毕业论文-中学数学抽象函数常见题型及其解法.doc

百色学院本科毕业论文（设计） 本科毕业论文（设计）题 目中学数学抽象函数常见题型及其解法学生姓名学 号2010110949系 名数学与计算机信息工程系专业年级数学与应用数学 2010级指导教师职 称副教授单位数学与计算机信息工程系辅导教师职 称单位完成日期2014年05月05日目 录百色学院本科毕业论文（设计）开题报告.I 百色学院本科毕业论文（设计）任务书.IV 百色学院本科毕业论文（设计）中期自查表.V 摘 要.VI ABSTRACT.VI 1 中学生学习抽象函数的现状.1 1.1 中学数学抽象函数.1 1.2 中学生学习抽象函数的现状.1 1.2.1 中学生学习抽象函数的认知现状.1 1.2.2 中学生对抽象函数的应用现状.1 2 中学生学习抽象函数困难的原因.2 3 中学数学抽象函数常见题型及其解法.3 3.1 求抽象函数的定义域.3 3.2 求抽象函数的值域或函数值.4 3.3 求抽象函数的解析式.6 3.4 具有奇偶性的抽象函数.7 3.5 具有对称性的抽象函数.8 3.6 具有周期性的抽象函数.9 3.7 具有单调性的抽象函数.10 3.8 具有综合性的抽象函数.12 4 对中学抽象函数的教法建议.13 5 总结与期待.15 致谢.16 参考文献.17 百色学院本科毕业论文（设计）诚信保证书.18 百色学院本科毕业论文（设计）百色学院本科毕业论文（设计）开题报告学号2010110949学生姓名系 名数学与计算机信息工程系专业年级数学与应用数学专业2010级指导教师职称副教授论文（设计）题目中学数学抽象函数常见题型及其解法1. 本论题国内外研究动态及研究意义： 国内外研究动态：我国由于长期受应试教育的影响，几乎成为“解题王国”，中学教学热衷于数学解题，中学数学教育期刊绝大部分篇幅都是探讨数学解题文章，人们为学生数学解题能力的提高，特别是在国际数学奥林匹克取的好成绩而津津乐道.在这种声势浩大的解题形势下，我国中学解题教学是世界一流的，而且不断涌现出一些新的数学解题方法被人们所重视，也不断出版一些论述解题的专著，得出一些新的成果.解题理论研究的对象是“解题”，它的基本任务是研究解题规律，回答“怎样学会解题”，基本方法是“分析解题过程”.我国当前的解题研究主要集中在以下几方面：（1）数学方法论的理论研究受到了重视，得到了发展；（2）波利亚解题学说得到研究和传播；（3）数学解题的研究正与思维科学的成果相结合；（4）解题研究的层次已经深入到策略思想的高度；（5）解题研究学派初步形成，方法研究，竞赛研究，高考研究，思维研究，教法研究等研究者都在“解题”的结合点汇集，但各有自己的研究方法，观点各异，为解题研究带来了许多角度多层次的贡献和应用.我国解题方法的研究正在热潮之中，亦在起步之始，需要弄清的问题很多，涉及面也很广.但从总体上还存在这样的问题：片面追求解题的个别方法与技巧，忽视对一般解题方法与理论的研究，忽视对生产，生活中数学问题的提炼，概括与研究，以致不能真正增强学生的数学意识，提高分析问题与解决问题的能力.因此在新课程改革的形势下，如何开展数学解题研究，如何处理好解题研究与教学及培养学生的关系上，是值得深入研究的课题之一. 意义：函数的概念及相关内容是中学数学的基本内容之一，且抽象函数在教材中并没有专项内容，但给出的性质和图像都是我们非常熟悉的，中学抽象函数的常见题型及其解法是教学中的难点，也是与大学高等数学的衔接点，越来越得到高考命题者的的青睐.抽象函数的相关内容在高考中是考查的重点，或者直接考查，或者以抽象函数为背景结合其他知识点进行考查，例如定义域与反函数结合，解析式与求解析式结合，值域与求最值结合.抽象函数往往与函数的诸多性质联系在一起，而现行教材中这部分内容涉及较少，学生在解决有关抽象函数的问题时候往往不知所措，因此，要结合抽象函数常见题型，启发学生把握题设条件，运用函数性质和题目所涉及的有关知识，从而摸索出解题策略.抽象函数与具体函数在表达形式上有着较大的区别，但又与具体函数有较强的联系，抽象函数是对具体函数的抽象，形式化得到的，研究抽象函数的常见题型，在解决相应的题目里面探索解题方法能够帮助学生更好学习抽象函数知识，对搞好中学数学教育具有重要的意义，也有利于教育者研究者站在新的高度，运用新的观点分析研究出新策略.本课题研究还有助于我们进一步认清方法的实际，避免盲目性，提高自觉性.弄清解题方法的应用层次，可以加深我们对方法的认识，提高灵活运用方法的能力，在解题教学中能掌握好适当是分寸.中外数学家在中学数学抽象函数常见题型的解法上取得了丰硕的成果，但并不妨碍我们对中学抽象函数问题继续探讨，提出新的质疑和解决策略.2.毕业论文（设计)研究内容、拟解决的主要问题：研究内容主要是： 论述“中学数学抽象函数常见题型及其解法”的研究意义；分析中学生对抽象函数的学习现状；梳理中学生学习抽象函数困难的原因；综合归类初中学数学抽象函数的常见题型；探讨相应题型的解法.拟解决的主要问题有：(1)从研究整合的材料中，归类中学数学抽象函数的常见题型。(2)深入探讨并总结这些常见题型的相应解题技巧和方法。(3)提出一些可行的中学数学抽象函数的教法学法建议。3. 毕业论文（设计)研究方法、步骤及措施： 究方法主要是文献法，通过收集和查阅大量参考文献，结合自己的教学实习经验进行研究.相应措施有：（1）收集中学数学抽象函数的已有研究成果与有关资料和信息，提出问题.（2）通过学校图书馆和网络查找相关文献著作等材料，并初步阅读与分析材料.（3）研读并综合材料信息，源于实际确立并列出课题提纲.（4）充分整合文献材料，拟好小标题，精选好例题.（5）研究所收集的材料，发掘中学数学抽象函数内涵的广度和深度，熟悉常见题型， 探索解题策略，撰写论文.步骤有：（1）2013年12月上旬：选题并收集文献资料.（2）2013年12月中旬：拟写开题报告.（3）2013年12月下旬：修改并通过开题报告.（4）2014年2月底：完成撰写论文初稿.（5）2014年3月底：修改好论文初稿.（6）2014年4月中旬：修改并完成论文二次稿.（7）2014年4月底：修改完善论文三次稿，定稿. （8）2014年5月：论文答辩.4.主要参考文献：1钱卫红高中数学函教数学的思考和对策D金华:浙江师范大学，2007.2李吉宝有关函数概念教学的若干问题J数学教育学报，2003，（12）.3李广全，李尚志数学(基础模块)M北京：高等教育出版社，2010.4王国升函数教学小议J保山师专学报2004，(23)5张奠宙，施洪亮，薛茂昌关于“函数教学中的几个问题”的谈话数学教学要抓住数学本质 J数学教学2009，(2).6陈茂慧抽象函数的“四步法”教学J中学教研(数学)，2003，(9)7张从华，加康对函数教学的几点思考J中学数学月刊，2003，(1).8王晓青关于函数概念的教学研究2009年首都师范大学硕士学位论文.9周庆海，唐晓梦高中函数教学的功能分析与策略J湖南科技学院学报， 2009，(4).10贾随军函数概念的演变及其对高中函数教学的启示J课程教材教法， 2008，(7).11波利亚.怎样解题M.上海：上海科技教育出版社,2007.12王林全.吴有昌.中学数学解题研究M.北京：科学出版社,2009.13肖凌赣抽象函数综合题的求解策略J中学数学，1997，(12)14马复.数学(八年级上册)M.北京：北京师范大学出版社，2003.15人民教育出版社中学数学室.九年义务制初级中学数学教科书第三册M.北京: 人民教育出版社，2001.16何明. 关于苏教版初高中数学教学衔接的体会J. 高中数学教与学,2012,(3).17周克.初高中数学教学衔接浅议J.教书育人,2007,(19).18张卓颖.普通高中学生对函数概念理解程度的研究D.长春:东北师范大学,2006. 是否可以进入论文（设计）研究：指导教师签名：年 月 日是否可以进入论文（设计）研究：系主任签名：年 月 日 百色学院本科毕业论文（设计）任务书题目名称 中学数学抽象函数常见题型及其解法 学生姓名莫满珠所学专业数学与应用数学班 级数本101班指导教师姓名黄汉那 所学专业数学职 称副教授完成期限 2013.12.10-2014.05.051. 毕业论文（设计）主要内容或主要技术指标 研究内容主要是：论述“中学数学抽象函数常见题型及其解法”的研究意义；分析中学生对抽象函数的学习现状；梳理中学生学习抽象函数困难的原因；综合归类初中学数学抽象函数的常见题型；探讨相应题型的解法.2.毕业论文（设计）基本要求 （1）论题正确，并有新意. （2）论据充分有利，论据正确；符合逻辑，条理清楚. （3）语言流畅，无语病，编排符合规范. （4）字数在6000字左右. （5）毕业论文的撰写无抄袭现象.3. 毕业论文（设计）进度安排（1）2013年12月上旬：选题并收集文献资料.（2）2013年12月中旬：拟写开题报告.（3）2013年12月下旬：修改并通过开题报告.（4）2014年2月底：完成撰写论文初稿.（5）2014年3月底：修改好论文初稿.（6）2014年4月中旬：修改并完成论文二次稿.（7）2014年4月底：修改完善论文三次稿，定稿. （8）2014年5月：论文答辩. 指导教师签名： 年 月 日百色学院本科毕业论文（设计）中期自查表系 名数学与计算机信息工程系年级2010级 专 业数学与应用数学本人投入的时间和精力每周平均工作 26 小时，出勤情况：较好（），一般（ ），差（ ）。影响时间投入的原因：找工作（），自身水平（ ），其他原因 。指导教师的投入指导教师每周指导 2 次，大约 2 小时；指导形式：网络（ ），电话（ ），面对面（ ），其他 ；指导效果： 好（ ）， 较好（ ），一般（ ）， 差（ ）。毕业论文（设计）工作情况是否能按任务书的“进程安排”完成工作：是（ ），否（ ），已完成内容占全部工作 80。你的论题是：自选（ ），专业安排（ ），跨专业（ ）。论题是否结合专业（是），难度（适当），工作量（一般）。自己对毕业设计（论文）文件规范的学习情况：已了解（ ），部分了解（），不清楚（ ）。条件保障试验设备和器材是否得到保证：是（ ），否（ ）。学校提供的图书资料是否满足需要：是（ ），一般（ ），否（ ）。学校计算机上机条件：好（ ），较好（ ），不好（ ）；约需 15 机时。经费来源：学校（ ），个人（ ），尚无需要（ ）。存在问题及整改思路存在问题：初稿目录不够清晰，论文内容有的不全面，有的过于广泛.整改思路：再多收集相关文献材料，认真分析，参考，并及时请教指导老师.学生签名： 年 月 日 指导教师签名： 年 月 日VI 中学数学抽象函数常见题型及其解法 数学与应用数学专业 2010110949 莫满珠 指导老师：黄汉那 摘 要：抽象函数指只给出函数的一些性质条件但不给出具体解析式的函数，它具复杂性，隐蔽性，抽象性等特点，教师教与学生学抽象函数都有一定难度.笔者试图分析中学生对抽象函数的学习现状，梳理中学生学习抽象函数困难的原因，归类抽象函数的常见题型，探讨归纳相应题型的解法，最后提出一些可行的中学数学抽象函数的教法建议，以求对中学教师和学生有所帮助. 关键词：抽象函数；函数性质；常见题型；解题策略The Common Items and Problems Solving Stractegies of Abstract Function Teaching in Middle School Abstract：Abstract function is such a function which only provides some properties and conditions but lacks of specific analysis formula. As Abstract function has some features such as concealment，complexity，and abstractness, it is rather difficult for teachers to teach and students to learn.In this paper，the author tries to make a analysis of students learning situations of the abstract function in middle school，analyze the reasons why students have difficulty in learning abstract function and classify the common items of abstract function. Then the author makes a summary of the corresponding strategies to solve the problems. Finally, the author puts forward some feasible suggestions of abstract function teaching in middle school mathemstics , hoping that these suggestions can give some help to teachers and students. Key Words: Abstract function; Properties of function; Common items; Strategies of solving problems 1 中学生学习抽象函数的现状 1.1 中学数学抽象函数中学数学抽象函数建立在具体函数的基础上，是具体函数的抽象化，形式化，它只给出函数的一些性质条件(比如函数的定义域，单调性，部分函数图像特征等)而没有给出具体的函数解析式.1抽象函数在中学数学教材中没有专项内容，但它与具体函数，数集，代数式，不等式和方程等数学知识联系密切，考查了学生灵活迁移和应用数学知识能力，是中学数学教学中的重点，难点，也是中学数学与大学高等数学的一个连接点，得到高考命题者的重视.1.2 中学生学习抽象函数的现状1.2.1 中学生对抽象函数的认知现状 由多数教师的函数教学经验和大部分中学生的学习经历可表明，抽象函数知识的学习与应用是中学生学习数学中感觉最难的一部分内容.虽然中学数学教科书中对函数内容的编写可说是一脉相承，教师对抽象函数内容的教学方案设计遵循函数的历史发展顺序，教学也符合学生对新知识的认知过程，但学生对抽象函数的认识和理解仍不清晰. 课堂上做好笔记，课后仿照例题写作业，偏难的题型依靠题海战术甚至硬记来强化是目前多数中学生学习抽象函数的状态.这种学习方式使得学生习惯依赖老师的教而缺乏获取知识的主动性，没能提高独立思考和概括总结的能力. 1.2.2 中学生对抽象函数的应用现状抽象函数在解决实际问题中非常有用，但在长期的应试教育背景下，课程相对注重知识技能的训练，多数中学生对抽象函数的学习更多是为了应付考试而忽视了抽象函数在实际问题中的应用.我国数学课程对应用函数性质和函数模型解决实际问题的趋势逐渐加强.如要求初中生要能用一次函数，反比例函数和二次函数解决一些实际问题.要求学生学习利用函数的性质求方程的近似解，加深认识函数与方程的密切联系，加强函数思想在解决现实简单问题的运用.将普遍使用的函数模型(如幂函数，分段函数，指数函数，对数函数等)的实例融入高中函数教学中，让学生感受运用函数知识建立模型的过程.要求会用三角函数解决简单的实际问题等.2 2 中学生学习抽象函数困难的原因函数具有强的逻辑性与抽象性，抽象函数是中学数学函数部分的难点，它由具体函数经过形式化，抽象形成.学生学习抽象函数过程中遇到困难是不可避免的.中学生初步接触到函数的概念和多种性质，抽象函数更是要求学生具有较强的抽象思维才能充分理解.中学生的抽象逻辑思维还处于初级发展阶段，模糊认识抽象函数及学习过程中错误的产生与累积都会影响学习数学的兴趣和信心.中学生学习抽象函数受多方面因素影响，常出现错误的原因主要集中在以下几方面： （1）函数概念抽象复杂函数概念涉及的因素较多，抽象性和形式化程度高，学生学习函数概念实际是简单重复函数概念发展的经过，因而较难理解甚至出现错误。函数概念具有辩证性及复杂性，函数表达形式多种（定义域和值域可以用不等式，集合，区间来表示，函数可以用图像，表格，解析式等来表示），有时要同时协调几种表示方式或在各种表示方式之间转换，容易造成学习上的困难.3 （2）函数符号抽象抽象函数只给出特殊关系式而没有明确具体的表达式，比如函数，从表面上不清楚每个字母的特定含义，也不能由来得出具体的对应法则，由也没能知道定义域或值域，这种高度抽象性无疑增加了学习的难度. (3)中学生认知能力和思维发展水平的局限中学生的认知水平还具依赖于具体，形象，直观的特点，概括能力还不够强，没能快速理解函数概念的内涵及外延.他们仍以形式思维水平为主，辩证思维处于形成和初步发展阶段，而抽象函数的学习要从辩证的角度分析解决问题. （4）忽视数学知识间的紧密联系 抽象函数与学过的具体函数联系紧密，学习抽象函数时，要弄清楚哪些概念建立在已知概念的基础上,性质的运用与具体函数性质有怎样的联系.将已有函数知识形成体系，否则凌乱孤立的知识点也影响抽象函数的有效学习.针对上述抽象函数学习的困难，笔者试图归类中学数学抽象函数的常见题型，且探讨相应的解法.4 3 中学数学抽象函数的常见题型及其解法 3.1 求抽象函数的定义域函数定义域是指函数自变量的取值范围.当函数由实际问题决定，自变量的取值范围则依据实际意义来确定，当给出的函数解析式没指明定义域，这时使这个解析式有意义的自变量的取值范围就是这函数的定义域.例1 已知1，3是函数的定义域，求的定义域. 解：由1，3是函数的定义域，即，所以，故函数的定义域是1,27. 例2 已知2，4是函数的定义域，求函数的定义域. 解：已知2，4是函数的定义域，即，求得，故函数的定义域是1,3. 例3 已知-25，25是函数的定义域，求函数的定义域.解：-25，25是函数的定义域，下列不等式组的解集是的定义域：即所以，故函数的定义域为 -5，5. 解题策略：（1）若已知函数的定义域是A，求定义域的问题，也就是已知中的取值范围是A，求值域.（2）已知定义域，求函数定义域的问题，也就是已知的值域是A据A构建不等式算出的取值范围. 上面例2明显是例1的反例解答例3时关键要理解题设里面,这三个函数括号内的式子“范围一样”，也就是“”，“”，“”都在一25，25内，同时函数由和复合成，需求出各个函数的定义域，再求它们的交集. 解有关抽象函数定义域的题目，要准确把握函数符号和函数定义域的含义.如函数的定义域是A，那自变量就只能是A中的元素才能使有意义 3.2 求抽象函数的值域或函数值 一个函数所有函数值组成这个函数的值域，函数的值域由定义域和对应法则确定，不管用哪种方法求函数值域都要注重定义域的制约和对应法则的作用.求函数值的题目一般给出函数的定义域，一些性质和算式，可优先考虑从特殊性着手，将适当的特殊值赋给某些变量进行数值的运算.如由题设易求出函数解析式时就先求出解析式，再代入数值运算.例4 (1)若函数的值域是-6,6，求函数的值域. (2)已知函数的定义域是全体实数,对于任意实数都成立，且存在使得求函数的值域. 解：（1）由于函数的定义域与对应法则和函数的定义域与对应法则是一样的，故函数的值域也是-6,6 （2）当时，有所以或.如，依据题意有，这时对任意实数都成立，这与已知条件存在使矛盾了，.因对于任意实数都成立，对任意实数，都成立，还只需反证法证明对于任意实数都成立.若存在实数，使，就有，这与矛盾，可证得对任意实数都成立，.综上所述，函数的值域为. 例5 (1) 已知函数求的值. （2）若函数对于一切实数满足，并且有，试求的值. 解：（1）依据题意： . （2）依据题意有： 解题策略：求抽象函数的值域，要熟悉几种常用方法.在解像例4（1）类型的题目时，要紧扣住函数的三要素：定义域，值域，对应法则若几个函数的定义域与对应法则完全一样，那这几个函数的值域也一样例5（2）这道题可以直接利用题目已知条件中函数对于一切实数满足，可以得出.也有另一种解法：因且，可猜测该模型函数为从例4（2）的解析可总结：解有关抽象函数值域的问题时，对某些变量进行适当赋值是由一般方法向特殊方法转化的常用方式，会使题目解决简便另外假如这道题目以填空题的形式，就可据已知条件猜想这是指数函数的模型，而指数函数的值域是. 我们可对函数进行有限次迭代转换求出函数值，但如在转换中易发现函数本身具周期性的就利用函数周期性求函数值.如例5（1）.求抽象函数的值域或者函数值没有固定模式，有时命题者会将函数的值域和函数最值融合，要能在多种方法中选出最简方法需多积累，发现规律.5 3.3 求抽象函数的解析式求抽象函数解析式的题目一般只已知函数的某些特征或关系式. 例6 设是定义域为且值取非负数的函数，求满足下列条件的： ,. 解：(1)令,据得当有. 据的逆否命题知，当，有 综合得.（2）当（）时，式两边等于零的情况有：设，由(1)知即.设由（1）知即，且，得当时，综上所述，有 例7 若函数满足求出函数的解析式. 解：函数满足将代替得到,解 得.解题策略：求抽象函数解析式的解题策略主要有：(1)当已知给出的函数方程含两个参变量时，可使用特殊值交替代人这两个参变量，或将相等的值代入这两个变量，具体取什么特殊值要据题目已知条件.(2)将某些特殊值代人已知的等式，找规律求出函数解析式，如例6；(3)当已知等式中有与，与时，考虑用“构造法”，将看作未知元构造方程组求出解析式，如例7. 求抽象函数的解析式，要理清题目的结构，分析条件并适当选取使运算简单或容易消去未知量的特殊值及变量用取特殊值，变量代换，等价转化，联立方程组消元等多种方法解决问题.6 3.4 具有奇偶性的抽象函数 函数可是奇函数或者是偶函数，可同时是奇函数和偶函数，可既不是奇函数也不是偶函数. 例8 若函数的定义域是R，且有试证明：当时，是偶函数. 证明：令则而，取有证得是偶函数 例9 若函数对任意实数，都成立，判断函数的奇偶性. 解：由已知可知函数的定义域是R，区间R关于原点对称.令，有.再令有，代入得，故是奇函数.解题策略：判断函数奇偶性的重要依据是奇偶函数的定义，确定函数的奇偶性要据定义，如已知没给出定义域就先求函数的定义域，明确函数定义域是否关于原点对称，若函数的定义域不关于原点对称，那函数就是非奇非偶函数再在函数的定义域关于原点对称的前提下探讨或变式能否恒成立有时为更简便判别函数奇偶性，就先将函数简化或运用定义的等价转换形式：.此外还应熟记奇偶函数的一些性质，如：奇函数的图像关于原点成中心对称，偶函数的图像关于Y轴成轴对称；在相同定义域内对非零函数有：两个奇函数的乘积（商）是偶函数，两个偶函数的乘积（商）是偶函数，一奇一偶函数的乘积（商）是奇函数（取商的时候要使分母不能够是零）等等还可据已知条件适当应用赋值代换的方法，找出与的联系. 3.5 具有对称性的抽象函数 抽象函数对称性常以函数的图像作考查背景. 例10 若函数对任意实数，都有，且方程有且只有8个不同实根，求这8 个实根之和. 解：由已知可知函数的图像是关于直线对称，方程的8个实根也关于对称，设方程的8个实根从小到大排为，有, 所以 . 解题策略：要掌握一些函数对称性的基本结论：偶函数的图象关于Y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，原函数和它的反函数关于直线y=x对称等若函数满足 ，则函数的图象关于直线对称，若函数满足或，则函数的图象关于直线 对称，函数与的图象关于直线对称，函数与的图像关于直线对称等.解具有对称性的抽象函数题目要熟悉函数对称的相关结论，审清题设明确图象的变换. 3.6 具有周期性的抽象函数 周期性是函数的一种性质，但并不是全部函数都具有周期性.同样也只有部分抽象函数具有周期性. 例11 若函数是奇函数，定义域是R,当时，求的值. 解：据已知有：和，将的求值问题转换到范围内来解.由，得，知是以12为周期的函数，. 例12 若函数是偶函数，定义域是R，它的图像关于对称，证明是周期函数. 证明：已知的图像关于对称，是偶函数，从而有，故是定义在R上的以4为周期的函数.解题策略：解有周期性的抽象函数问题，要掌握函数周期性的定义，善于进行配凑变换化未知函数为已知函数.还要熟悉一些基本的周期结论，如：对非零常数，若，则函数的周期是；若，则函数的周期是；若且，函数的周期是;若 ，函数的周期是. 3.7 具有单调性的抽象函数 函数的单调性描述了两个变量之间的转换联系.用图形来呈现时，若函数在区间I上是增（减）函数，图像在区间I上的部分从左往右是上升（下降）趋势的. 例13 若函数的定义域是一切大于0 的实数，在定义域内的任意实数都能使成立，当时，证明：函数在上的单调性.证明：由已知在定义域内的任意实数都使成立，可令，有再取，有，设有，又由当时，知当时，.，即，从而函数在上是单调递减函数.例14 若函数定义在R上，且当有对任意的都能使成立.求证：（2）对任意的都有.(3) 在R上单调递增. 证明：（1）令，有，又故得证. （2）取有且当有（即时，有）.综上，对任意都有得证. （3）令有 ，又，从而，即在R上单调递增.解题策略：函数的单调性只在函数的定义域内探讨.要判断函数在区间上是递增还是递减，就必须据定义在函数定义域或其子集内任取两个自变量当时，考察和是否有或的大小关系. 判断与的大小关系，常用的方法是作商，作差和应用性质，如：偶函数在和上具有相反的单调性，奇函数在和上的单调性相同抽象函数没有具体解析式，我们还可以利用等各种变化技巧，转换代入已知条件比较与的大小此外，解抽象函数的不等式，要先明确函数的单调性，再将不等式两边都等量变换成含有符号“”的式子，最后据单调性去掉符号“”，将抽象函数的不等式转化为我们熟悉的代数不等式来解7 掌握和熟记一些有关函数单调性的结论将会大大减少我们判断函数单调性过程的时间，比如：两个减（增）函数的和是减（增）函数；一个减（增）函数和一个增（减）函数之差是减（增）函数.偶函数在对称的两个区间上的单调性相反，奇函数在对称的两个区间是单调性相同.互为反函数的两个函数的单调性是相同的.若在区间I上是增（减）函数，则在区间I的任意子区间上也是增（减）函数.若函数与函数有相同的单调性，则是增函数.若函数与函数有相反的单调性，则是减函数.8 3.8 具有综合性的抽象函数对抽象函数综合性质的考查，实际是同时考查抽象函数的几种性质，如定义域，值域，解析式，单调性，周期性，奇偶性，对称性等其中几种.9例15 设是奇函数，定义域是R，满足在区间上递增，如果方程在区间上有四个不同的根求的值. 解：是奇函数，定义域是R，满足函数图像关于直线对称，且又.是以4为周期的函数. 在区间是递增函数，在区间上也是递增函数.因而可构造符合题意的函数图像，并设方程在区间的四个不同根依次排成 ，由函数对称性知. 解题策略：这道题目综合性地考查了函数的对称性，单调性，奇偶性，周期性和据抽象函数的图象解方程.解这种题型要准确把握概念和灵活运用性质，合理地运用函数与方程思想和数形结合思想能起到事半功倍的效果. 4 对中学抽象函数的教法建议经过对中学生学习抽象函数现状和困难分析，中学数学教师应用哪种教学策略帮助学生更好地学习抽象函数，学生怎样面对和解决抽象函数学习中遇到的困难等都与学习抽象函数有重要关系.以下是对中学数学抽象函数的几点教法建议：(1)重视函数概念的教学 函数从客观现实中概括抽象出来,内涵深刻，外延广泛，教师在进行教学时可以采用以下有效的方法：一是抓住早期渗透，中学教材在代数式和方程的探讨中已渗透了函数这一观念，比如：可将一个含有唯一字母的代数式看作是它所含字母的一个函数，它的值是由所含字母的取值唯一确定，符合函数的定义教师在代数式的教学中应该自觉渗入函数意识.二是重视函数概念的形成，在学生已有知识经验基础上引导学生建立对变量转换关系的直观感受（如对多边形边数与内角和的关系规律的探究），让学生感受变量之间的依存关系，有助于理解抽象函数概念.9所以教师在教学中应多用具体实例，由具体到抽象，由特殊到一般，引导学生正确认识变量变换的关系，帮助学生清楚函数概念的本质.（2） 做好知识点的衔接新课程标准对中学数学抽象函数内容的教学提出了科学要求，要提高抽象函数的教学质量，必须衔接好初高中的函数知识.教师在抽象函数教学过程中可先和学生一起对学过的具体函数概念，类型及其图像性质进行复习总结并归类，为进一步学习抽象函数做好知识准备.比如抽象函数单调性的教学，教师可以和学生先一起复习初中学过的一次函数和反比例函数（初中一次函数，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；反比例函数，时，在二四象限随的增大而增大，时，在一三象限随的增大而减小.），借助学生熟悉的一次函数和反比例函数图像来引出抽象函数单调性.10（3） 提高教学效率对抽象函数的教学，教师应该：按照内在的逻辑顺序安排教学内容，针对不同层次的学生精心安排课堂教学，清晰抽象函数各种性质的关系，例如定义域，值域，周期性，单调性等相关概念组成一个严谨的系统.通过实际模型进行直观教学，加深学生对抽象函数内容的感性认识.用几何画板或多媒体技术（Flash等）来对函数图像进行直观展示，如对抽象函数单调性或周期性等性质进行讲解时，可利用多媒体技术针对函数特征，将函数性质和特点以动态形式表现.适当利用数形结合提高学生的学习兴趣，使学生能轻松愉快地学习抽象函数.适当放慢新课讲学速度，多与学生沟通交流，根据学生对听课效果的反馈有针对性地加强辅导，注意将抽象函数与其他知识建立关系.11同时教师可让学生课前认真预习，上课引导学生积极思考并鼓励他们提出疑问，要求学生课后及时复习，独立完成作业，鼓励学生熟记和加深理解教材和笔记，这样可以调动学生学习的主动性与积极性. 教师适当组织学生对问题进行思考讨论，鼓励合作学习，及时纠正学生容易出现的错误，帮助学生调整认知活动，总结经验取得进步.(4)引导学生正确对待学习错误 教师要帮助学生正确对待学习中出现的错误，让学生明白抽象函数这部分知识是中学数学的一大难点，出现