高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1.1_1.2数的概念的扩展复数的有关概念（一）学案.docx

11数的概念的扩展12复数的有关概念(一)学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识点一复数的概念及复数的表示思考为解决方程x22在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数梳理复数及其表示(1)复数的定义规定i21，其中i叫作虚数单位；若aR，bR，则形如abi的数叫作复数(2)复数的表示复数通常表示为zabi(a，bR)；对于复数zabi，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Rez与Imz表示，即aRez，bImz.知识点二复数的分类(1)复数abi(a，bR)(2)集合表示知识点三两个复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi (a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.1若a，b为实数，则zabi为虚数()2复数zbi是纯虚数()3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()类型一复数的概念例1(1)给出下列命题：若zC，则z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集其中真命题的个数为()A0B1C2D3(2)已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(1)C(2)，5解析(1)令ziC，则i210，故不正确；中2i1的虚部应是2，故不正确；当a0时，ai0为实数，故不正确只有正确(2)由题意知a，b5.反思与感悟(1)复数的代数形式：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答跟踪训练1下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集其中正确说法的个数是()A0B1C2D3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析对于，若a1，则(a1)i不是纯虚数，故错误；对于，若x2，则x240，x23x20，此时(x24)(x23x2)i0不是纯虚数，故错误显然正确故选B.类型二复数的分类例2求当实数m为何值时，z(m25m6)i分别是(1)虚数；(2)纯虚数考点复数的分类题点由复数的分类求未知数解(1)复数z是虚数的充要条件是解得m3且m2.当m3且m2时，复数z是虚数(2)复数z是纯虚数的充要条件是解得故m3.当m3时，复数z是纯虚数引申探究1若本例条件不变，求m为何值时，z为实数解由已知得，复数z的实部为，虚部为m25m6.复数z是实数的充要条件是解得故m2.当m2时，复数z是实数2已知i是虚数单位，mR，复数z(m22m15)i，则当m_时，z为纯虚数答案3或2解析由题意知解得m3或2.反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数跟踪训练2当实数m为何值时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是(1)纯虚数；(2)实数考点复数的分类题点由复数的分类求未知数解(1)若复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数，则解得m4.故当m4时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数(2)若复数lg(m22m7)(m25m6)i是实数，则解得m2或m3.故当m2或3时，复数lg(m22m7)(m25m6)i为实数类型三复数相等例3(1)已知x0是关于x的方程x2(2i1)x3mi0(mR)的实根，则m的值是_考点复数相等题点由复数相等求参数答案解析由题意，得x(2i1)x03mi0，即(xx03m)(2x01)i0，由此得解得m.(2)已知A1,2，a23a1(a25a6)i，B1,3，AB3，求实数a的值考点复数相等题点由复数相等求参数解由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，所以即所以a1.反思与感悟(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不成立(2)利用条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解跟踪训练3复数z1(2m7)(m22)i，z2(m28)(4m3)i，mR，若z1z2，则m_.考点复数相等题点由复数相等求参数答案5解析因为mR，z1z2，所以(2m7)(m22)i(m28)(4m3)i.由复数相等的充要条件得解得m5.1若xii2y2i，x，yR，则复数xyi等于()A2iB2iC12iD12i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由i21，得xii21xi，则由题意得1xiy2i，根据复数相等的充要条件得x2，y1，故xyi2i.2若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的值为()A1B2C1D1或2考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案D解析因为复数zm21(m2m2)i为实数，所以m2m20，解得m1或m2.3下列几个命题：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(aR)是一个复数；虚数的平方不小于0；1的平方根只有一个，即为i；i是方程x410的一个根；i是一个无理数其中真命题的个数为()A3B4C5D6考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析命题正确，错误4已知复数za2(2a3)i(aR)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_考点复数的概念题点复数的概念及分类答案(，1)(3，)解析由已知可得a22a3，即a22a30，解得a3或a1，因此，实数a的取值范围是a|a3或a15若log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，则实数x的值是_考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案2解析由题意知得x2.1对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1设a，bR，“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点复数的概念题点复数的概念及分类答案B解析因为a，bR，当a0时，复数abi不一定是纯虚数，也可能b0，即abi0R.而当复数abi是纯虚数，则a0一定成立所以a，bR，a0是复数abi是纯虚数的必要不充分条件2以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是()A22iBiC2iD.i考点复数的概念题点求复数的实部和虚部答案A解析设所求新复数zabi(a，bR)，由题意知复数2i的虚部为2，复数i2i2i2(1)2i的实部为2，则所求的z22i.故选A.3若(xy)ix1(x，yR)，则2xy的值为()A.B2C0D1考点复数相等题点由复数相等求参数答案D解析由复数相等的充要条件知，解得xy0，2xy201.4下列命题中：若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z2z3.正确命题的个数是()A0B1C2D3考点复数的概念题点复数的概念及分类答案A解析取xi，yi，则xyi1i，但不满足xy1，故错；错，故选A.5若sin21i(cos1)是纯虚数，则的值为()A2k(kZ) B2k(kZ)C2k(kZ) D.(kZ)考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案B解析由题意，得解得kZ，2k，kZ.6若复数zi是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为()A7BC7D7或考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案C解析复数zi是纯虚数，cos0，sin0，sin，tan，则tan7.7已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实数根n，且zmni，则复数z等于()A3iB3iC3iD3i考点复数相等题点由复数相等求参数答案B解析由题意知n2(m2i)n22i0，即解得z3i，故选B.二、填空题8设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案2解析由得m2.9已知z1(m2m1)(m2m4)i，mR，z232i.则m1是z1z2的_条件考点复数相等题点由复数相等求参数答案充分不必要解析当z1z2时，必有m2m13，m2m42，解得m2或m1，显然m1是z1z2的充分不必要条件10已知复数zm2(1i)m(mi)(mR)，若z是实数，则m的值为_考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案0或1解析zm2m2im2mi(m2m)i，所以m2m0，解得m0或1.11复数z(a22a3)(|a2|1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是_考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案(，1)(1，)解析若复数z(a22a3)(|a2|1)i是纯虚数，则a22a30，|a2|10，解得a1，当a1时，复数z(a22a3)(|a2|1)i不是纯虚数12已知log(mn)(m23m)i1，且nN，则mn_.考点复数的分类题点由复数的分类求未知数答案1或2解析由题意得由，得m0或m3.当m0时，由log(mn)1，得0n2，n1或n2.当m3时，由log(mn)1，得0n32，3n1，即n无自然数解或故mn的值为1或2.三、解答题13当实数m为何值时，复数z(m22m3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数考点复数的分类题点由复数的分类求未知数解(1)要使z是实数，m需满足解得m3.(2)要使z是虚数，m需满足解得m1且m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足解得m0或m2.四、探究与拓展14定义运算adbc，如果(xy)(x3)i，求实数x，y的值考点复数相等题点由复数相等求参数解由定义运算adb