2018-2019学年高中数学 第二章 几个重要的不等式章末复习课件 北师大版选修4-5.ppt

第二章几个重要的不等式,章末复习,学习目标1.梳理本章的重点知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用.3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成“归纳猜想证明”的思维模式.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.柯西不等式定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2.当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立.,2.排序不等式定理1：设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbdadbc.当且仅当ab(或cd)时取“”号.定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn，则(顺序和)a1b1a2b2anbn(乱序和)(逆序和)a1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1，2，n的任一排列方式，上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取“”号.,3.贝努利不等式对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx.4.数学归纳法数学归纳法原理是证明关于正整数n的命题.步骤：(1)验证当n取第一个值n0(如n01或2等)时命题正确.(2)假设当nk时(kN，kn0)命题正确，证明当nk1时命题也正确.,题型探究,类型一利用柯西不等式证明不等式,证明,又已知a，b，c，d不全相等，则中等号不成立.,反思与感悟利用柯西不等式证题的技巧,(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会.,原结论成立.,证明,类型二利用排序不等式证明不等式,证明不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.三式相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC),证明,引申探究,证明,证明不妨设abc，于是ABC.由0bca，0abc，0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC).,反思与感悟利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷.,证明由a，b，c的对称性，不妨设abc，,证明,等号成立的条件为abc.,类型三归纳猜想证明,例3已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN).(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；,解答,解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，,(2)用数学归纳法证明an的通项公式.,证明,证明当n2时，a252225，公式成立.假设当nk时成立，即ak52k2(k2，kN)，当nk1时，由已知条件和假设，有ak1Ska1a2ak551052k2,故当nk1时公式也成立.由可知，对n2，nN均有an52n2.,反思与感悟利用数学归纳法解决探索型不等式的思路：观察归纳猜想证明.即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明.,跟踪训练3在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN).(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表达式；,解答,猜想ann(n1)，bn(n1)2.,(2)用数学归纳法证明你的猜想.,证明,证明当n1时，由a12，b14知，结论正确.假设当nk(k1，kN)时结论正确，即akk(k1)，bk(k1)2.则当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，,即当nk1时结论正确.由知猜想的结论正确.,类型四利用柯西不等式或排序不等式求最值,例4(1)求实数x，y的值，使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值.,解答,解由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，,解设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，且b1b2b3b4b5.因此b11，b22，b33，b44，b55.,解答,反思与感悟利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略.,解答,达标检测,1,2,4,3,5,y3，y的最大值为3.,答案,解析,1,2,4,3,5,答案,解析,PQ，当且仅当a1a2an0时等号成立.,1,2,4,3,5,A.PQB.PQC.P0，,1,2,4,3,5,解析(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3k23k6k35k3k(k1)6.,4.用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_.,答案,解析,k35k3k(k1)6,1,2,4,3,5,解析当nk1时，左端123k2(k21)(k1)2，所以增加了(k21)(k1)2.,(k21)(k1)2,答案,解析,1.对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式.2.参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想.3.对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调