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题 目 经典电动力学中典型问题的量子描述与修正 学生姓名 杜超 学号 1210014050 所在学院 物理与电信工程学院 专业班级 物理学 1202 指导教师 马凯 完成地点 陕西理工学院 2016 年 6 月 8 陕西理工学院毕业论文 第1页 共16页 目录 引言 2 1 经典电磁波在介质中传播 . 2 11 经典电磁波反射和折射定律 . 2 1.1.1 入射角和折射角的关系 . 3 1.1.2 入射、反射、折射波的振幅关系 . 4 1.2 经典电磁波的衍射现象 5 1.3 经典电磁波的偏振现象 5 2 电磁波在介质中传播的量子描述 7 2.1 光子的薛定谔方程 7 2.1.1 利用薛定谔方程得到麦克斯韦方程 . 7 2.1.2 光子的自旋 7 2.2 经典电磁波偏振现象的量子描述 9 2.3 经典电磁波反射和折射定律的量子描述 9 2.3.1 入射角和折射角的关系 . 9 2.3.2 关于入射波、反射波以及折射波的振幅相位关系。 . 10 2.4 经典电磁波衍射现象的量子描述 11 3 光子与声子的相互作用 13 3.1 光子的作用 13 3.2 光子和声子的产生机制 13 3.3 声子与光子的比较 13 3.4 光子与声子的相互作用 14 4.结论 14 参 考 文 献 . 15 陕西理工学院毕业论文 第2页 共16页 经典电动力学中典型问题的量子描述与修正 杜超 （陕西理工学院物理与电信工程学院物理学专业 1202 班，陕西汉中，723000） 指导教师：马凯 摘要电磁波作为一种基本量子，理解其宏观行为的量子机制有利于理解量子现象中的诸多抽象概念，例如光 的折射、反射、衍射现象，光的偏振与自旋等。本文将围绕经典电动力学中的几个典型问题展开研究，讨论其量子 描述和微观机理，以及与宏观现象对应等问题。 关键词电磁波；偏振；光子声子相互作用. 引言 经典电动力学作为描述宏观电磁现象的基本理论已被无数实验所验证1，电磁波作为一种基本 量子，理解其宏观行为的量子机制有利于理解量子现象中的诸多抽象概念。本文首先对经典电磁波 在介质中传播的折射和反射定律回顾，以及对衍射和偏振也进行了回顾。这些宏观现象由经典电动 力学来描述。电动力学描述带电体之间，以及带电体与电磁辐射之间相互作用的基本规律，是宏观 物理学的重要基石，与人类的日常生活息息相关。然而，20 世纪初量子力学的发展已经证明电磁波 是传递电磁相互作用的基本量子，因此电磁相互作用，以及电磁波本身都应遵守量子力学的基本规 律。但是经典宏观电磁波现象的微观过程以及量子机制还不慎清晰。 按照量子力学的基本原理，电磁波应当遵守自旋为 1 的薛定谔方程。事实上经典电磁波的麦克 斯韦方程正是自旋为 1 质量为零的薛定谔方程， 其电磁失势A就是波函数2。 由于光子的质量为零， 因此其中一个自旋极化自由度被消除，剩余两个自由度，分别对应于电磁波在不同方向上的偏振3。 同样，电磁波的传播，反射、折射、衍射等现象都可以用量子力学的基本原理来描述和解释。两种 不同方法得到的结果在实验精确度内完全符合4。但是，最近文献5中指出光子波与声子的相互作 用有效地等价于规范势，因此，和量子力学中著名的 Aharonov-Bohm 效应相类似，光子也会得到非 平面相位，这种光子-声子系统中的拓扑相位效应已经被实验证实5。因此，尽管在大多数时候利用 经典的麦克斯韦方程和量子的薛定谔方程，得到的结果是一致的，但是一些只有在量子力学中出现 的效应是完全无法被经典理论预言的，鉴于此，考察各种经典效应的量子机制是有必要的。 本文对经典电磁波的反射、折射、衍射和偏振现象进行回顾，讨论，其次用薛定谔方程来描述 麦克斯韦方程，并对光子的自旋和偏振进行了讨论，进而从用量子理论出发推导出了电磁波的反射、 折射和偏振定律，结果和经典的电磁理论所推导的完全一致，最后我们对光子和声子的相互作用进 行了讨论，以及对光子与声子的特性、光子与声子的产生机制，进行类比。 1 经典电磁波在介质中传播 11 经典电磁波反射和折射定律经典电磁波反射和折射定律 电磁波在介质中传播时，其基本性质受到介质的影响。例如在不同介质中电磁波的传播速度不 相同，这导致了电磁波从一种介质到另一种介质时，一部分被反射，一部分被折射。关于反射和折 射的规律包括以下两个方面：一是入射角和折射角的关系；二是入射、反射和折射振幅以及相对相 位的关系。这些关系由麦克斯韦方程和边界条件来共同确定。因此，一旦电磁波在不同介质界面上 的边值关系确定了，那么其反射、折规律也就确立了。 陕西理工学院毕业论文 第3页 共16页 1.1.1 入射角和折射角的关系入射角和折射角的关系 一般情况对于电磁场而言具有如下边值关系6 2121 2121 0 0 nnf nfn eEEeHH eDDeBB 其中 f 是分界面上的自由电荷面密度； f 是分界面上的自由电流面 密度，将它们应用到绝缘介质中，可以得到四个都等于零的式子，这 是由于在介质界面上不存在自由电荷与传导电流的缘故。 我们得知，在一定频率的稳态波中，电磁波的麦克斯韦方程并不 能完全独立，因为其中的两式可以推导出其它两式来，在定态波的介 质界面上边值关系也与此对应。由于电磁波边值关系E和H不是独 立的，而是由上式诱导出来的，因此在考虑定态时，我们只需讨论下面的边值关系， nn nn eEEeE eHHeH （1） 考虑两种介质，介质 1 和介质 2，它们有无穷大平面分割开来，如图 1.1 所示。当电磁波在这两种介 质中传播时，其传播方向会发生改变，并且有两种可能的形式：一种是留在介质 1 中，这叫反射波； 另一种是透射到介质 2 中，叫做折射波。依照电磁波的叠加原理我们可以假设入射波、反射波和折 射波都是平面波。入射、反射、折射波的电场强度分别为：E、 E 、 E 。三波的波矢分别为，k、 k 、 k 则它们的平面波分别表示为 () 0 () 0 () 0 i k xt i k xt i k xt EE e EE e EE e （2） 由于介质 1 中即有入射波又有反射波，因此总的电场是入射波和反射波的叠加，即 1 EE E ；介 质二这侧只有折射波的电场强度，即 2 E E ，将他们带入（1）式中得 () nn eEEeE （3） 把（2）式带入（3）式中得 ()()() 000 i k xti k xti k xt nn eE eE eeE e （4） 在0Z 的界面上， （4） 式处处， 时时均应该成立， 因而必有ttt （5） xyxyxy k xk yk xk yk xk y （6） 其中， （5） 式表明三波同频率 （7） 因为x，y，t为任意，所以（6）式中的系数应各自相等即有 xxx kkk （8） yyy kkk （9） 我们利用，与为入射角、反射角和折射角来分别表示，则（8）式可写为 sinsinsinkkk （10） 图 1.1 介质面上入反射 陕西理工学院毕业论文 第4页 共16页 当入射波矢在xz平面上时，有0 y k ，于是（9）式可写0 yyy kkk （11） （11）式说明波矢与折射波同入射波类似，都可xz平面上。同一介质应该有相同的波速， 即k 可得 12 =kkk （12） 将（12）式代入（10）式两项中就得到sinsin所以 （13） 将（12）式代入（10）式后两项就可以得到 12 sinsin 写为 122 21 1 sin sin （14） 综上（7） 、 （13） 、 （14）三式能够得到电磁波的折射、反射定律。 电磁波的折射与反射定律和光学的折射和反射定律完全类似6，即内容可以表述为以下三条： 一是入射波、反射波和折射波的频率相同，并且动量方向相同，即在同一个平面内有； 二是入射角等于反射角，即；三是入射角与反射角关系为 122 21 1 sin sin 。除铁磁质外， 大部分介质均有 0 ，从而上式可变为 2 21 1 sin sin n （ 21 n为两介质相对折射率） 。 1.1.2 入射、反射和入射、反射和折射折射波波的的振幅关系振幅关系 类似的，应用边值关系可以求的入射、反射和折射波的振幅关系。因为对每一波矢k均有两个 独立的偏振波，所以我们需要分别来讨论E垂直于入射面与E平行于入射面的两种情况。为了讨论 简洁，设电磁波的入射面垂直于介质界面，将介质两侧边值关系中的E和H分别换为入射、反射、 折射三波相应的场量，即 21 21 0 0 n n eEE eHH 得 nn nn eEEeE eHHeH （15） E垂直于入射面的情况 由边值关系（15）第一式得出 EEE （16） 由边值关系（15）第二式得出 HHH coscoscosHHH （17） 因为coscos即coscosHHH （18） 又因为 1 BkE 且有 0 ，所以 0 1 HkEEE （19） 将（19）式代入（18）式中并消去 0 得 12 coscosEEE （20） 联立（16）和（20）式并消去 E ，得 1221 coscoscoscosEE （21） 图 1.2 入、反、折射三波的振幅 陕西理工学院毕业论文 第5页 共16页 整理（21）式并代入 2 1 sin sin 可得 sin sin E E （22） 同理消去 E 可得 2cos sin sin E E （23） E平行于入射面的情况同理可得 coscoscosEEE （24） HHH （25） 12 EEE与（24）联立，并利用折射定律得出 21 0 n eEE 2cos sin sincos E E （26） 1.2 经典电磁波的衍射现象经典电磁波的衍射现象 光学中，一般用惠更斯菲涅耳原理来讨论光的衍射，并用次波迭加的方法解决了诸多问题， 而且非常成功。同样在经典电磁学中，若在一定频率的正弦震荡电磁波中，当波的频率确定时，那 么定态波的振幅就服从赫姆霍玆方程 22 0Ek E （27） 从而边界条件也必须满足 21 0 neEE （28） 由于电磁场是矢量场，因此电场强度E的任何一个分量都满足赫姆霍玆方程，即我们用表示 E的任意一个分量，且忽略电磁场中其它分量的影响，那么就可以把看作是一个标量场，并且边 界上的和 n 的数值表示区域内的，这种理论是标量衍射理论7。对小孔的衍射，基尔霍夫作 了两点假设8： 在平面孔 S 上，和 n 为原来没有障碍物时入射波的值； 在障碍物背光的一面 S1上，0 n ，若边界 S2在足够远处，那么就可以略去法线倒数 n 中的1 r和1 R项，则场中点 P 处的波 P可写作 12 1 coscos 2 ik s erRi Pds rR （29） （29）式称作菲涅耳基尔霍夫衍射9，其式中的r为p点到ds的距离，R为波源O到ds的距离。 进而对电磁波的衍射现象进行解释分析。 1.3 经典电磁波的偏振现象经典电磁波的偏振现象 根据电磁波的麦克斯韦理论，它是由 3 个矢量E，B，k组成的范畴，在它们之间均满足麦克 斯韦方程，但是其余波的传播方向在理论上来说并不是总垂直的，总而言之就是电磁波不可以在任 何情况下都为横波。光波的本质是电磁波，而偏振又是光的重要性质之一，很多重要的光学现象都 陕西理工学院毕业论文 第6页 共16页 与光的偏振有关，1808 年，马吕斯在实验中就发现了光的偏振 10。 若平面电磁波的电矢量E始终在某一振动，就可以称之为偏振矢量为某一方向的线偏振波，因 为任何一个电矢量E均能够分解为两个方向的偏振态， 所以两个方向振动的电矢量也能够进行合成， 假如考虑频率相同的两束相互垂直的线偏振波， 111 222 i k rt i k rt Ee E e Ee E e （30） 其中： 1230 eeek， 1 E与 2 E可以为复数，那么它们的相位差就由它们的复指数部分表现出来， 两波合成为 121122 i k rt EEEe Ee Ee （31） 第一种情况： 1 E与 2 E相位相同，即合成波是一个线偏振波 22 12 i k rt EEE e （32） 其中合成波的电矢量方向e和 1 e的夹角可以表示为 2 1 arctan E E ， 第二种情况： 12 EE，并且 1 E和 2 E有不同的位相 1 和 2 合成波的电矢量为 12 110210 i k rt ii Ee E ee E ee （33） 我们对（33）式进行变形取实部可得 11101 22202 cos cos Ee Ek rt Ee Ek rt （34） 取 21 ，可用三角函数关系，把（34）式中的k rt 部分约减，即 22 21212 10201020 2cossin EEEE EEEE （35） 式（35）是标准的椭圆方程，因此称其为椭圆偏振波， 第三种情况： 12 EE，并且 2 ，取 1x ee， 2y ee则合成波为 0 i k rt xy EeieE e （36） 可以用（36）式来表示一圆偏振波，并且取其实部，根据三角函数关系，消除 k rt 项，得到一个 圆方程 22 00 1 y x E E EE （37） 式（37）描述的是合成波电矢量E随时间t的变化轨迹为E的端点随频率旋转的圆，其旋转方向 由相位差来决定，事实上，圆偏振波是椭圆偏振波的一种特例，可由椭圆偏振波直接推导得出。 当 2 时，我们可以得到 陕西理工学院毕业论文 第7页 共16页 0 i k rt xy EeieE e （38） 当观察者迎着电磁波的传播方向看电矢量时为逆时钟旋转。光学上我们称之为左旋圆偏振波，在理 论物理与现代电磁理论中称之为正螺旋性波。对此，如果用大拇指指向波矢量k的方向，即E矢量 旋转方向和波矢量k的方向就可以构成右手螺旋关系。 当 2 时，我们称之为右旋圆偏振波或负螺旋性波。 2 电磁波在介质中传播的量子描述 2.1 光子的薛定谔方程光子的薛定谔方程 2.1.1 利用薛定谔方程得到麦克斯方程利用薛定谔方程得到麦克斯方程 在电动力学中，麦克斯韦方程组是用来描述平面电磁波的全部宏观特性的，而量子力学中的薛 定谔方程是用来描述微观粒子系统的基本方程。然而对于自由光子，描述它的薛定谔方程，等效于 描述它的麦克斯韦方程11。 在量子理论中，任何微观粒子的运动规律均可以用薛定谔波动方程来描述12，即 ,ir tHr t t （39） 其中， , r t描述在 t 时刻在x处体积元内的概率，即态函数。H 是粒子系统的哈密顿算符，即能量 算符Hi t ，又因为动量算符为pi z ，因此我们给（39）方程两边关于时间t求导得 2 22 2 ,r tHr t t （40） 给方程（40）两边乘以因子i，即得方程 2 22 2 ,r tHr t t （41） 运用动量和能量满足的相对论关系13并对其两边进行平方得 2222 HEc p，我们就会得到更 为熟悉的方程形式，即麦克斯韦方程的另外一种形式 2 2 22 1 ,0r tr t ct （42） 对于方程（42）的解是电磁矢势 ,A r t，而且在库仑规范下 0A，就可以用来描述无电荷 元，无电流元情况下电磁波的全部电磁性质，可以看到它可以用来描述电磁波的量子性质，因此我 们就可以认为电磁波的薛定谔方程就是其麦克斯韦方程，薛定谔方程解的实部就为麦克斯韦方程的 解。从而我们可以说电磁波的宏观性质与其量子性质在某些情况下是可以等效的。 2.1.2 光子的自旋光子的自旋 对于一个矢量来说，它有三个方向 x ， y ， z ，所以光子应该具有 3 个独立的自旋方向，但是由 于光子没有质量，所以其中一个自由度被消除，因此只剩下两个自由度，其所构成的平面与传播方 向垂直。偏振光的琼斯矩阵表示：假设有一椭圆偏振光在 z 轴方向传播，光矢量 x,y 轴的两个相互垂 直的分量复数形式就可以表示为 陕西理工学院毕业论文 第8页 共16页 1 2 x y i x i y Ebe Eb e （43） 对于（43）式中， 1 b和 2 b分别为x，y方向的振动幅度， x 和 y 称为它们的相位，若其写为二元列 矩阵的形式，那么我们就可以得到其琼斯矩阵14-16，表示为 1 2 x y i i be E b e （44） 对于光的偏振态可取决x，y两方向的分量大小和相差 yx 。通常我们只需要知道两分量的相 对振幅，于是可得到归一化的琼斯矩阵15-16， cos sin i E e （45） 于是可以得到，是光矢量E与x轴的夹角 21 tanb b。对于不同的位相差对应与不同的偏 振态，夹角不同对应的方位也不同。表 2.1 给出常见偏振状态的琼斯矩阵17。 表 2.1 常见偏振态的琼斯矩阵表示 偏振状态 琼斯矩阵表示 线偏振光 光矢量沿 x 轴 1 0 光矢量沿 y 轴 0 1 光矢量与 x 成角 cos sin 圆偏振光 左旋 1 1 2 i 右旋 1 1 2i 正椭圆偏振光 左旋 1 2 b ib 右旋 1 2 b ib 陕西理工学院毕业论文 第9页 共16页 2.2 经典电磁波的偏振现象的量子描述经典电磁波的偏振现象的量子描述 这种处理方法也为光的偏振态与光量子搭建了沟通的桥梁，为我们用光量子的观点来描述电磁 波的偏振提供了理论依据。 在偏振光的量子描述中16，如果将光子的水平偏振与竖直偏振看作为一个两状态系统，那么光 子的偏振状态可以描述为量子计算理论中量子位的状态。 用0 和1分别表示水平偏振和竖直偏振 的光子状态，即 01 0 10 1 T h T V E E （46） 从而可得光矢量和x轴成45时的偏振光可以用0 和1的叠加态来表示，即 4 111 01 1 22 E （47） 进而可以根据（47）式的叠加关系，推广到更为一般的情形，若用 x e 和 y e 分别来表示光子沿x 方向与光子沿y方向振动的两正交本征态矢量，即任意纯偏振态就可以表示成18， cossineee （48） 其中为光矢量E和x轴构成的夹角，为两不同分量的相位差。 因此光矢量和x轴成角的偏振光就可以表示为量子位的状态 cossin xy Eee （49） 圆偏振光可表示为 1 1 2 xy Eei e （50） 椭圆偏振光 oxoy EE可表示为 2 1 2 2 xy Eei e （51） 对于上面几式均可以用一个量子位于 x e 和 y e 叠加态的形式来表示，由此可得，对于光子的水平 偏振与竖直偏振均可用一个量子位的基本状态来表示，其形式可表示为偏振光的量子位叠加态19。 2.3 经典电磁波经典电磁波的的反射反射与与折射定律量子描述折射定律量子描述 2.3.1 入射角和折射角的关系入射角和折射角的关系 量子力学理论可得，能量子不仅具有波动性，而且也具有粒子性， 因此能量子具有波粒二象性。电磁波的二象性与光的二象性类似都可 以用下面这两个公式表现出来 =hE Ph （52） 能量E和动量P用来描述粒子特征的标志性物理量，对于频率和波 长是则是用来描述波动性的物理量。我们考虑这样的一束能量为E 的平行粒子束，以入射角射向平面0x 如图 2.1，在区域0x ； 0V ，在区域0x ； 0 VV 。折射率用 1 2 0 1+nVE表示20。那么它完全服从反射和折射定律。 图 2.1 入反折射粒子束波矢 陕西理工学院毕业论文 第10页 共16页 因为入射、反射、折射粒子束均可用平面波表示，取入射面为xoy面，根据定态薛定谔方程 HrEr （53） 我们可以求出入射波方程可以表示为： 0 0 ik r e 012 ,0kk k 入射动量为 0 k，入射能量和入射角为： 222 220 12 22 k Ekk mm （54） 22 10 arctanarcsin kk kk （55） 由于0 vv yz ，反射粒子和折射粒子动量的y分量和z分量不变，以 R k表示反射波波矢量， 由于反射波出现于0x 区域，所以 R0 =kk，因此 R12 ,0kk k （56） 从而可得反射角等于入射角，即这就是反射定律。 折射波出现于0x 区域，设波矢量为 D k，即折射粒子动量为 D k， D k应满足的能量关系为 D0 2kmEV （57） D k的直角坐标分量可以写为 D2 ,0kk k （58） 由（54） ， （57） ， （58）易见，k和 1 k间有下列关系 222 10 2kkmv （59） 设折射角为，即 20 sinkk， 2 sin D kk， 1 2 0 0 sin 1 sin D Vk n kE （60） 即（60）相当于经典电磁波的折射定律。由以上的推导可知，用量子力学的理论也可以推导出几何 光学的反射和折射定律21。 2.3.2 关于入射波、反射波以及折射波的振幅相位关系。关于入射波、反射波以及折射波的振幅相位关系。 120 12 2 R D R D i k x k yik r ik x k yikr i kx k yikr ee ReRe DeDe 0 入射波 反射波 反射波 （61） 系数R，D待定，在分界面两侧，及x应该连续，即 1RD （62） 陕西理工学院毕业论文 第11页 共16页 从而可以得到 11 121 2 = kkk RD kkkk （63） 因 1 kk，所以R是复实数；D为正实数，可得折射波与入射波同相，反射波与入射波反相，因为 2 100 22 0 =cos1sin cossin D kkk kkkn （64） 则（63）可写为 22 2222 cossin2cos = cossincossin n RD nn （65） 根据密度流公式 2 x i J mxx （66） 得出入射粒子密度流 1 k m ，反射粒子密度流 2 1 k R m ，折射粒子密度流 2 1 k D m 。从而可以得到 2 1 2 1 1 4 =D = kkk k kk 折射流量 入射流量 2 2 22 2 1 22 12 cossin = cossin kkn R kk n 反射流量 入射流量 （67） 若当正入射时，0， 01 kk， D kk， 1 k kn，则 2 1 = 1 n n 反射流量 入射流量 2 4 = 1 n n 折射流量 入射流量 （68） 进而可以得出此结果与经典电磁波的反射、折射定律高度相似。 2.4 经典电磁波的衍射现象的量子描述经典电磁波的衍射现象的量子描述 20 世纪初，爱因斯坦和普朗克相继提出了光波的量子理论，从而揭示了微观客体具有波粒二象 性并得到了大量实验的验证，从而建立了微观客体的量子理论，量子理论认为电磁波既有波动性又 有粒子性，因而在一定条件下，电磁波可以产生衍射现象，所以可以用量子理论的方法对电磁波的 衍射做进一步解释22，我们将用量子理论来处理任意平面的衍射现象。 假设在0z 处，xoy平面上有一个无限大不透明的平面，在平面上开一个孔o，电磁波透射过 孔O，电磁波透过孔O处于衍射态23，为简化模型仅讨论实态波粒子的衍射，假设在0Z 处，粒 子的衍射波函数可表示为 ; 0 ; i 孔上 面上 （69） i 是设有面时入射波的值。当平面为无限薄理想导体时，进而忽略边缘效应，粒子的衍射在动量表 陕西理工学院毕业论文 第12页 共16页 象中的波函数就可以表示为 222 0000 1 ,exp 2 zxy z i pppppxypdx dy （70） 式中 00 ,xy， 222 zxy pppp 根据电磁波入射状态的动量 i p与衍射状态的动量p满足 i pp （71） 根据表象变换就可以求出粒子任意一个点, ,r x y z粒子的波函数为 0000 2 1 , ,exp,exp 2 xyii ii x y zdp dpprxypdx dy 0000 2 1 ,expexp 2 xy dx dyxykik r dk dk （72） 式中 p k ， （72）式与傅立叶光学中的平面波角谱衍射理论一致的23，则（72）式可表示为， , , , , pe x y zx y zx y z （73） 其中， 222 0000 2 222 1 , ,expexp 2 xy xy pxy kkkxy k xk y x y zdx dyxykidk dk z kkk （74） 222 0000 2 222 1 , ,expexp 2 xy xy exy kkk xy i k xk y x y zdx dyxyikidk dk z kkk （75） 式中（74）表示传播波， （75）表示衰减波是电磁波经平面孔衍射时不确定性原理的要求。 因此我们可以得到在显示屏上就够能观察到光的衍射强度分布为 2 , , ,Ix y z t （76） 文献24是光双缝衍射的实验，在文献24中，两缝的宽度均为 4 1.3 10am ，两缝之间距离为 4 4 10dm ，缝到屏的距离4rm。实验用的光的波长为 9 916 10 nm ,在理论计算中，我们取 与实验相同的以上参量，同时取缝长 3 2.0 10bm ，缝厚 5 8.8 10cm 。经典的电磁理论能够推导 计算出双缝干涉强度的公式为 2 0 sinsin 4cossin sin a IId a （77） 图 3.1 是理论计算与实验数据比较图，图中实曲线为量子理 论计算的结果，虚线为经典理论计算的结果，点为实验数据 可以看出，经典电磁理论计算结果对光的描述有一定偏差， 主要表现在衍射强度最小值与最大值都小于实验值，因此经 典电磁理论只是一种近似描述由于光具有波粒二象性， 因此， 对光的干涉衍射精确描述应该用量子理论方法25，来描述。 我们用量子理论方法计算的结果与实验符合更好用量子理论 解释电磁波的衍射有利于了解电磁波的特性，量子理论可以 说明波的衍射是几率幅的衍射，不是电磁波本身。 图 3.1 理论与实验数据比较图 24 陕西理工学院毕业论文 第13页 共16页 3 光子与声子的相互作用 3.1 光子的作用光子的作用 带电粒子之间的相互作用是通过相互之间传播光量子发生的。光子为电磁场的基本量子，它是 粒子之间电磁相互作用的媒质。带电体之间和电流元之间，或带电粒子和电流元之间都能产生电磁 作用。 3.2 光子和声子的产生机制光子和声子的产生机制 在 1987 年，美国 Bell 实验室中的 Yablonovitch 在研究自发辐射的抑制方法中发现，介电常 数在周期性变化中的结构会将电磁波的传播性质改变。同时间，普林斯顿大学的约翰也对光子局域 问题进行了研究从而也发现了类似的性质。随后，两人根据自己的研究各自提出了一个新概念即“光 子晶体(Photonic Crystal)”。 声子晶体是由具有不同参数的材料周期排列组成的人工复合结构， 在 1992 年，Economou 和 Sigalas 在研究异质球材料组成的周期点阵结构性质中发现这种结构能够产生弹 性波带隙26。之后，Kushwaha 等人通过周期弹性复合材料和传统电子晶体、光子晶体的关系，首次 明确提出声子晶体的概念27。并根据光电效应以及康普顿效应提出光和物质相互作用中表现出了粒 子性，即光子。声子不能脱离固体存在，因为声子是晶格振动使格波激发的量子，在多体物理理论 中表现为集体振荡的元激发或准粒子28。 3.3 声子与光子的比较声子与光子的比较 对于声子气体，如果振动频率远大于倒逆碰撞几率、且远小于正常碰撞几率时，就会产生声子 密度波的传播。高密度声子对应于高温，在宏观状态下来看更像是一种温度波，同时声子除了具有 粒子的共性外也具有其自己的某些特性，表 3.1 给出声子气体和光子气体的比较。 表 3.1 声子气体与光子气体的比较表28 气 体 项 目 光子气体 声子气体 容器 具有恒定温度封闭腔体 晶体在一维声子生存媒质 简正模式数 每个k二个 每个k有3P个 波矢的限制 k任意 k在第一布里渊区 能量密度 3 1 2 2 k ALLK k dk e 3 1 . 2 s s k s B Z k dk e 静止质量 0m 0m 化学势 0 0 自旋 1S 0S 波场 电磁场 格波场 统计规律 玻色统计 玻色统计 碰撞 光子相互碰撞，或腔体碰撞 声子相互碰撞， 或晶体表面、 杂质的碰撞 碰撞中动量 守恒（腔体内） 守恒（除晶体表面、杂质、 倒逆过程） 碰撞中能量 守恒 守恒 碰撞中粒子数 不守恒 不守恒 色散关系 ,ck c光速 s k 陕西理工学院毕业论文 第14页 共16页 3.4 光子与声子的相互作用光子与声子的相互作用 光子与声子的相互作用。一个光子模式1和一个声子相互作用，生成一个新的光子模式2 ， 该光子又与其它声子相互作用，通过级联光子与声子的相互作用，光子过渡从模式1到模式2 并 且返回到模式1，光子与声子的相互作用的每个阶段均满足布拉格条件和能量守恒、动量守恒。 随着声光效应的影响29,光子在一个晶体中可以通过声子被分散。正如如图4所示,这里我们考虑 了散射过程事件中光子入射电子束运用模式1表示，对于一个角频率 1 与一个波矢 1 k与一个声子 的角频率和波矢q的相互作用。光子声子互动会生成一个光子衍射光束,可以用不同的模式2 来表示，它拥有一个角频率 2 和一个波矢 2 k，该过程满足能量-动量方程， 即 21 （78） 21 kkq （79） 从多普勒频移公式 21 和布拉格条件 21 kkq。 这个加减符号暗示即将离任的光子可以 在频率一定情况下加速或减速以及这两个模式1和在2 光子之间的转换是可逆的,取决于光子-声 子间相互作用的结构。光子和声子相互作用的另一个重要特征是随着恰当的设计即将离任的光子可 以从传入的光子在不同的轨道路径中运行，这是非衍射光子在空间地关键性分离从散射光子避免衍 射和非衍射之间可能的干扰因素。光子在微观客体中既不是经典波，又不是经典粒子。若用某种物 质和微观客体的相互作用去测量其微观客体时，就它被广义看成是一种粒子；但是当它在运动时， 就能观察到衍射现象从而可以表明其为波动。光是一种空间介质对作用的传