛邑于土中。七 年， 致政成王， 以此礼受之， 使居洛邑致天下。司徒职曰， 日至之景， 尺有五寸， 谓之地 中。 ” ( 7 ， 1 页 ) “土中” 即 “地中” ， 此处郑玄认为周公作洛、 致政成王的洛邑与“日至之 162自然科学史研究30 卷 景， 尺有五寸， 谓之地中” 是同一个地方。周公作洛是历史上著名的事件， 地点当在今洛 阳。作于周初的何尊铭文记载武王克商之后已经决定迁于 “中国” : “唯武王即克大邑商， 则廷告于天曰: 余其宅兹中国， 自之乂民” 49 ， 尚书召诰 中有“王来绍上帝， 自服于土 中， 旦曰 : 其作大邑， 其自时配皇天， 毖祀于上下， 其自时中 ” ( 50 ， 100 页) ， 也认为 洛邑是中土。 对于周公测影所定的地中是阳城还是洛邑， 孔颖达试图给出一种调和的解释， 说: “颍川郡阳城县是周公度景之处， 古跡犹存， 故云地为然也。按春秋 左氏， 武王克商迁 九鼎于洛邑， 欲以为都， 不在颍川地中者， 武王欲取河洛之间形势之所， 洛都虽不在地之正 中， 颍川地中仍在畿内。 ”( 7 ， 66 页) 明代学者陈宣也给出了类似的解释 : “周公之心何 心也! 恒言洛当天地之中， 周公以土圭测之， 非中之正也。去洛之东南百里而远， 古阳城 之地， 周公考验之， 正地之中处。 ” 51 但是这样的解释明显出于臆度， 缺乏依据。周公测影 究竟是在阳城还是在洛邑仍然是一个谜。 3. 3. 31. 5 尺、 1. 48 尺与 13 尺的已有计算结果 对于夏至 1. 5 尺、 冬至 13 尺以及夏至 1. 48 尺、 冬至 13 尺两组数据， 也有当代学者进 行过计算。 高平子计算了夏至 1. 5 尺、 冬至 13 尺的观测年代 38 。他根据文献记载首先认为这 个数据是周初测影的结果， 地点或是在洛阳， 或是在阳城。他利用这组数据加上日半径和 蒙气差的改正， 计算得到黄赤交角 2354. 1， 观测地纬度 3447. 2。比较洛阳纬度 3449， 告成纬度 3426， 他认为夏至 1. 5 尺、 冬至 13 尺这套数据“在假定之周初年代及 洛阳纬度实为密近， 但不合于阳城。 ” 赵永恒 39 对夏至 1. 5 尺、 冬至 13 尺加入了他本人依周髀算经 之法求得的北极璇 玑影长 10 尺， 拟合得到这套数据的观测年代为公元前 1032 年左右， 观测地的纬度为 34. 32( 约 3420) ， 认为登封告成镇的纬度( 34. 42) 处于数据拟合的地理纬度的范围 之内。 赵永恒 39 还特别计算了夏至 1. 48 尺、 冬至 13 尺的数据。他先利用 P03 岁差模型求 得公元前 2070 年的黄赤交角为 23. 93， 然后按照公式( 3) 和公式( 4) 计算阳城(