东北大学线性代数期末试题2009-2015(1)及答案.pdf

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 20200 09 9 20201010 学年学年 第第一一学期学期 课程名称：课程名称：线性代数线性代数 一、 (10 分) 设矩阵 = 43 21 A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足 BA=B+2E，求| B. 解解 由 BA=B+2E，得EEAB2)(=，于是 4|2|=EEAB. 6 分 又由于6|= EA，所以， 3/2|=B. 10 分 二、 (10 分) 设三阶方阵A,B满足关系式BABA+= *1 6，其中 * A是A 的伴随矩阵，且 = 210 530 002 A，求矩阵B. 解解 2|=A，EEAAA2| * =. 3 分 由BABA+= *1 6，有ABEB+=12，即 1 )(12 =AEB 6 分 = 3/23/10 3/53/10 001 12 = 840 2040 0012 . 10 分 三、 (10 分) 求线性空间 3 R中由基 T )0 , 0 , 1 ( 1 =, T )0 , 1 , 1 ( 2 =, T ) 1 , 1 , 1 ( 3 =到 基 T ) 1 , 2 , 1 ( 1 =, T )2 , 1, 1 ( 2 =, T ) 3 , 2 , 1 ( 1 =的过渡矩阵，并求向量 321 += 在 基 321 ,下的坐标. 解解 由C),(),( 321321 =,得过渡矩阵 ),(),( 321 1 321 =C = 321 212 111 100 110 111 1 = 321 212 111 100 110 011 = 321 131 121 . 5 分 由于 321 +=,所以 = = 1 1 1 ),( 1 1 1 ),( 321321 C ， 故向量在基 321 ,下的坐标为 = = 0 1 2 1 1 1 321 131 121 x . 10 分 21 总分 一 二 三 四 五 六 七 学 院 班 级 学 号 姓 名 密封线 四、 (10 分) 设 4321 ,都是四维列向量，),( 4321 =A，向量 T )0 , 3 , 0 , 1 ( 1 =, T )2 , 0 , 0 , 1 ( 2 =是齐次线性方程组0 =xA的一个基础解系，求向量 组 4321 ,的一个极大线性无关组. 解解 由于0 =xA的解空间是二维的，所以2)(=AR， 3 分 由于 T )0 , 3 , 0 , 1 ( 1 =, T )2 , 0 , 0 , 1 ( 2 =是解，所以 03 31 =+,02 41 =+， 8 分 即 43, 可由 1 线性表示，所以 21, 是一个极大线性无关组. 10 分 五、 (20 分) 设三阶实对称矩阵A满足1)2(= EAR，且齐次线性方程 组0 =xA有非零解 T )2 , 1 , 1 (=，求矩阵A. 解解 由于1)2(= EAR，所以 2 是 A 的二重特征值， 4 分 由于0 =xA有非零解 T )2 , 1 , 1 (=，知 0 是 A 的特征值，是特征向量. 8 分 由于 A 是实对称矩阵，所以特征值 2 的特征向量与正交，可取为 T )0 , 1, 1 ( 1 =, T ) 1, 1 , 1 ( 2 =. 12 分 将 T )2 , 1 , 1 (=, T )0 , 1, 1 ( 1 =, T ) 1, 1 , 1 ( 2 =单位化，得正交矩阵 = 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 Q. 16 分 则 = 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 6 2 6 1 6 1 2 2 0 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 T QQA. = = 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 1 3 2 3 1 3 5 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 6 2 6 1 6 1 3 2 00 3 2 2 2 0 3 2 2 2 0 . 20 分 六、 （20 分）问dcba,满足什么条件时，二次型 2 14 2 43 2 32 2 214321 )()()()(),(dxxcxxbxxaxxxxxxf+= 是正定二次型，为什么？ 解解 显然0),( 4321 xxxxf，且0),( 4321 =xxxxf当且仅当 0, 0, 0, 0 14433221 =+=+=+=+dxxcxxbxxaxx. 5 分 由于 100 100 010 001 d c b a D =abcd=1, 10 分 故当1abcd时，即当且仅当0 4321 =xxxx时，二次型0),( 4321 =xxxxf. 15 分 所以当1abcd时，),( 4321 xxxxf是正定二次型. 20 分 七、 （20 分） 证明： （1）n维向量组 s a, 21 和 t , 21 等价的充分 必要条件是, 21s aR=, 21t R=, 21s aR, 21t . （2）设A是nm矩阵，则)()(ARAAR T =. 证明证明 （1）不妨设 r a, 21 与 l , 21 分别是 s a, 21 与 t , 21 的极大 线性无关组，则 s a, 21 与 t , 21 等价 r a, 21 与 l , 21 等价 r a, 21 与 l , 21 都是, 21s a t , 21 的极大线性无关组 , 21s aR=, 21t R=, 21s aR, 21t . （2）若x 使0Ax = ，则必使0 T A Ax = . 又若x 使0 T A Ax = ，则必使0 TT x A Ax = ，即()0 T AxAx = ，0Ax = ，亦即 0Ax = . 因此，齐次线性方程组0Ax = 与0 T A Ax = 同解，所以)()(ARAAR T =. 2-2 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 20200 09 9 20201010 学年学年 第第二二学期学期 课程名称：课程名称：线性代数线性代数 （共（共 2 2 页）页） 一、 (15 分) 设矩阵 = 3142 2401 2222 1043 A，求矩阵A第四行元素余子式 之和. 解解 44434241 MMMM+= 44434241 AAAA+ 3 分 1111 2401 2222 1043 = 10 分 0 15 分 二、 (20 分) 已知向量组 = 2 1 1 1 , = a 1 2 2 , = 0 2 3 b与向量组 = 3 2 1 1 , = 3 1 2 2 , = 6 7 1 3 有相同的秩， 且向量 3 可由向量组 321 ,线性表示， 求参数ba, 的值. 解解 由于 3 可由向量组 321 ,线性表示，且 = 0633 712 2121 ),( 3321 b 6330 4550 2121 b + 6000 2110 2121 b ， 5 分 所以6=b，且 321 ,的秩为 2. 10 分 依题意，向量组 321 ,的秩为 2，于是 0284 02 611 221 |, ,| 321 =a a . 15 分 所以6, 7=ba. 20 分 三、 (15 分) 设 n 阶方阵A的各行元素之和为零，A的伴随矩阵OA *， 求齐次线性方程组0 =xA的通解. 解解 由于OA *，所以存在代数余子式0 ij A，故1)( nAR. 5 分 由于A的各行元素之和为零，所以0|=A，故 1)( nAR . 8 分 所以1)(= nAR，0 =xA的解空间是一维的. 10 分 A的各行元素之和为零， 即0) 1,.,1 , 1 ( = T A.因此， 向量 T ) 1,.,1 , 1 (=是0 =xA的 一个基础解系，方程组的通解为 12 分 Rkkx=, . 15 分 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密封线 四、 (20 分) 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 22),(xxxaxxxxxf+=可以经过正交 变换yQx =化成标准形 2 3 2 2321 22),(yyxxxf+=，求数a和正交矩阵Q. 解解 二次型的矩阵 = 200 01 011 aA，A的特征值为2, 0 321 =. 5 分 由特征值性质，有43 =+a，所以1=a. 10 分 由于 = 200 011 011 A 000 100 011 ，所以属于特征值0 1 =的特征向量为 T e) 0 , 2/1 ,2/1 ( 1 =. 13 分 由于 = 000 011 011 2EA 000 000 011 ，所以属于特征值2 2 =的特征向量为 T e) 0 , 2/1,2/1 ( 2 =, T e) 1 , 0 , 0( 3 =. 18 分 所求正交矩阵为 = 100 02/12/1 02/12/1 ),( 321 eeeQ. 20 分 五、 (15 分) 设四阶矩阵A满足023 23 =+AAA，且A的秩2)(=AR， 问矩阵A是否与对角矩阵相似，为什么？ 解解 由于2)(=AR，所以 0 是A的 2 重特征值，0 =xA的解空间是二维的，即对 于特征值 0 存在两个线性无关的特征向量. 4 分 另由OEAEAAAAA=+)2)(23 23 可知， 矩阵A的另两个特征值只能是 1 或 2. （1）如果 1 和 2 都是矩阵A的特征值，则矩阵A有 4 个线性无关的特征向量， 因此与对角矩阵相似. 8 分 （2）若 2 不是矩阵A的特征值，则EA2可逆.于是OEAA=)(， 4)()(+EARAR，2)( EAR，故 1 是矩阵A的特征值，且对于特征值 1 存 在两个线性无关的特征向量. 于是，A有 4 个线性无关的特征向量，A与对角矩阵相似. 12 分 （3）同理，若 1 不是A的特征值，则 2 是矩阵A的特征值，且对于特征值 2 存 在两个线性无关的特征向量. 于是，A有 4 个线性无关的特征向量，A与对角矩阵相似. 总之，在已知条件下，矩阵A必与对角矩阵相似. 15 分 六、 （15 分）某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 6 岁，将其分 成三个年龄组：第一组，02 岁；第二组，34 岁；第三组，56 岁。动物从第 二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率分别为4和3只。 第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 1 2 和 1 4 。 假设农场现有三个年龄段的动物各 1000 只，问 6 年后农场三个年龄组的动物各有 多少只？ 解解 记k2年后三个年龄组的动物只数分别为 kkk zyx,，则有 1 2 1 = kk xy， 1 4 1 = kk yz， 11 34 += kkk zyx，3 , 2 , 1=k， 5 分 即 = 1 1 1 04/10 002/1 340 k k k k k k z y x z y x ，且 = 1000 1000 1000 0 0 0 z y x . 10 分 所以， = = 250 500 7000 1000 1000 1000 04/10 002/1 340 1 1 1 z y x ， = = 125 3500 2750 250 500 7000 04/10 002/1 340 2 2 2 z y x ， = = 875 1375 14375 125 3500 2750 04/10 002/1 340 3 3 3 z y x ， 即 6 年后农场有 02 岁动物 14375 只，34 岁动物 1375 只，56 岁动物 875 只. 2-2 15分 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 20201010 20201 11 1 学年学年 第第一一学期学期 课程名称：课程名称：线性代数线性代数 （共（共 2 2 页）页） 一、 (15 分) 设矩阵 = 400 023 012 A，矩阵B满足EBAABA+= 1 2*，其中 *A 是 A的伴随矩阵， 1 A是 A的逆矩阵，E是单位矩阵，求矩阵B的行列式| B . 解解 由于|A|=4，所以 A*A=4E. 于是有 ABAB+= 24，即ABEA=)24(， 5 分 4|24|=ABEA. 10 分 又由于168|24|= EA，所以 13 分 42/1|=B. 15 分 二、 (20 分) t 取何值时，向量组 = 2 1 1 1 , = 0 1 2 2 与向量组 = t 2 1 1 , = 2 0 3 2 等价，等价时求出相互线性表示式. 解解 由于 = 202 0211 3121 ),( 2121 t + 2420 3330 3121 t + 0200 1110 3121 t ， 5 分 所以，当 t-2 时两个向量组等价. 10 分 由于当 t-2 时，有 0000 1110 3121 ),( 2121 0000 1110 1101 0000 102/12/1 012/12/1 ， 15 分 所以， 211 2 1 2 1 +=, 212 2 1 2 1 +=， 211 +=， 212 +=. 20 分 三、 (15 分) 在线性空间 3 xR中定义内积 = 1 1 )()()(),(dxxgxfxgxf， 求 3 xR的一组正交基. 解解 2 321 , 1xx=是 3 xR的一组基，将其正交化得 , 1 11 = 4 分 x= 1 11 12 22 ),( ),( ， 8 分 1 11 13 33 ),( ),( = 3 1 ),( ),( 2 2 22 23 =x ， 12 分 321 ,即是 3 xR的一组正交基. 15 分 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密封线 四、 (20 分) 已知线性方程组 =+ =+ =+ 1 2432 132 4321 4321 4321 xbxaxx xxxx xxxx 有三个线性无关的 解，求ba,的值和方程组的通解. 解解 由于线性方程组bxA =有 3 个线性无关的解， 所以齐次线性方程组0 =xA 至 少有 2 个线性无关的解，因此0 =xA的解空间至少是二维的，故 4-R(A)2. 显然 R(A) 2，所以 R(A)=2. 5 分 又由于 = 111 24132 13121 )|( ba bA + 02120 02110 13121 ba 0010 02110 11101 ba ， 所以0, 1=ba.通解为 15 分 Rcccx cx ccx ccx = = = += 2124 13 212 211 , 2 1 20 分 五、 (15 分) 设三阶矩阵A的各行元素之和都等于 3， 且向量 T )0 , 1, 1 ( 1 =, T )2, 1 , 1 ( 2 =都是齐次方程组0 =xA的解，求矩阵A. 解解 由A各行元素之和都等于 3 得 = = 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 A，所以，3 是 A 的特征值，属 于 3 的特征向量为 T ) 1 , 1 , 1 ( 3 =. 3 分 又由于 T )0 , 1, 1 ( 1 =, T )2, 1 , 1 ( 2 =都是齐次方程组0 =xA的解， 知 0 是 A 的二 重特征值，且 T )0 , 1, 1 ( 1 =, T )2, 1 , 1 ( 2 =是属于 0 的两个特征向量. 8 分 又由于 321 ,正交，单位化后得正交矩阵 = 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 Q， 10 分 所以， T QQA = 3 0 0 = 111 111 111 . 15 分 六、 （15 分） 已知三家相互关联的股份制公司 X,Y 和 Z，其中 X 公司持 有 X 公司 70%股份，持有 Y 公司 20%股份，持有 Z 公司 30%的股份；Y 公司持有 Y 公司 60%股份，持有 Z 公司 20%股份；Z 公司持有 X 公司 30%的股份，持有 Y 公司 20%股份，持有 Z 公司 50%股份. 现设 X,Y,Z 公司各自的营业净收入分别是 22 万元、6 万元、9 万元，每家公司的总收入是其净收入加上在其他公司的股份按 比例的提成收入. 试求各公司的总收入及各公司的实际收入. 解解 设 X、Y、Z 三公司的总收入分别为 x,y,z，则有 += += += yxz zy zyx 2 . 03 . 09 2 . 06 3 . 02 . 022 或 =+ = = 92 . 03 . 0 62 . 0 223 . 02 . 0 zyx zy zyx 5 分 由于 912 . 03 . 0 62 . 010 223 . 02 . 01 16.17858 . 0 00 62 . 010 2 . 2334 . 0 01 20100 10010 30001 所以，x30(万元)，y10(万元)，z20(万元). 10 分 X 公司的实际收入为 0.7x21 万元， Y 公司的实际收入为 0.6y6 万元， Z 公司的实际收入为 0.5z10 万元. 15 分 2-2 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 20201010 20201 11 1 学年学年 第第二二学期学期 课程名称：课程名称：线性代数线性代数 （共（共 2 2 页）页） 一、 (15 分) 设三阶矩阵() 321 ,=A， () 332321 4 ,3 ,32+=B， 且A的行列式1|=A，求矩阵B的行列式| B. 解解 因为() 332321 4 ,3 ,32+=B 413 031 002 ),( 321 ，所以 24 413 031 002 |= = AB. 二、 (20 分) 设向量组 = 2 1 1 1 ， = 1 1 2 2 ， = a 2 1 3 线性相关，向量 = b 1 3 可由向量组 321 ,线性表示，求ba,的值。 解解 由于 = ba12 1211 3121 ),( 321 6230 4330 3121 ba + 2100 4330 3121 ba 所以 . 2 , 1=ba 三、 (15 分) 证明由所有二阶实对称矩阵组成的集合 V 是 R22的子空间， 并试在 V 上定义内积运算，使 V 成为欧几里得空间，并给出 V 的一组正交基. 解解 显然 V 是 R22的子集，且对于任意 RkV bb bb B aa aa A = =, 2212 1211 2212 1211 ， 都有 , 22221212 12121111 V baba baba BA + + =+V kaka kaka kA = 2212 1211 ， 所以 V 是 R22的子空间. 对于任意V bb bb B aa aa A = = 2212 1211 2212 1211 ,，定义内积： A, B= 222212121111 bababa+， 显然满足：A, B=B, A； A+B,C= A, C+ B, C, kA, B=kA, B； A, A0，且A, A=0 当且仅当 A=O. = 00 01 1 A, = 01 10 2 A, = 10 00 3 A是 V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密封线 四、 (20 分) 已知三阶矩阵A的伴随矩阵 = 333 222 111 * A，求齐次线性 方程组0 =xA的通解. 解解 由于OA * 且1)( * =AR，所以 R(A)=2，0 =xA的解空间是 1 维的. 由OEAAA=| * 可知， * A 的列向量是0 =xA的解.于是，（1,2,3） T是 0 =xA 的一个基础解系，通解为 Rkkx =, 3 2 1 . 五、 (15 分) 设三阶实对称矩阵A满足AA2 2 =，向量 T )0 , 1, 1 ( =是 齐次方程组0 =xA的一个基础解系，求矩阵 A. 解解 由0 =xA的基础解系中只有一个解可知，A 的秩为 2. 由AA2 2 =知 A 的特征值只能为 2 或 0，所以 A 的三个特征值为 2, 2, 0. 由0 =A知，是属于特征值 0 的特征向量. 由于 A 的属于特征值 2 的特征向量必与正交，所以特征值 2 的特征向量 可取为 T )0 , 1 , 1 ( 1 =, T ) 1 , 0 , 0( 2 =. 构造正交矩阵 = 010 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 Q，则 = T QQA 010 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 2 0 2 1 2 1 100 0 2 1 2 1 = 200 011 011 . 六、 （15 分） 某仓库有 A,B,C 三种物品若干件， 现按下述方案进行采购： 购进原 B 物品件数 30%和原 C 物品件数 50%的 A 物品；购进原 A 物品件数 30% 的 B 物品；购进原 B 物品件数 60%的 C 物品. 试建立采购前后仓库 A,B,C 三种物 品件数间的关系式. 若采购后仓库 A,B,C 三种物品件数分别为 290,330,380，求采 购前仓库 A,B,C 三种物品的件数. 解解 记采购前仓库 A,B,C 三种物品件数分别为 000 ,zyx，采购后仓库 A,B,C 三种物 品件数分别为 111 ,zyx，则按题意有 += += += 001 001 0001 6 . 0 3 . 0 5 . 03 . 0 zyz yxy zyxx 即 = 0 0 0 1 1 1 16 . 00 013 . 0 5 . 03 . 01 z y x z y x . 所以，当380,330,290 111 =zyx时，有 = 380 330 290 16 . 00 013 . 0 5 . 03 . 01 1 0 0 0 z y x = = 200 300 100 380 330 290 91 . 0 6 . 018 . 0 15 . 0 13 . 0 5 . 001 ， 即采购前仓库 A,B,C 三种物品的件数分别为 100,300,200. 2-2 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 20201 11 1 20201 12 2 学年学年 第第一一学期学期 课程名称：课程名称：线性代数线性代数 （共（共 2 2 页）页） 一、 (15 分) 设三阶矩阵 A的行列式4|=A， 求行列式 *1 ) 6 1 AA （的值， 其中 * A 是矩阵A的伴随矩阵. 解解 *1 ) 6 1 AA （ 1-1 46AA= 1 2 =A2 4 1 23= . 二、 (20 分) 设向量 = 1 2 1 1 , = 1 1 2 2 , = 2 1 1 3 , = 4 5 1 1 , = a 9 2 2 , = 3 1 3 b，问：(1) ba,满足什么条件时矩阵),( 321 =A与),( 321 =B等价？ (2) ba, 取何值时向量组 321 ,与 321 ,等价？ 解解 (1) 由于 = 211 112 121 A 000 330 121 000 110 121 ，所以2)(=AR. = 34 95 121 a bB + 180 510 121 a b + )5)(8(100 510 121 ba b， 所以，当 0)5)(8(1=+ba 时，2)(=BR，矩阵BA,等价. (2) 由于 = 34211 95112 121121 )|( a bBA + 223330 253330 121121 a b + 470000 253330 121121 ba b， 所以，当4 , 7 =ba时，向量组 321 ,与 321 ,等价. 三、 (15 分) 设 T ）（0 , 1 , 1=，V 表示标准内积下与向量正交的所有三维 向量组成的集合，证明 V 是 R3的子空间，并求 V 的一组基和维数。 解解 设RkV,，则有0, , 0,=，于是 0, 0,=+=+k， 即 VkV+, ，所以 V 是 R3的子空间. 又由于与正交的向量 T xxx), 321 （=满足：0 21 =+ xx， 所以 V 是 2 维向量空间， T )0 , 1, 1 1 =（, T ) 1 , 0 , 0 2 （=是 V 的一组基. 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密封线 四、 (15 分) 设),( 54321 =A， 其中）（5 , 4 , 3 , 2 , 1i i =是 n 维列向量， 已知0 =xA的一个基础解系为 TT )0 , 1 , 0 , 0 , 1 (,0 , 0 , 1 , 0 , 2- 21 =）（， 求 54321 , 的一个极大线性无关向量组. 解解 由于0 =xA的基础解系含两个解向量，所以3)(=AR. 又由于 TT )0 , 1 , 0 , 0 , 1 (,0 , 0 , 1 , 0 , 2- 21 =）（是0 =xA的基础解系，即解，所以 02 31 ，0 41 ， 表明 43, 可由 1 线性表示，因此 521 ,线性无关，即是 54321 ,的一个 极大线性无关向量组. 五 、 (20 分 ) 已 知 3 元 二 次 型xAxf T = 可 经 过 正 交 变 换 化 为 2 3 2 2 2 1 2yyyf=，又知= * A，其中 * A是A的伴随矩阵， T ) 1, 1 , 1 (=，求二次 型xAxf T = . 解解 已知条件表明矩阵A的特征值为 1, 2 32,1 = ，于是2|=A. 由EEAAA2| * =,= * A，得2=A，即是矩阵A属于特征值 2 的特 征向量. 由于矩阵A是实对称矩阵，所以矩阵A属于特征值1 32, =的特征向量与 正交，可取属于-1 的特征向量为 T 1,0), 1（=, T 1,2), 1（=. 将 , 单位化，得正交矩阵 = 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 Q，且有 = 011 101 110 T QQA. 所以二次型为)(2 323121 xxxxxxxAxf T = . 六、 (15 分) 一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它 们的具体配方比例如下表所示： 型号 1 混凝土 型号 2 混凝土 型号 3 混凝土 水 10 10 10 水泥 20 18 12 砂 20 25 15 石子 10 5 15 灰 0 2 8 现在有二个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为 10,16,21,9, 4 和 12,16,19,9,4. 那么， 能否用这三种型号的混凝土配出满足用户要求的混凝土？ 如能配出，需要这种混凝土 50 吨，问三种混凝土各需要多少吨？ 解解 由于 44820 9915510 1921152520 1616121820 1210101010 44820 31550 51550 84820 1210101010 00000 80000 2592500 42410 1210101010 ， 所以可以配出满足用户一要求的混凝土，但配不出满足用户二要求的混凝土. 又由于 00000 10000 125/9100 42410 8 . 21301 00000 10000 025/9100 025/14010 025/2001 ， 所以，若用户一需要混凝土 50 吨，则三种混凝土分别需要 4 吨、28 吨、18 吨. 2-2 东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷答案） 20201 11 1 20201 12 2 学年学年 第第二二学期学期 课程名称：课程名称：线性代数线性代数 （共（共 2 2 页）页） 一、 (15 分)设矩阵 = 322 222 221 A，求 1*) ( A。其中 * A是矩阵A的伴随矩阵. 解 解解 由于02 =A，所以A可逆. 于是， 5 分 11* 2 =AAAA 10 分 所以， = 2/311 111 112/1 2 1 )( 1* AA. 15 分 二、 (15 分) 设向量 = 1 2 1 1 ， = 1 1 2 2 ， = 2 1 1 3 ， = a 9 2 ，问 a取 何值时向量可由向量组 321 ,线性表示？表示式是否唯一？并求表示式. 解解 由于 = a211 9112 2121 ),( 321 + 2330 5330 2121 a + 7000 3/5110 3/16101 a ，5 分 所以，当7=a时，向量可由向量组 321 ,线性表示，且表示式不唯一. 10 分 表示式为 Rkkkk+=,)3/5()3/16 321 （ 15 分 三、 (15 分) 证明 + =Rcba c bcbaa V,| 00 是 32 R的子空间，求 V 的一组基和维数，并在V上定义内积运算，使V成为欧几里得空间(不用证明). 解解 显然 V 是 32 R的子集，且对 + = 00 1 11111 c bcbaa A ,RkV c bcbaa B + =, 00 2 22222 ， 都有 V cc bbccbbaaaa BA + + =+ 00 21 2121212121 ， V kc kbkckbkaka kA + = 00 1 11111 ， 所以V是 32 R的子空间.而 5 分 000 011 ， 000 110 ， 010 010 是 V 的一组基，维数是 3. 10 分 定义内积 212121 ),(ccbbaaBA+=，则V是欧几里得空间. 15 分 21 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 密封线