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一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟昆 明 学 院 2015 届毕业设计（论文） 设计（论文）题目 一维热传导问题的数值解法及其MATLAB模拟 子课题题目 无 姓 名 伍有超 学 号 201117030225 所 属 系 物理科学与技术系 专业年级 2011级物理学2班 指导教师 王荣丽 2015 年 5 月1摘要本文介绍了利用分离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的基本解，并对其物理意义进行了讨论。从基本解可以看出，在温度平衡过程中，杠上各点均受初始状态的影响，而且基本解也满足归一化条件，表示在热传导过程中杆的总热量保持不变。通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用 MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。关键词：一维热传导；分离变量法；有限差分法；数值计算；MATLAB 模拟Abstract In this paper, the method of variable separation and finite difference method are introduced to solve the problem of one-dimensional heat conduction problems, and the physical significance of numerical methods for heat conduction problems are discussed. From the basic solution, we can see the temperature on the bar are affected by the initial state during the process of temperature balance, and basic solution also satisfy the normalization condition which implied the invariance of the total heat in the bar during the heat conduction process. Through the analysis of the one-dimensional heat conduction, by taking use of variable separation method and finite difference method, we simulated the one-dimensional heat conduction problem by MATLAB. The three-dimensional images of the simulation results obtained by the method of separation of variables and finite difference method are similar to each other, and the temperature curve is in accordance with the law of temperature variation during heat conduction. Thus, we can go to the conclusion that both methods can be used to deal with the one-dimensional heat conduction problems.Keywords: One-dimensional heat conduction; method of variable separation; finite difference method; numerical method; MATLAB simulation目 录 第一章 绪论1 1.1热传导的概念.1 1.2热质的运动和传递.1第二章 一维热传导问题的两种数值解法3 2.1一维热传导问题的初值问题3 2.2一维热传导问题的分离变量法4 2.3一维热传导问题的有限差分法6第三章 一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟9 3.1一维有界杆热传导问题9 3.2分离变量法的MATLAB模拟9 3.3有限差分法的MATLAB模拟12第四章 总结与展望18参考文献19谢辞2020第一章 绪论1.1热传导的概念由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。热传导是热传递三种基本方法之一，它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中传递，在流动的情况下往往伴随着对流同时发生。固体、液体以及球体热传导热传导的实质是由大量的物质分子热运动相互撞击，而使能量从高温部传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。在固体中，热传导的微观过程是：在高温部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。在温度低的部分，微粒的振动动能比较小。因为微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生着微粒的振动，动能由动能大的部分分向给动能小的部分。在固体中热的传导，就伴随着能量的迁移。在金属物质中因为存在大量的自由电子，在不停的做无规则运动。自由电子在热传导过程中起主要作用。在液体中传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层传递，引起了热传导现象。由于热传导系数小，传导较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞，在气体内部发生能量的迁移，从而形成宏观上的热量传递1。1.2热质的运动和传递物质具有的热能(粒子无规运动动能) 是物质能量形式之一，它又对应着物质所具有的热质量，并且可看作为是热子气的质量2。物体导热过程中的热量输运对应着热质量(热子气质量) 的输运。与对流输运不同，热质的输运是属于分子输运或扩散输运。它可以用热子气的宏观速度(漂移速度) 来描述。与此类似，为了能够描述和研究热子气的宏观运动，需要建立热子气运动的速度和加速度等物理量。为了能确定热子气运动状态的变化与施加在热子气之上的非平衡作用力之间的关系，我们需要建立热质运动定律3。在热质和热子气概念基础上，建立了热子气的质量、动量和能量守恒方程；基于傅立叶导热定律求得了热子气粘性力的近似式4；傅立叶导热定律本质上是忽略惯性力条件下的热子气的压力梯度与粘性力的平衡方程，当惯性力可以忽略时，热子气的动量守恒方程退化为傅立叶导热定律。在极低温或极高热流密度时傅立叶导热定律不再适用5。在最近的20多年里，对一维体系热传导性质的研究已经从纯理论研究的兴趣延伸到了对其应用性的探讨。自从2002年G. Casati 等人提出了利用非线性参数来控制一维体系中的热流量，例如制备热整流器(thermal rectifier)的设想和方案以来，通过组合不同性质的一维晶格体系来控制和操纵热流，制备出诸如热二极管（thermal diode）6、热阻（thermal resistance）、热晶体管（thermal transistor）7等微观热器件的研究，为人们展示了一维体系热传导研究中诱人的应用前景8。第二章 一维热传导问题的两种数值解法 2.1一维热传导问题的初值问题问题简述:一均匀细杆直径为，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服从规律: 。 (1)又假设杆的密度为，比热为，热传导系数为，式导出此时温度满足的方程。 (1)任取细杆中的一段，从时刻到时刻热量的增量为： ， (2)其中是杆的截面积，通过的两端流入的热量为： 。 (3)通过的侧面与周围介质发生的热交换量为： ， (4)由能量守恒定律 ，以及的任意性得： ， (5)记 ，可得：。 (6)若考虑一维热传导方程的初值问题即是Cauchy 问题9：， (7)求具有所需次数偏微商的函数，满足方 程（1）和初始条件： 。 (8)考虑齐次热传导方程的初值问题， (9)通过推导可以推导出： 。 (10)若考虑非齐次热传导方程的齐次初始条件10的初值问题：， (11)通过推导可以推导出解为：。 (12)若考虑非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的： 。 (13)以上就为齐次热传导方程的初值问题，非齐次热传导方程的齐次初始条件的初值问题和非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的解。2.2一维热传导问题的分离变量法利用分离变量法的实验原理来解决有界长杆的热传导问题：（一）考虑齐次热传导方程的混合问题（边界条件）都是第一类情形， (14)其中为给定的已知函数，求解过程为首先令将其带入方程 ， (15)并且分离变量得两个常微分方程 ， (16)由边界条件可得：(17)为有界长杆的热传导问题11的解。（二）求边值问题一维热传导问题的分离变量法求边值问题的原理，即是求的非0解包括以下三种情况：（1）当时，该问题没有非平凡解；（2）当时，该问题也没有非平凡解；（3）当时，该问题有非平凡解；此时 ， (17)。 (18)若现在考虑：， (19)将特征值代入方程得： ， (20)求得通解为 ， (21)于是可以求解出定解问题中的一维热传导方程组且满足齐次边界条件的具有变量分离形式特解12： ， (22)其中，是任意常数，在利用初值条件，可得： ， (23)继而推导出： ， (24)所以， (25)就为所求定解问题 (14)的特解。若问题中的边界条件出现第二类或者第三类齐次边界条件，解法类似。2.3一维热传导问题的有限差分法（一）有限差分法的介绍：有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今乃被推广使用13。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法的优点：它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似解法，数学观念直观，表达简单，是发展最早而且比较成熟的数值方法。有限差分法的缺点：它是必需进行整个区域的划分，并且要求网格比较规则，空间网格最好为直角网格。（二）利用有限差分法进解决一维热传导问题：问题背景1、热传导的方程介绍14：， (28)2、 离散以后得到： ， (29) ， (30)， (31)（1） 向前差分后得：， (32)计算得出：， (33) 。 (34)下图是一个显示格式：图2.1 向前有限差分法网格图由此可以证明当时，上述差分式是稳定的，所以的步长和的步长取法要恰当。（2）向后差分格式得到： ， (35)计算得出： ， (32)图2.2 向后有限差分法网格图第三章 一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟3.1一维有界杆热传导问题一均匀细杆长为，在端温度为0度，且保持温度不变，端与外界绝热。已知初始时刻温度分布为。试求细杆上温度的变化规律。利用热传导方程：， (33)为了便于做题，我们令：，对于此问题，我们可以采用分离变量法和有限差分法来进行求解，并利用MATLAB数学软件15对所得结果绘图并分析。3.2分离变量法的MATLAB模拟首先，利用分离变量法对问题进行求解，根据2.2所得方程，有:， (34)其中： 。 (35)利用MATLAB对以上方程进行模拟，得到关于一维有界杆的热传导图像如下所示：图3.1 分离变量法模拟一维有界杆的热传图可以看出，温度随时间呈下降趋势，长杆各部分温度随时间增加趋于稳定。取分离变量法模拟三维图（图3.1）中时的数据，作如下曲线图：图3.2 时关系图可以发现在长杆处，温度随时间的增长而下降。取分离变量法模拟三维图（图3.1）处，温度随时间的变化，作如下曲线图：图3.3 处关系图 可以发现，在长杆处，温度随时间的增加而降低，取分离变量法模拟三维图（图3.1）时刻，温度在长杆各处的分布规律，得到如下曲线图：图3.4 时刻关系图 从上图可以看出，当时刻，温度在长杆各处呈线性分布，且由到逐渐上升。取分离变量法模拟的三维图（图3.1）时刻，温度在长杆各处的分布规律，得到如下曲线图：图3.5 时刻关系图由上图可以看出，当时刻，温度在长杆各处也呈线性分布，且由到逐渐上升，以上曲线图均符合热传导规律。3.3有限差分法的MATLAB模拟根据2.3所得方程，向前差分： ， (36) ， (37)向后差分：， (38)利用MATLAB作图，得到有限差分图如下：图3.6 有限差分法模拟一维有界杆的热传图取有限差分法模拟三维图（图3.6）中时的数据，作如下曲线图：图3.7 有限差分法得到的时关系图可以发现在长杆处，温度随时间的增长而下降。取有限差分法模拟三维图（图3.6）处，温度随时间的变化，作如下曲线图：图3.8 有限差分法得到的处关系图可以发现，在长杆处，温度随时间的增加而降低，取有限差分法模拟三维图（图3.6）时刻，温度在长杆各处的分布规律，得到如下曲线图：图3.9 有限差分法得到的时刻关系图从上图可以看出，当时刻，温度在长杆各处呈线性分布，且由到逐渐上升。取有限差分法模拟的三维图（图3.6）时刻，温度在长杆各处的分布规律，得到如下曲线图：图3.10 有限差分法得到的时刻关系图由上图可以看出，当时刻，温度在长杆各处也呈线性分布，且由到逐渐上升，以上曲线图均符合热传导规律。综上所述，由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。第4章 总结和展望 许多工程问题需要研究热量在物体内部的传导情况或某种物质在液体中的扩散情况，因此研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。目前热传导方程已有多种求解格式。MATLAB 基于矩阵运算，具有强大的数值运算能力和图形可视化能力，是方便实用、功能强大的数学软件。本文以热传导方程的数值解法及Matlab模拟实现为主线，研究论证其可行性，从而发现一种较为简便且极为有效的热传导方程数值解法和可视化的方法，意在更好的解决目前在工程和研究邻域中实际存在的问题，进而推动其相关邻域的发展和进步，文章的主要研究设计工作：对热传导方程的数值解法做了理论研究，为Matlab编程的实现奠定了理论基础，结合Matlab知识，编出程序通过列举方程和边值条件，利用编写的程序解出了一维热传导的非稳态问题。 本文通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用 MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律的结论，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。参考文献 1 彭芳麟数学物理方程的MATLAB解法与可视化北京：北京师范大学出版社,2004 2 陶文铨数值传热学(第2版)西安：西安交通大学出版,2001 3 李灿,高彦栋,黄素逸热传导问题的MATLAB计算华中科技大学学报(自然科学版) 4 徐梓斌,闵剑青基于PDE tool的热传导数值计算佳木斯大学学报(自然科学版),2006 5 孔倩,李鹏, 热传导方程的无网格Galerkin方法数值模拟研究, 计算机应用, 2011(31) :47-59 6 J. D. Schmit and A. J. Levine, Intermolecular adhesion in conducting polymers, Phys. Rev. E 2005, 71: 051802. 7 P. Ranjith, P. B. S. Kumar, and G. I. Menon, Distribution functions, loop formation probabilities, and force-extension relations in a model for shout double-stranded DNA molecules, Phys. Rev. Lett. 2005, 94: 138102. 8 A. J. Heeger, Nobel Lecture: Semiconducting and metallic polymers: The fourth generation of polymeric materials, Rev. Mod. Phys. Lett. 2001, 73: 681. 9 D. V. Ramana, P. K. Kaw, A. Sen, A. Das and J. C. Parikh, Conditions for diffusive thermal transport in a model nonlinear system, F. F. Phys 1998, 22C: 2192.10 Amir Faghri , Yuwen Zhang, Jonh Howell. Advanced Heat and MassTransfer.89, 158702 (2002)11 Choy, Keith K.H; Porter, John F; McKay, Gordon.Filmpore diffusionmodelsanalytical and numerical solutions 7, 158702 (2002)12 Chicone Carmen . Mathematical modeling89, 158702 (2002)13 ORiordan, Eugene Opposing flows in a one dimensional convection-diffusion problem 89, 158702 (2002)14 姜大鑫, 武文华等高强度钢板热成形热、力、相变数值模