高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理学案【新人教版】.docx

一圆周角定理学习目标1.探究并理解圆周角定理的证明过程.2.通过圆周角定理的证明过程，体会分类讨论思想，并能对一些简单的数学问题进行分类讨论.3.理解圆周角定理、圆心角定理及圆周角定理的两个推论，能用这些定理、推论解决相关的几何问题.知识链接1.“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确？提示不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图.若ABDG，则BACEDF，但.2.圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？提示不一定相等.一般有两种情况：相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补.预习导引1.圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在O中，所对的圆周角和圆心角分别是BAC，BOC，则有BACBOC作用确定圆中两个角的大小关系2.圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言符号语言A，B是O上两点，则的度数等于AOB的度数作用确定圆弧或圆心角的度数3.圆周角定理的推论推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.要点一圆周角定理及其推论例1在半径为5 cm的圆内有长为5cm的弦AB，求此弦所对的圆周角.解如图所示，过O点作ODAB于点D.因为ODAB，OD经过圆心，所以ADBD(cm).在RtAOD中，OD(cm)，所以OAD30，所以AOD60.所以AOB2AOD120，所以ACBAOB60.因为AOB120，所以的度数为120，的度数为240.所以AEB240120.所以此弦所对的圆周角为60或120.规律方法弦所对的圆周角有两个，易丢掉120导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识.跟踪演练1如图，已知：ABC内接于O，D，E在BC边上，且BDCE，12.求证：ABAC.证明延长AD，AE，分别交O于F，G，连接BF，CG，12，BFCG，FBCGCE.又BDCE，BFDCGE，FG，ABAC.要点二圆心角定理例2如图所示，AB，CD是O的两条直径，CEAB，求证：.证明连接OE，因为OEOC，所以CE.因为CEAB.所以CBOC，EAOE.所以BOCAOE.所以.规律方法证明弧相等只需证明弧所对的圆心角相等，通常用圆周角定理或平行来转化.跟踪演练2如图所示，已知O中，AOB2BOC.求证：ACB2BAC.证明ACBAOB，BACBOC，又由已知AOB2BOC，ACB2BOCBOC.故BACACB，即：ACB2BAC.要点三直径上的圆周角例3如图所示，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC4 cm.(1)试判断OD与AC的位置关系；(2)求OD的长；(3)若2sin A10，求O的直径.解(1)ODAC.理由如下：AB为O的直径，ACB90.ODBC，ADOACB90，ODAC.(2)AODABC，ODBC2(cm).(3)2sin A10，sin A.又sin A，AB2BC8 cm，即O的直径为8 cm.规律方法此题充分利用了“直径所对的圆周角是直角”这一特征，并在此基础上对前面所学知识进行适当的综合.跟踪演练3如图，AB是半圆的直径，AC为弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四边形OBCD的面积.解AB是半圆的直径，C90.ACBC43，可设AC4x，BC3x.又AB10，16x29x2100，x2，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC，AD4 cm，OD3 cm.S四边形OBCDSABCSAOD683424618(cm2).1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法.2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.3.关于圆周角定理推论的理解(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的.(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”.(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”.(4)在同圆或等圆中，由弦相等弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧.1.如图，AB为O的直径，C，D是O上的两点，BAC20，则DAC的度数是()A.30 B.35C.45 D.70解析BAC20，的度数为40，的度数为140.，的度数为70.DAC35.答案B2.如图所示，在O中，BAC25，则BOC等于()A.25 B.50C.30 D.12.5解析根据圆周角定理，得BOC2BAC50.答案B3.ABC内接于O，且345，则A_，B_，C_.解析345，的度数为90，的度数为120，的度数为150，A60，B75，C45.答案6075454.如图所示，在O中，直径AB10 cm，BC8 cm，CD平分ACB，求AC和DB的长.解AB是O的直径，而直径所对的圆周角是直角，ABC是直角三角形.由勾股定理可得AB2AC2BC2，即102AC282，AC6(cm).CD平分BCA，BCDDCA45.同弧所对的圆周角相等，DBADCA45，BADBCD45，DBABAD，DBAD，由勾股定理可得AB22BD2，即1022DB2，DB5(cm).一、基础达标1.如图，D是的中点，与ABD相等的角有()A.7个 B.3个C.2个 D.1个解析与ABD相等的角分别为CBD，ACD，CAD.答案B2.如图，已知圆心角AOB的度数为100，则圆周角ACB的度数是()A.80 B.100C.120 D.130解析AOB100，所对圆心角为260，ACB130.答案D3.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于()A.sinBPDB.cosBPDC.tanBPDD.以上答案都不对解析连接BD，由BA是直径，知ADB是直角三角形.根据CPDAPB，cosBPD.答案B4.弦BC分O为13两部分，O的直径等于4，则BC_.解析由圆心角定理BOC36090，BC2.答案25.如图所示，A，B，C，D是O上四点，且D是的中点，CD交OB于E，AOB100，OBC55，则OEC_.解析AOB100，且D是的中点，BCD25.OECBBCD80.答案806.如图所示，在O中，直径AB10 cm，弦BC8 cm，点D是的中点，连接AC，AD，BD.(1)求AC和BD的长；(2)求四边形ADBC的面积.解(1)AB为O的直径，ACBADB90.AB10，BC8，在RtABC中，AC6(cm).点D是的中点，ADBD，ABD为等腰直角三角形，BDABsin 45105(cm).(2)由(1)知S四边形ADBCSABCSABDACBCAD268(5)249(cm2).二、能力提升7.在RtABC中，C90，A30，AC2，则此三角形的外接圆的半径为()A.B.2 C.2D.4解析由圆周角定理推论2知：AB为RtABC的外接圆直径，又AB4，故外接圆半径rAB2.答案B8.在半径为6 cm的圆中，6 cm长的弦所对的圆心角等于_.解析6 cm长的弦的端点与圆心构成等边三角形，故此弦所对的圆心角为60或120.答案60或1209.如图所示，AB是O的直径，D是的中点，ABD20，则BCE_.解析如图所示，连接AD，DE，ABD20，AED20，又D是的中点，DACDEA20，AB是O的直径，ADB90，DCA70，BCE70.答案7010.(2016江宁一中单元测试)如图，BC为圆O的直径，ADBC，BF和AD相交于点E，求证：AEBE.证明BC是O的直径，BAC为直角.又ADBC，RtBDARtBAC.BADACB.，FBAACB.BADFBA.ABE为等腰三角形，AEBE.11.已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆的直径.求证：BAEDAC.证明连接BE，因为AE为直径，所以ABE90.因为AD是ABC的高，所以ADC90.所以ADCABE.因为EC，所以BAE180ABEE，DAC180ADCC.所以BAEDAC.三、探究与创新12.如图，AD是O内接三角形ABC的高线，E为的中点.求证：OAEEAD.证明法一显然BAECAE，只要证得BAOCAD，就间接证得OAEEAD.故延长AO交O于F点，连接BF，如图，得ABF为直角，又由C