§3．1．3 导数的几何意义

1 / 6 3 1 3 导数的几何意义 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 3 1 3 导数的几何意义 【学情分析】： 上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。 【教学目标】： 1.了解曲线的切线的概念 2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法 3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 【教学重点】： 理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义 .光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景导数的几何 意义及 “ 数形结合，以直代曲 ” 的思想方法 . 【教学难点】： 发现、理解及应用导数的几何意义 ,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率 . 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 (1)复习引入圆与圆锥曲线的切线定义 :与曲线只有一个公2 / 6 共点并且位于曲线一边的直线叫切线 曲线的切线 如图，设曲线 c 是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 c 在点 P 处的切线 为课题引入作铺垫 . 如图 ，设曲线 c 是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 c 在点 P 处的切线 （ 2）讲解导数的几何意义 2.确定曲线 c 在点处的切线斜率的方法： 因为曲线 c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线 PQ 的倾斜角为，切线 PT 的倾斜角为，既然割线 PQ 的极限位置上的直线 PT是切线，所以割线 PQ 斜率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan,即 tan= 3 / 6 我们可以从运动的角度来得到切 线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率 .那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了 . 3说明： (1)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率 . (2)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度 .它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 指导学生理解导数的几何意义，可以讨论 (3)讲解范例例 1、曲线的方程为 y=x2+1，那么求此曲线在点 P(1， 2)处的切线的斜率， 以及切线的方程 . 解： k= 切线的斜率为 2. 切线的方程为 y 2=2(x 1)，即 y=2x. 例 2、求曲线 f(x)=x3+2x+1 在点 (1， 4)处的切线方程 . 解 :k= 切线的方程为 y 4=5(x 1)， 即 y=5x 1 4 / 6 例 3、求曲线 f(x)=x3 x2+5在 x=1 处的切线的倾斜角 . 分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率 k=tana，求出倾斜角 a. 解： tana= 通过例子，更深入理解导数的概念 a 0， ， a=. 切线的倾斜角为 . (4)课堂小结导数的几何意义，怎么求曲线的切线。 补充题目 : 1导数的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数在处的即： 函数平均变化率的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。 3导数的几何意义是什么？导数的几何意义是 4在函数的图像上，（ 1）用图形来体现导数， 的几何意义，并用数学语言表述出来。（ 2）请描述、比较曲线在 . 5 / 6 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？ （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（ 讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透 “ 数形结合 ” 、 “ 以直代曲 ” 的思想方法。） 5如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（ min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。 (精确到 ) 药物浓度的 瞬时变化率 （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透 “ 数形结合 ” 、 “ 以直代曲 ” 的思想方法。） (以上几题可以让 学生在课堂上完成 ) 6.求下列曲线在指定点处的切线斜率 . (1)y= +2, x处 （） y， x处 6 / 6 答案： (1)k=，（） k= 7已知曲线 y=2x2上一点 A(1， 2)，求 (1)点 A 处的切线的斜率 .(2)点 A 处的切线方程 . 解： (1)k= 点 A 处的切线的斜率为 4. (2)点