一道不等式高考题的证明与推广.doc

一道不等式高考题的证明与推广 湖北省阳新县高级中学(435200)宋其武邹生书 题目设x1,y1，证明：x+y+1xy1x+1y+xy。 这是xx年高考安徽卷理科第19题，本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广，与大家交流分享。 证法1：右边减去左边得1x+1y+xyxy1xy=y+x+x2y2x2yxy21xy，将分子以x为主元得y(y1)x2+(1y2)x+y1，即(y1)(x1)(xy1)，因为x1,y1，所以(y1)(x1)(xy1)0，故1x+1y+xyxy1xy0，即x+y+1xy1x+1y+xy，当且仅当x=1或y=1时等号成立。 证法2：设f(x)=1x+1y+xyxy1xy，则f(x)=1x2+y1+1x2y=(y1)(11x2y)。因为x1,y1，所以f(x)0，所以f(x)在1,+)上单调递增，所以f(x)f(1)=0，所以x+y+1xy1x+1y+xy成立，当x=1时等号成立，由对称性知当y=1时等号成立，故当且仅当x=1或y=1时等号成立。 将上述高考题变量的个数进行推广可得如下命题： 推广1设x1,y1,z1，证明：1x+1y+1z+xyzx+y+z+1xyz。 推广2设xi1(i=1,2,n,n2,nN)，则1x1+1x2+1xn+x1x2xnx1+x2+xn+1x1x2xn。 读者可用上述两种方法证明推广1，下面我们用数学归纳法来证明推广2。 证明：（数学归纳法） （1）当n=2时，由上述证法可知1x1+1x2+x1x2x1+x2+1x1x2成立。 （2）假设当n=k时，1x1+1x2+1xk+x1x2xkx1+x2+xk+1x1x2xk成立。则当n=k+1时， （法1）1x1+1x2+1xk+1+x1x2xk+1x1x2xk+11x1x2xk+1=(1x1+1x2+1xk+x1x2xkx1x2xk1x1x2xk)+(1xk+1+x1x2xk+1xk+11x1x2xk+1x1x2xk+1x1x2xk)1xk+1+x1x2xk+1xk+11x1x2xk+1x1x2xk+1x1x2xk。 设t=x1x2xk，则1xk+1+x1x2xk+1xk+11x1x2xk+1x1x2xk+1x1x2xk=1xk+1+txk+1xk+11txk+1t+1t=t1txk+1+xk+1(t1)t21t =(t1)tx2k+1(t+1)xk+1+1txk+1 =(t1)(xk+11)(txk+11)txk+1。 因为xi1(i=1,2,n,n2,nN)，所以t=x1x2xk1，txk+11，所以 (t1)(xk+11)(txk+11)txk+10。 故1x1+1x2+1xk+1+x1x2xk+1x1+x2+xk+1+1x1x2xk+1，当且仅当xi(i=1,2,n)至少有一个为1时不等式等号成立。所以当n=k+1时不等式成立。 （法2）设f(xk+1)=1x1+1x2+1xk+1+x1x2xk+1x1x2xk+11x1x2xk+1，则f(xk+1)=1x2k+1+x1x2xk1+1x1x2xkx2k+1=(x1x2xk1)+1x1x2xkx1x2xkx2k+1=(x1x2xk1)(11x1x2xkx2k+1)0，所以f(xk+1)在1,+)上单调递增，所以f(xk+1)f(1)=1x1+1x2+1xk+x1x2xkx1x2xk1x1x2xk0，故1x1+1x2+1xk+1+x1x2xk+1x1+x2+xk+1+1x1x2xk+1，当且仅当xi(i=1,2,n)至少有一个为1时不等式等号成立。即当n=k+1时不等式成立。 由（1）（2）知，对任意不小于2的自然数n都有1x1+1x2+1xn+x1x2xnx1+x2+xn+1x1x2xn。 span style=ms