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中一數學溫習筆記 1 第一章第一章 有向數及數線有向數及數線 1. 有向數的定義 a. 有向數 所有附有正號(+)或負號(-)的數都稱為有向數。例如：+9, -8, -9, +8 b. 相反數 數值一樣但正負相反的數。例如：+9 的相反數是-9 c. 絕對值 只有數值的量，不帶正或負的意義。 例如： (-9)的絕對值 = 9 (9)的絕對值 = 9 d. 數線 依大小次序把有向數標示在一直線，該直線稱為數線。 例如： 水平數線：從左至右，由小至大； 垂直數線：從下至上，由小至大； e. 不等號 大於()：5 3, 100 0 小於()：2 9, 13 ， 2，讀作3大於2 0 5，讀作0小於5 x 5，讀作 x大於或等於5，即x可能是5， 6.5或8等等。 x 6，讀作 x小於或等於5，即x可能是6， 4.5或0等等。 含有不等號的數式稱為不等式。 所有令不等式成立的未知數的值都稱為該不等式的解。 解不等式時運用在不等號的兩邊同時進行加減的運算；乘或除 时，則視乎乘數或除數是的正負值：若是正數，則不等號不變；若 是負數，則不等號改變方向。 e.g. 114a 332b 4. 數字的規律 一組排列好的數字稱為數列或序列。 數列中每一個數字都稱為一個項。 對於一個有規律排列的數列，若以一個代數式表示該數列的規律， 則稱這代數式為通項。 5. 函數的初步認識 當方程中有二個變量時(e.g. y = 2x 6)，其中一個變量(x)改變時， 另一變量(y)亦改變。我們便稱y是x的函數。 練習 1. 用代入法求下列各公式中主項的值 a. tuv5 (u = 10及t = 3) b. dnT) 1( (n = 7及d = 2) 2. 小昌的袋裏有$137。他替班會購買41個文件夾後，餘下$75.5。問每個文件 夾的價錢是多少？ 解: 3. 在下列各代數式中，寫出(i)項數、(ii)常數項、(iii)同類項、 (iv)一對異類項 a. xyx853 b. yyx7334 項數 常數項 同類項 一對異類項 a b 中一數學溫習筆記 5 第三章 指數及數制第三章 指數及數制 1. 指數記數法 當 an n aaaaa 個 . 其中a稱為底，n稱為指數，而 n a則讀作a的n次方或a的n次冪 e.g. aaaaa 4 ， 55553， aa 1 注意：aaaaa4， 55535 naaaa n 個 . aaaa 3 aaaa 3 2. 指數定律 a. nmnm aaa ， e.g. 108282 7777 b. nmnm aaa ， e.g. 2424 555 = 52 c. nn n baab， e.g. 3333 273333)3(xxxxxx 3. 不同數制的記數法 a. 數碼 十進制：0 9 e.g. 3510 二進制：0, 1 e.g. 11012 十六進制：0 9, A, B, C, D, E, F e.g. A34F16 b. 位值 十進制 萬(104) 千(103) 百(102) 十(10) 個(1) 二進制 24 23 22 2 1 十六進制 164 163 162 16 1 e.g. 110110 = 11100101101 23 11012 = 11202121 23 110116 = 11160161161 23 c. 轉換二進制或十六進制為十進制 中一數學溫習筆記 6 e.g. 11012 = 11202121 23 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310 e.g. A1C16 = 1121611610 2 = 2560 + 16 + 12 = 258810 d. 轉換十進制為二進制或十六進制 e.g. 1310 = 11012 e.g. 258810 = A1C16 練習 1. 化簡 33 62pp 2. 化簡 2332 362xyyxyx 5. 把2710寫成二進數 6. 把21510寫成十六進數 13 2 6 2 1 3 2 0 1 1 2588 16 161 16 12 10 1 中一數學溫習筆記 7 第四章 簡易多項式第四章 簡易多項式 1. 定義 e.g. 若筆袋中有三枝鉛筆(a)、二枝原子筆(b)、一塊擦膠(c)及一把直尺(d)。 於是我們說筆袋中有四種不同東西 ， 它們是不同類 。 若使用未知數表示 ： 則筆袋中有3a + 2b + c + d 所以上式有四項，分別為3a，2b，c，d。它們是不同項(類)，不能相加。 若再有二枝鉛筆放進筆袋中，而拿走直尺， 則筆袋中有(3a + 2b + c + d) + 2a d = 5a + 2b + c 從上而知，同項可以相加減。 e.g. 多項式 104 2 1 3 234 xxxx是按變數x的降冪排列 次 數 項數 2 x的係數 x的係數 常數項 4 5 4 1 10 多項式 432 3 2 1 410xxxx是按變數x的升冪排列 2. 多項式的加減乘(同項相加，異項不能相加，x和x2是異項) e.g. 22 3332xyxxyx = 22 3332xyxxyx = 22 3332xxyyxx = 2 225xyx e.g. 22 3332xyxxyx = 22 3332xyxxyx = 22 3332xxyyxx = 2 44xyx 中一數學溫習筆記 8 e.g. 312xx = 12312xxx = 362 2 xxx = 352 2 xx 練習 1. 化簡下列各式。(20分) a. yxyx347 b. 2(y2 4y 9) 3(2y2 y 2) 2. 展開下列各式 (20分) a. (a b)(a2 ab b2) b. (5x 3)(2x 1) 3. 附圖的ABCD是一個平行四邊形，高度為3x 1，其中AB 5x 2， BC x 6。 求這平行四邊形的周界和面積，並以x的降冪排列表示答案。 中一數學溫習筆記 9 第五章 一元一次方程式第五章 一元一次方程式 1. 建立方程 - 設立未知數，根據題意，寫出方程式 e.g. 達津中學的中一級共有學生210人，男生比女生多24人，問男生和女 生的數目分別是多少？ 設男生有x人，女生有(x 24)人 x + (x 24) = 210 2x 24 = 210 2x = 234 x = 117 男生有117人，女生有93人。 2. 解方程 利用移項方法 e.g. 7258ww 6w = 12 w = 2 e.g. )23 . 0(213 . 08yy 8y 2.4 = 1 + 0.6y + 4 7.4y = 7.4 y = 1 e.g. 7 5 2 4zz 20 + 5z = 2z + 35 3z = 15 z = 5 練習 1. 甲、乙和丙三人分一筆 $1 540 的款項。甲分得的是乙的 1 3 ，而乙分得的 是丙的兩倍。問乙分得多少錢？ 2. 偉明和父親的體重共90公斤 ， 父親的體重是偉明的體重的兩倍再多6公斤， 求他們各人的體重。 3. 21 3 2 4 xx 4. 5x3(5x)252x 中一數學溫習筆記 10 第六章 百分法第六章 百分法 1. 百分數增減 新值 = 原值 (1 + r%) 增減百分數(r%) = %100 原值 原值新值 e.g. 求 15 增加至 18 的增加百分數。 增加百分數 = %100 15 1518 = 20% e.g. 求 20 減少至 15 的減少百分數。 減少百分數 = %100 20 1520 = 25% 2. 盈利和虧蝕 盈利 = 售價 成本 盈利百分數 = %100 成本 盈利 虧蝕 = 成本 售價 虧蝕百分數 = %100 成本 虧蝕 折扣 = 標價 售價 折扣% = %100 標價 折扣 售價 = 標價 ( 1 折扣% ) e.g. 某零售商以 $800 買入一批藥材，現在以 7% 的虧蝕百分率把它 們售出。求該批藥材的售價。 中一數學溫習筆記 11 售價 = 800 (1 7%) = 800 0.93 = $744 e.g. 一本標價 $M 的書以 20% 的折扣百分率售出。如果這本書的售 價是 $120，求標價。 M (1 20%) = 120 M = 120 0.8 M = 150 練習 1. 志華在九月份的身高是 135cm，現在身高是 150cm，問他身高增 加百分數？ 2. 小康以 $1 650 買入一部手提電話，而折扣是 $550。求折扣%。 3. 陳先生以 $160 購買 100 枝原子筆。如果他以每枝 $2 的價錢 把這些筆售出，問盈利百分率是多少？ 中一數學溫習筆記 12 第七章 數值估算第七章 數值估算 1. 四捨五入法 e.g. 573 570(準確至十位) 573 600(準確至百位) 2. 最左數字法 e.g. 34.5 30 185 100 1.24 1 0.89 0 3. 相容數字法 e.g. 估計 963 2.89 + 7 963 3 + 7 = 321 + 7 = 328 4. 集中數字法 e.g. 估計 11.2 2.3 2.1 2.05 1.91 2.51 11.2 2 2 2 2 2 = 1.2 5. 上捨入法 無論數字多少，都會進位至指定的準確度。 e.g. 考慮數式967 146 367。利用上捨入法，把數式中各數捨入準確至百位， 由此找出這數式的估計值。 967 146 367 1000 200 400 500 6. 下拾入法 - 無論數字多少，都會把數字捨去至指定的準確度。 e.g. 考慮數式1432 2 1 627 8 3 1244 7 1 945 4 3 。利用下捨入法，把數式中各數 捨入準確至十位，由此找出這數式的估計值。 1432 2 1 627 8 3 1244 7 1 945 4 3 14306201240940 2350 練習練習 1. 用最左數字法估計 10.175.790.983.547.44 的值。 2. 以四捨五入法，求數式 60.4922.5501.34 的估計值。 3. 利用相容數字法0.665 183的估計值。 中一數學溫習筆記 13 第八章 幾何簡介第八章 幾何簡介 1. 定義 點 無大小 例 A 或 B 線 由無限點組成，有直線及曲線 例 L l 面 有平面及曲面 例 五邊形ABCDE 角 例 x B ABC 量度方法： 距離 尺 角度 量角器 平行線 永不相交 AB / DE 垂直線 互成90 AB CD 中一數學溫習筆記 14 2. 三角形 (ABC) 三角形內所有角的和是180。 直角三角形 等邊三角形 等腰三角形 3. 正多邊形 邊長相等，每一內角相等。 練習: 求下列各三角形中的未知角。 C a A B 50 P R Q 52 3 x + 8 2 x 中一數學溫習筆記 15 第九章 對稱及變換第九章 對稱及變換 1. 反射對稱 AB - 對稱軸 右邊的圖案是左邊的影像 左邊的圖案是右邊的影像 (鏡子成像的原理) 2. 旋轉對稱 O 旋轉中心 此例為四折式旋轉對稱 3. 反射變換 特性 大小，形狀相同，只是左右反轉 4. 旋轉變換 特性 大小，形狀相同，只是影像的每一點都繞旋轉中心旋轉同一角度 5. 平移變換 特性 大小，形狀相同，只是影像的每一點都依同一方向移動相同距離 中一數學溫習筆記 16 6. 放大(縮小)變換 特性 每條邊都以相同的倍數增減 練習 1 (a) 試在下列方格紙上，繪出原有圖形繞O點依逆時針方向旋轉90 後的影 像。 (b) 試在下列方格紙上，繪出原有圖形繞O點依順時針方向旋轉270 後的 影像。 中一數學溫習筆記 17 第十章 全等及相似第十章 全等及相似 1. 全等三角形 全等的定義 兩物件在形狀及大小均相等 全等三角形 所有對應邊及對應角相等 PQRABC SSS SAS ASA AAS RHS 相似三角形 相似的定義 若兩圖案相似，則經過放大或縮小變換後，可變為相同的圖案。 相似三角形所有對應角相等，對應邊成比例。 PQRABC AAA 三邊成比例 兩邊成比列且夾角相等 練習 1. 圖中有否相似三角形，若有，請列明及寫理由並求未知數。 ab c p q r r c q b p a ab p q q b p a 8 y x 10 12 中一數學溫習筆記 18 第十一章 第十一章 量度方面的估計量度方面的估計 1. 誤差 量度值與實際數值之間的差距 例: 假設一輛車的實際長度是4.55m，若量度值是4.4m，則 誤差 = 4.55 4.4 = 0.05m 2. 最大誤差 = 準確度 2 例: 直尺的最小刻度是1mm，則準確度為1mm。 最大誤差 = 1 2 = 0.5mm 3. 累積誤差 例: 以一把兩個連續刻度之間距離為1mm的直尺量度右圖中長方形ABCD的五 邊的長度，可得AB = 6.4cm及BC = 3.2cm。如果以所得的量度值計算該長方 形的面積，問累積誤差是多少？ 量度值 最大值 最小值 長度 6.4 6.45 6.35 闊度 3.2 3.25 3.15 以量度值計算的面積 =6.4 3.2 = 20.48cm2 以最大值計算的面積 =6.45 3.25 = 20.9625cm2 以最小值計算的面積 =6.35 3.15 = 20.0025cm2 20.9625 - 20.48 = 0.4825cm2 20.48 20.0025 = 0.4775cm2 累積誤差 = 0.4825 4. 單位轉換 例: 1m = 100cm = 1000mm 1m2 = 1m 1m = 10000cm2 練習 1. 完成下列各題。 (a) 240 s = ( ) min (b) 1.5 m2 = ( ) cm2 2 100隻光碟所量得的重量是1kg。求每隻光碟的重量。 中一數學溫習筆記 19 第十二章 第十二章 面積和體積面積和體積 1. 面積和體積公式 三角形 正方形 長方形 平行四邊形 梯形 底 高 2 邊長 邊長 長 闊 底 高 (上底下底) 高 2 正立方體 長方體 邊長 邊長 邊長 長 闊 高 2. 多邊形 方法一：分割為簡單圖形，使用公式計算面積後再加起來。 例 求下列各平面圖形的面積。 2 2 2 2 m10 m )4()5( 2 1 m20 m )4()5( 三角形的面積 長方形的面積 2 2 m30 m )20()10( 所求的面積 方法二：以大面積減去部份面積。 例 求下列各陰影區域的面積。 3. 體積 柱體體積 = 橫切面面積 高 柱體側面面積 = 橫切面周界 高 柱體總面積 = 橫切面面積 2 側面面積 3 m 2 m 7 m 8 m 2 2 2 2 m28 m )7()8( 2 1 m6 m )2()3( 三角形的面積 長方形的面積 2 2 m22 m )6()28( 陰影區域的面積 4 m 4 m 5 m 中一數學溫習筆記 20 例 求下列有均勻橫切面（陰影區域）的立體體積。 3 3 cm300 cm )12()25( 立體體積 練習: 1. 求圖案中的陰影面積 10 m 13 m 4 m 15 m 10 m 2. 在圖中，ABCD 是一個平行四邊形。求 x 的值。 7 cm 12 cm 8 cm x cm A B C D 3 游泳池長50m，闊20m，它有一個均勻橫切面。水深則由一端的1m至另一 端的2m，求該游泳池所載的水的體積。 25 cm2 12 cm 中一數學溫習筆記 21 第十三章 第十三章 坐標簡介坐標簡介 1. 直角平面座標 2. 水平或鉛垂線段的長度 . 若兩點的x座標相同，則兩點為鉛垂於x軸的線段。 距離 y座標相減 例 計算A (10 , 3)和B (10 , 7)的距離 AB 單位 . 若兩點的y座標相同，則兩點為水平於x軸的線段。 距離 x座標相減 例 計算H (3 , 4)和K (7 , 4)的距離 HK = (-3) (-7 ) = -3 + 7 = 4單位 3. 座標中的變換 a. 平移 水平平移時y座標不變；鉛垂平移時x座標不變。 例： 圖中P點向右平移單位後， 新座標為(，) 若圖中P點向下平移單位後， 新座標為(，) b. 反射 沿x軸反射時，x座標不變；沿y軸反射時，y座標不變 例： 若P點沿x軸反射後， 新座標為(，) 若P點沿y軸反射後， 新座標為 (4，) y x 4 2 (4, 2) y x 4 2 P (4, 2) y x 4 2 P (4, 2) 中一數學溫習筆記 22 c. 旋轉 以順時針方向或逆時針方向沿某中心旋轉 例： 若P以O為中心逆時針旋轉90， 新座標為 (-2，4) 4. 極座標 練習 參看附圖，如果 P 和 Q 兩點間的距離是 10 單位，求 k 的值。 y x 0 P(k,3)Q(3k+2,3) y x 4 2 P (4, 2) (-2, 4) r P(r,) O X 中一數學溫習筆記 23 在圖中，ABCD 是一個周界長 36 單 位的長方形，它的邊都是水平線或鉛 垂線。 (a) 如果長方形的長是 12 單位，求它 的闊。 (b) 求 B、C 和 D 的坐標。 參看附圖。 (a) 求 AB 的長度。 (b) 如果 D 點在 x 軸上，且 CD 垂直 於 x 軸，求 D點的坐標。 (c) 求 CD 的長度。 (d) 求 ABC 的面積。 y x 0 B A(5,2) C D y x 0A(1,0) B(5,0) D C(7,12) 中一數學溫習筆記 24 第十四章 第十四章 統計工作的各個步驟簡介統計工作的各個步驟簡介 1. 數據 可分為離散數據和連續數據 收集方法 查閱資料、問卷調查等等 2. 數據整理 分組 例 中一乙班的學生體重(單位是kg)如下： 40.3 38.1 36.9 41.4 52.8 39.5 35.7 51.3 43.2 38.6 44.8 36.0 42.1 40.7 37.7 37.4 51.9 52.6 36.6 38.3 44.8 50.2 41.0 42.8 37.1 43.0 37.5 41.5 42.2 47.9 體重(kg) 組界 組中點 頻數 30.0 39.9 29.95 39.95 34.95 12 40.0 49.9 50.0 59.9 總數 例 下表顯示一班200名學生的體重。 體重(kg) 組界(kg) 組中點(kg) 頻數 50 52 49.5 52.5 51 12 53 55 47 56 58 72 59 61 45 62 64 16 65 67 8 (a) 完成上表。 (b) 計算學生體重低於58.5kg所佔的百分率？ 3. 數據表達 例 以各種圓形表示資料 MTR 20 巴士 12 電車 6 私家車 2 中一數學溫習筆記 25 圓形圖 折線圖 同學上學的交通工具 MTR 巴士 電車 私家車 同學上學的交通工具 0 5 10 15 20 25 MTR巴士電車私家車 交通工具 頻數 數列1 棒形圖 散點圖 同學上學的交通工具 0 10 20 30 MTR巴士電車私家車 交通工具 頻數 數列1 10名學生的身高及體重 0 20 40 60 050100150200 身高(cm) 體重(kg) 幹葉圖 例 以下的幹葉圖顯示中一某班數學測驗的成績。 中一班數學測驗的成績 幹（十位數） 葉（個位數） 3 4 4 6 4 1 2 5 7 5 4 5 5 6 8 8 9 6 2 3 5 6 7 7 8 8 7 1 1 1 2 5 6 8 8 0 1 1 1 2 5 若資料是連續數據 例 以下所示為20人的身高（單位是cm） ： 163 165 166 173 174 166 172 173 168 158 155 155 160 165 167 151 166 164 163 174 a. 完成下列頻數表 中一數學溫習筆記 26 身高(cm) 組界 組中點(cm) 頻數 150 154 149.5-154.5 152 1 155 159 154.5-159.5 157 3 160 164 159.5-164.5 162 4 165 169 164.5-169.5 167 7 170 174 169.5-174.5 172 5 b. 根據以上資料，繪畫組織圖