直线一级倒立摆控制器设计课程设计说明书.docx

Harbin Institute of Technology课程设计说明书（论文）课程名称： 控制系统设计课程设计 设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院 系： 班 级： 设 计 者： 学 号： 指导教师： 设计时间： 哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书 姓 名： 院 （系）： 专 业： 班 号： 任务起至日期： 课程设计题目： 直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。系统内部各相关参数为：小车质量 0.5 Kg ；摆杆质量0.2 Kg ；小车摩擦系数0.1 N/m/sec ； 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；摆杆惯量0.006 kg*m*m ；采样时间0.005秒。设计要求：1推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。2设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。3设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度和小车位移的稳定时间小于3秒（2）的上升时间小于1秒（3）的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。 工作量：1. 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型；2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。 工作计划安排：第1周 （1）建立直线一级倒立摆的线性化数学模型；（2）倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真；（3）倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿真。第2周 （1）实物调试；（2）撰写课程设计论文。 同组设计者及分工：各项工作独立完成。 指导教师签字_ 年 月 日 教研室主任意见： 教研室主任签字_ 年 月 日*注：此任务书由课程设计指导教师填写。一、 直线一级倒立摆的数学模型1.1 实验设备简介一级倒立摆系统的结构示意图如图1-1所示。图1-1 一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如图1-2所示。图1-2 一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。1.2 直线一级倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 如图1-3所示。下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。本系统内部各相关参数定义如下： :小车质量 :摆杆质量 :小车摩擦系数 :摆杆转动轴心到杆质心的长度 :摆杆惯量 :加在小车上的力 :小车位置 :摆杆与垂直向上方向的夹角 :摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-3 直线一级倒立摆模型 图1-4 小车及摆杆受力分析图1-4是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：即： 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： 即：力矩平衡方程如下： 注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去P和N ，得到第二个运动方程：1. 微分方程模型设，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1（单位是弧度）相比很小,即时，则可以进行近似处理：，。为了与控制理论的表达习惯相统一，用u来代表被控对象的输入力F，线性化后得到该系同数学模型的微分方程表达式：（1-1）2. 传递函数模型对方程组（1-1）进行拉普拉斯变换，得到（1-2）注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度为，求解方程组（1-2）的第一个方程，可以得到或如果令，则有：把上式带入方程组（1-2）的第二个方程，得到整理后得到以输入力u为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数：其中。3. 状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：方程组（2-1）对，解代数方程，得到如下解：整理后得到系统状态空间方程：由（2-1）的第一个方程为：对于质量均匀分布的摆杆有：于是可以得到：化简得到：设，则有：将任务书中的实际系统参数带入微分方程和状态空间方程：摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：以小车加速度作为输入的系统状态方程：1.3 系统阶跃响应分析根据上面得到的系统状态方程，对其进行阶跃响应分析，在MATLAB中键入以下命令：clear;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5;C=1 0 0 0;0 1 0 0;D=0 0;step(A,B,C,D)得到如下计算结果：可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。二、 直线一级倒立摆PID控制器设计2.1 PID控制器各个校正环节对系统的影响简单来说,PID控制器各个校正环节的作用如下:（1） 比例环节：成比例的反应控制系统的偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。（2）积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。积分作用的强弱取决于积分时间常数，积分时间常数越大，积分作用越弱，反之则越强。（3） 微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。2.2 PID控制器的设计直线一级倒立摆系统中，输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如图2-1所示：PlantG(s)ControllerKD(s)图2-1 直线一级倒立摆闭环系统图图中是控制器传递函数，是被控对象传递函数。考虑到输入，结构图可以很容易地变化成PlantG(s)ControllerKD(s)图2-2 直线一级倒立摆闭环系统简化图由任务书有为摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：2.3 PID控制参数设定及MATLAB仿真根据图2-2的直线一级倒立摆闭环系统简化图在MATLAB中建立仿真模型如下：图2-3 直线一级倒立摆系统PID控制MATLAB仿真模型其中PID Controller为封装后的PID控制器，双击打开后可以设置，和 。具体的参数调试过程为先调节使系统稳定，再调节使系统仅有一次振荡，最后调节使系统稳态误差为0。令得到系统的脉冲响应仿真结果如下：图2-4 直线一级倒立摆系统PID控制脉冲响应仿真结果系统在3秒内基本恢复原来的平衡状态。2.4 PID控制实验打开MATLAB版实验软件中的直线一级倒立摆PID控制界面：图2-5 直线一级倒立摆PID控制MATLAB实时控制界面把仿真得到的参数输入PID控制器并保存，编译程序，连接计算机和倒立摆。运行程序，缓慢提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置，在程序进入自动控制后松开，注意不要让小车运动到正负限位处。实验结果如下图所示：图2-6 直线一级倒立摆PID控制实验结果（平衡）从图2-6中可以看出，倒立摆可以实现较好的稳定性，摆杆的角度在3.142弧度左右。同仿真结果，PID控制器并不能对小车的位置进行控制，小车会沿滑杆有稍微的移动。调试PID控制参数为，观察控制结果的变化，可以看出系统的调整时间减少，但在平衡时可能会出现小幅的振荡。图2-7 直线一级倒立摆PID控制实验结果（改变PID控制参数）2.5 PID系统的优缺点优点：PID控制优点明显，应用广泛。PID能消除稳态误差；同时可以减少超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高；并且能加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。缺点：PID控制的过渡期比较长，上升过程中波动明显；当然，较好的PID控制效果是以已知被控对象的精确数学模型为前提的，当被控对象的数学模型未知时，PID控制的调试将会有很大的难度。三、 直线一级倒立摆状态空间极点配置控制器设计经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。3.1 极点配置及MATLAB仿真以小车加速度作为输入的系统状态方程为：于是有：，根据任务书的要求，留有一定裕量，直线一级倒立摆的极点配置转化为：对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约2秒）和较小的超调量（约10）。下面采用死忠不同的方法计算反馈矩阵K。方法一：由，解得，。此时，符合要求。根据求得闭环主导极点，令选取两个极点。根据极点计算状态反馈增益矩阵K的过程如下：根据期望的特征方程求得；根据系统的开环特征方程求得；计算可使状态方程变为可控标准型的变换矩阵；确定需要的状态反馈增益矩阵。以上计算过程可用如下MATLAB程序1仿真：clear;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0;J=-13 0 0 0;0 -13 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i;pa=poly(A);pj=poly(J);M=B A*B A2*B A3*B;W=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0;T=M*W;K=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(T);Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T);Cn=1 0 0 0;Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn=Nbar*B;Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);plot(T,X(:,1),-);hold on;plot(T,X(:,2),-.);hold on;plot(T,X(:,3),.);hold on;plot(T,X(:,4),-);hold on;legend(CartPos,CartSpd,PendAng,PendSpd)运行得到以下结果：状态反馈增益矩阵小车位置、小车速度、摆杆倾角、摆杆角速度的响应曲线如图3-1所示。图3-1 极点配置仿真结果可以看出，在给定系统干扰后，倒立摆可以在2秒内很好的回到平衡位置，满足设计要求。方法二： 矩阵的特征值是方程式的根：这是s的四次代数方程式，可表示为适当选择反馈系数系统的特征根可以取得所希望的值。把四个特征根设为四次代数方程式的根，则有比较两式有下列联立方程式如果给出的是实数或共轭复数，则联立方程式的右边全部为实数。据此可求解出实数。利用如下直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB程序2进行仿真：clear;syms a s b k1 k2 k3 k4;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 a 0;B=0 1 0 b;SS=s 0 0 0;0 s 0 0;0 0 s 0;0 0 0 s;K=k1 k2 k3 k4J=-13 0 0 0;0 -13 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i;ans=A-B*K;P=poly(ans)PJ=poly(J)求解后得，与方法一的计算结果一样。方法三：爱克曼方程所确定的反馈增益矩阵为：其中 利用如下直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB 程序3（爱克曼公式）进行仿真：clear;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5;M=B A*B A2*B A3*B;J=-13 0 0 0;0 -13 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i;phi=polyvalm(poly(J),A);K=0 0 0 1*inv(M)*phi运行可以得到，计算结果和前面两种方法一致。方法四：可以直接利用MATLAB的极点配置函数K,PREC,MESSAGE = PLACE(A,B,P)来计算。直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB 程序4（爱克曼公式）如下所示。clear;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5;P=-13-0.0001*j,-13+0.0001*j,-2-2.74*j,-2+2.74*j;K=place(A,