数学建模竞赛论文-科学合理地开放自习室的方案.doc

科学合理地开放自习室的方案摘要 本文在考虑了满足学生满意度的前提下，综合考虑能源因素和管理费用，最终建立一个科学合理的自习室管理评价体系并确定一个开放自习室的方案。再考虑时间因素，对以上方案进行优化，并将方案推广到学校各二级学院计算机机房的管理上。首先采取层次分析法确定学生对各类教室满意程度，用各类教室对学生满意程度的组合权值来衡量。满意度决定于楼层关系、地理位置和教室已有人数，首先根据这些因素之间的相互重要程度用19比例标度法构造准则层判断矩阵，计算CR得出判断矩阵通过一致性检验，最后求出权向量。由于方案层教室数量大，需要根据实际情况对楼层关系、地理位置进行量化，采取“最小值最大值标准化”方法对数据进行标准化处理，最后采用spss软件对教室进行聚类分析，分为相似度相近的十组以简化计算，将分好类的教室作为方案层，最后用19比例标度法构造方案层判断矩阵并求出权向量，最后根据组合权向量求出层次总排序权值，由此确定学生对这十组教室的满意程度。在尽可能保证学生满意度的前提下，考虑运营费用，建立“排选规划模型”，主要通过excel求解，给出较为合理的开放教室方案，同时考虑自习人数逐渐增加采用“隔时间段开放”的方式，对教室按时间顺序分批开放，最终方案如下：工作日共需开放29个教室，按时间先后开放顺序为18：30之前应开放教室： B112、B113、B114、B117、B118、B213、B217、B314；18：50开放教室： A119、A122、B105、B107、B108、B110、B111、B205、B218、B304、B404；19：10开放教室：A101、A104、A106、A107、A108、A301、B101、B102、B106、B202。节假日共需开放33个教室，开放顺序为7：30之前应开放教室：B110、B111、B112、B113、B114、B117、B118、B213、B217、B218、B314；8：00开放教室：A119、A122、B105、B107、B108、B205、B304、B404；8：30开放教室：A101、A104、A301、B101、B102、B106、B202；9：00开放教室：A106、A107、A108、A117、A420、B103、B203。第二问中考虑了时间因素，考前自习人数增加，因此需要增加教室重新排选，给出更为合理的方案：考前除了需要开放平时开放的教室外还要依次开放教室：A308、A318、A417、A419、A421、B210、B211、B212、B219、B302、B303、B306、B315、B318、B319、B402、B403、B414、B415、B418、B419。 综合分析所建立的方案的优劣，并将其推广到各二级学院计算机机房的管理上，首先用层次分析法得到各类组合方案对学生满意度的权值，得到学生满意度较大的组合方案再考虑能源和管理费用等其他因素，建立多目标规划模型，确定最佳的方案组合使资源利用率尽量大并总成本最小。 关键词：层次分析 聚类分析 排选规划模型 1问题重述 随着社会竞争日趋激烈，考研的学生也随之日益增加，加之自习教室的不文明现象（占座或部分同学自律意识不够），致使自习室的需求量日益增加。随着我校新校区的建成，众多的教室已能够满足学生自习的需求，但自习教室的管理制度依然存在诸多不合理之处，这在一定程度上造成资源的浪费，而且增加了学校额外的运营成本。因此，建立并实施自习室科学合理的开放制度已是学校发展的必然要求。现已知学校A座和B座教学楼楼层分布示意图、每个教室的基本设施情况和随机采集的每分钟进入A、B座学生人数，由此建立数学模型，用以探究以下的几个问题，并且最终给出合理的答案：（1） 学生在选择教室时会考虑到教室已有人数、楼层关系和自习室地理位置因素，这些都和学生的满意度有直接关系。在尽可能满足学生满意度的情况下，考虑运营成本，建立开放自习室管理评价体系，确定开放自习室的方案。（2） 由于许多时间因素（例如考前和平常或冬夏差别）或其他因素均会影响第一问给出的方案的优劣，所以，在考虑这些因素的前提下，必须对第一问的方案进行优化。（3） 将开放的自习教室的方案推广到学校其他公共设施及场所的管理上，建立模型，统筹优化管理。并且向有关部门提出合理化的建议。2 问题的分析 学校要实施自习室的科学合理的开放制度，必须考虑两个方面： 1、 单纯从学生的满意度角度，应尽量满足学生的需求，例如让每个学生随时都有座位且开放的教室应尽量满足学生的“求近”心理等。考虑这些因素，首先将教室已有人数、楼层关系和自习教室的地理位置因素量化，采取层次分析法确定各量的权重，最终给定学生的满意度系数。而教室数量较大，处理起来繁琐，如何简化计算是一值得仔细分析探讨的问题。在这里，我们可以首先利用spss软件综合地理位置和楼层关系因素对教室进行分组，把满意度相类似的教室归为一类，例如合地理位置和楼层关系对学生满意度影响相近的满意度相类似的教室归为一类，例如分布于低楼层距离楼梯口较远的教室和高楼层距离楼梯口近的教室，由于离楼梯口的距离相近，所以显然可以分为一类。 2、 从学校的角度，还需要额外考虑费用问题，如果在能够满意学生的前提下没有合理地开放教室，那么容易导致资源浪费，增加学校财政负担。 根据题意，学生满意度应该是首先考虑的，在满足学生需求的情况下再去考虑节约费用而应采取的措施。综上分析，如何综合考虑学生满意度和运营费用及把握各自不同的权重是本题的关键之处，因此需要构建一个规划模型。可以把求解满意度时所得的数据在excel里排序，采取“排选规划模型”求解并最后得出一个合理的开放教室方案。 对于第二问，需要考虑时间因素，分析这些时间因素所带来的核心影响是优化模型的关键。考虑到夏天与冬天的区别主要在于电风扇是否使用，可以通过对“单位座位电风扇占有率”重新排序，给出更为合理的方案。而对于考前与平常的主要不同之处是自习的人数的不同（考前人数增加），即为座位的需求量不同，考前增加座位数，重新排选，得出方案。3 模型假设1 不考虑A座和B座的地理位置差异。2已经来的学生会在开放时间内一直在教室里自习，所以无需考虑中途离场的情况。3学生从中间的进门口进入楼栋，而不会从两边的楼梯进入。4 天气情况不会影响来自习的人数，每天来自习的人都是稳定的。5专业教室不对学生开放。4 符号说明:第i类自习教室表示第i类教室的平均楼层数 第i类教室的平均地理位置第i类教室的平均楼层数与第j类教室平均楼层数之比第i类教室的平均地理位置与第j类教室平均地理位置之比教室方案层对准则层第i个因素权重的成对比较矩阵第i个教室单位座位电灯占有率第i个教室单位座位总资源占有率第i个教室单位座位电扇占有率第i个教室电灯数为第i个教室电扇数第i个教室座位数5 层次分析模型确定学生对教室的满意度 建立开放自习教室的管理体系，需要考虑的因素很多，不仅要考虑学生的满意度，还要顾忌到学校运营成本。而对于学生的满意度，则决定于教室的楼层关系和自习室的地理位置等因素，这些因素没有现成的数据，而只能通过一些经验来量化。由于开放教室数量很大，研究起来繁杂，因此采用spss对教室进行聚类分析而得到十组，从而简化了计算繁杂的过程。对于已量化的因素采取经典的Saaty等人提出的19比例标度法计算它们的相对重要性程度。 5.1 建立层次结构模型 教室已有人数、楼层关系和自习室地理位置等因素都会影响到学生对一个教室的选择，因而要研究学生满意度的情况，必须综合考虑以上因素。当然，最高层是问题的预定目标或理想结果，显然这里是学生满意度大小。对于中间层，也就是为了实现目标应该考虑的中间环节，学生对教室的选择当然会考虑到教室的地理位置、楼层关系和教室已到人数，一般的情形下，学生更愿意选择楼层较低、离大门最近的且人数不太多的教室，所以中间层至少应该包含教室已有人数、楼层关系、地理位置三个因素。由于各个教室中，学生对某些教室的满意度是几乎相等的，例如B101和B106，这二个教室都在B座一楼，并且分布在进楼门的对称位置，显然学生在选择这二个教室是等可能的，所以最底层应该是综合考虑以上因素后得到满意度相似的各类教室。建立层次关系如下： 目标层准则层方案层教室n教室4教室3教室2教室1地理位置楼层关系已有人数满意度5.2 构造准则层判断矩阵 从层次结构模型的第2层开始，对于影响上一层每个因素的同一层诸因素，比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。用表示准则层和对目标的影响之比，全部结果可用成对比较矩阵A表示在这里，该问题复杂，对于C的重要性无法直接定量，因为这和每个人的主观感受有较强的直接关系，而这些主观感受，我们也只能按照统计规律给一些定性的描述，确定权重用两两比较的方法。其方法是，对于准则C，元素 和 哪一个更重要，重要多少，采用Saaty等人提出的19比例标度对重要性程度赋值。下表1中列出了19标度的含义。表1考虑到学生在选择自习教室时首先关心的是教室上座率的大小，如果上座率达到一定值时会给学生找座位带来一定的拥挤，因而更愿意花更多时间去找别的教室自习，因此我们认为教室已有人数对目标的影响最大。其次，上楼梯相比于在一层之间走动需要费更大的劲，对于一般的人来说，总是希望能够很轻松地尽快地找到教室自习，所以把楼层关系先于地理位置考虑是有一定的现实道理的。由以上分析，我们可以认为，教室已有人数比楼层关系稍重要，而比地理位置明显重要。由此，给出比较矩阵 5.3 计算特征向量 为了从判断矩阵中提炼出有用信息，达到对事物的规律性的认识，为决策提供出科学依据，就需要计算判断矩阵的权重向量。定义：判断矩阵的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大成立 ，则称满足一致性，并称为一致性矩阵。 因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，然后归一化后作为权值。根据上述定理中的性质2和性质4即得到判断矩阵满足一致性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。而当判断矩阵不满足一致性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。下面采用特征根法（简记EM）:解判断矩阵A的特征根问题。由此得到：最大特征根对应的特征向量为0.6370.25830.10475.4 一致性检验5.4.1 定义一致性指标 C.I.（consistency index）：当判断矩阵的阶数时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来。但判断矩阵偏离一致性条件又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。定理:设 是正互反矩阵 的最大特征值则必有 ,其中等式当且仅当 为一致性矩阵时成立。应用上面的定理，则可以根据 是否成立来检验矩阵的一致性，如果 比 大得越多，则 的非一致性程度就越严重。因此，定义一致性指标 C.I.（consistency index）（1） CI越小，说明一致性越大。考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将C屿平均随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数CR（consistency ratio），即 （2） 如果 ，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。 1.4.2一致性指标CI的标准检验。求得A最大特征根为3.0385，一致性指标。为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准，根据Saaty对于不同的n，用100500个样本算出的随机一致性指标RI的数值，当n=3时，RI=0.58。可认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。5.5方案层进行聚类分析在考虑一百多个教室时，很容易发现，学生对许多教室的选择是没有区别的，也就是选择教室时，选择某些教室的概率是相等的。例如B101和B106，这二个教室都在B座一楼，并且分布在进楼门的对称位置，所以采取聚类分析的方法，把教室分成多个相似程度大的组别，就如上所述的B101和B106，就应该分在同一组。在层次分析法中，每一层次中各元素所支配的元素不宜过多，这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。因此我们先对楼层与地理位置进行量化及标准化处理，再利用SPSS软件对135个教室进行聚类分析，一共得到10组。 5.5.1楼层与地理位置的量化：由于因素结构复杂且没有必要现成的数据，所以根据我们的经验判断给予量化。对于楼层，规定一楼量化为1，每增加一楼加一，所以五楼应量化为5。对于每一层的地理位置因素，根据教学楼的楼层分布采取离楼栋入口或者楼梯处远近，量化的值越低，例如楼梯口旁边的B103量化为1。具体各教室的量化值如下表2：表2教室楼层地理位置教室楼层地理位置A10115B10113A10413B10212A10612B10311A10711B11114A10811B11213A11013B11312A11114B11411A11214B10512A11315B10613A11414B10714A11513B10815A11712B11711A11911B11812A12211B11015A20126B20123A20226B20222A20326B20321A20423B21124A20622B21223A20721B21322A20821B20522A20922B20623A21023B20724A21124B20825A21224B21721A21326B21822A21425B21923A21524B21025A21723B30133A21822B30232A21921B30331A22020B30430A22121B31234A22222B31333A22324B31432A22425B31531A30136B30632A31336B30733A31435B30834A31534B30935A30433B31831A31733B31932A31832B32033A30831B31135A32030B40143A31033B40242A31134B41244A31234B41343A40145B40341A41345B40440A41444B41442A41543B41541A40443B40642A41742B40743A41941B40844A42040B40945A42141B41841A41043B41942A41144B42043A41244B41145B50153B50252B50351B51154B51253B51352B51451B50552B50653B50754B50855B51751B51852B51953B510555.5.2 数据标准化：由于各评价指标（即楼层关系和地理位置）的性质不同，它们具有不同的量纲和数量级。当各指标间的水平相差很大时，如果直接用原始指标值进行分析，就会突出数值较高的指标在综合分析中的作用，相对削弱数值水平较低指标的作用。因此，为了保证结果的可靠性，需要对原始指标数据进行标准化处理。 所谓标准化处理，也就是研究、制定和推广应用统一的数据分类分级、记录格式及转换、编码等技术标准的过程。目前数据标准化方法有多种，归结起来可以分为直线型方法(如极值法、标准差法)、折线型方法(如三折线法)、曲线型方法(如半正态性分布)。这里，采取“最小值最大值标准化”方法： 该方法，是对原始数据进行线性变换，设min 和max分别是属性A的最小值和最大值，将A的一个原始数据通过minmax标准化映射成在区间（0,1）中的某个值x，其公式为：新值=(原始数据极小值)/(极大值极小值)。具体标准化后的数值，见附录表二。5.5.3运用spss对教室进行聚类分析：聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组成为由类似的对象组成的多个类的分析过程。其目标就是在相似的基础上收集数据来分类。这些方法被用作描述数据，衡量不同数据源间的相似性，以及把数据源分类到不同的簇中。在该问题上，通过聚类分析的方法，对某些地理位置和楼层这些量化后所得值进行衡量，并且归类，分成不同的组。而利用spss处理数据是较为方便的，所以采取spss软件对数据进行分组。为了研究方便，将教室分为十类，如下表3：表31B508B518A106A104A314B510B502B102A115B312B511B513B113B101B308B507B406A117A110A315B4123B419B114B108A311B408A4175B1178B110A312A414B402A107A10110B206A411B414A122A113B219A412B415B103B111A204B409B418A108B107B201B411A419A119A111B212A401A421B205A112A210A413B403B218A114A217B506B315A206A301B208B519B318B202A313B210B501A308B213A203A214B512B303A2189A213A224B407B306A222A201B2112B420B319A209A202B207A415A318B203B307A211B401B3026B217B320A215B4134B314A207A304A223A404A420A219B301A212A410B404A221B313B514A320A208A317B517B304A220A310B503B1057B112B309B505B118B106B3115.6构造方案层判断矩阵并确定满意度系数 设表示第i类教室的平均楼层数，表示第i类教室的平均地理位置， 令（表示第i类教室的平均楼层数与第j类教室平均楼层数之比，表示第i类教室的平均地理位置与第j类教室平均地理位置之比）根据一般常识，学生在选择自习教室时会优先考虑楼层较低及地理位置较近的教室，因此在确定方案层的各类教室对准则层各因素的影响力大小时，认为其影响力大小与楼层及地理位置成负相关，即楼层越低地理位置越靠近楼梯口，其对学生满意度所占的权重也越大。设为方案层对准则层第i个因素权重的成对比较矩阵 （1） （2） （3）: 第i类自习教室（i=1,2,.,10)对进行从小到大的排序：,在确定B2时，采用1-10尺度并根据各元素间的相对距离大小计算成对比较矩阵，如计算C1与C2的权重比时，D1与D2的相对距离为1并且D1D2,根据（1）式，C2对目标的权重更大，即(C2,C1)=2，依此方法可得成对比较矩阵：B2C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C111/21/31/51/61/51/81/71/41/5C2211/21/41/51/41/71/61/31/4C33211/31/41/31/61/51/21/3C454311/211/41/321C56542121/31/232C654311/211/41/321C78764341254C87653231/2143C94321/21/31/21/51/411/2C1054311/211/41/321 按同样的方法可以计算出B3、B1,如表3所示：B3C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C111/41/61/71/51/81/3321/2C2411/31/41/21/52653C36311/221/34875C4742131/25986C5521/21/311/42764C685324161097C731/21/41/51/21/61542C81/31/61/81/91/71/101/511/21/4C91/21/51/71/81/61/91/4211/3C1021/31/51/61/41/71/2431B1C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C111/31/61/81/91/101/71/41/21/5C2311/41/61/71/81/51/221/3C36411/31/41/51/2352C486311/21/32574C5974211/23685C610853214796C77521/21/31/41463C8421/31/51/61/71/4131/2C921/21/51/71/81/91/61/311/4C10531/21/41/51/61/3241 由方案层的成对比较矩阵计算出权向量，最大特征根和一致性指标，结果如下表4：表4k123 0.0146 0.0265 0.0763 0.1535 0.2148 0.2957 0.1085 0.0375 0.0192 0.0534 0.0187 0.0254 0.0363 0.0841 0.1336 0.0841 0.2816 0.1982 0.0538 0.0841 0.0266 0.0768 0.1540 0.2154 0.1039 0.2964 0.0553 0.0147 0.0193 0.037610.535410.3103.10.51720.03990.02310.0386方案层对准则层的权向量准则层对目标层的权向量方案层对目标层的组合权向量C=结果如下表5： 表5教室类型权重C10.01691543C20.03148228C30.07410319C40.14205491C50.18221481C60.24111701C70.14764169C80.07662165C90.02814765C100.05967555 显然，各类教室的权重相对大小体现出了学生对各类教室的满意度大小，所以很直观地看出：学生对C6类教室的满意度最高，权重值达到0.24111701，其次是C5类，C7类和C4类。而C1类，其权重值只有0.01691543，相比之下，明显地看出学生对这类教室的满意度很低，这主要是出于楼层高且地理位置远而导致的。通过权重大小，给出一个满意度评价表，将权重高于0.18300000归为满意度最高的一类，而权重值低于0.18300000却高于0.14300000教室视为较满意的，而权重值低于0.07500000的一类教室看做满意程度最低的一类教室。总体概括起来，得到教室满意程度表6： 表6满意程度 教室很满意C6 C5较满意C4 C7满意C3 C8不满意C1 C2 C9 C10 根据教室满意程度表，在教室座位数足够满足学生自习的情况下，可以考虑直接忽略“不满意教室”，开放与否可以按照以上表格从上至下考虑。 6 综合考虑学生满意度和运营费用并确定方案为尽量保证学生满意，我们从权重较大的C4 C5 C6 C7C8五类教室中合理地安排教室的开放，对这些教室按C4C8的顺序进行编号，如下表7所示：表71A10111A11521A22031B10541B1182A10412A11722A22132B10642B2023A10613A11923A22233B10743B2034A10714A12224A30134B10844B2055A10815A20325A31335B11045B2136A11016A20626A32036B11146B2177A11117A20727A42037B11247B2188A11218A20828B10138B11348B3049A11319A21829B10239B11449B31410A11420A21930B10340B11750B404设表示编号为i的教室的开放状态设分别表示编号为i的教室的座位数、电灯数和风扇数依题意，目标函数min s.t. 其中m为开放的最小教室数，n为满足学生需要的最小座位数对数据3和数据4进行统计，不考虑A座和B座地理位置的差别，即把它们看成一个整体。星期二晚18：3019：30来自习的总人数为2301，由于从题目给出的数据我们很难得出其他时间段来自习的人数的分布情况，因此在安排教室时应尽可能地开放更多的教室以提供足够的座位。考虑到教室已有人数因素会明显地影响到学生的满意度，因为当教室已有人数足够多时，学生会感觉到稍稍拥挤而不去选择这个教室自习。在此，根据经验，只有当教室已有人数不超过一半时，对学生的满意度影响不大。所以，在此给定n=4600，不仅足够地满足学生对座位的需求量，而且保证了学生的满意度，有一定的实际意义。由于用0-1整数规划的枚举法，循环次数多，计算量庞大，因此这里考虑将其简化。计算出各个教室单位座位总资源占有率，然后利用excel将其排序，综合考虑满意度和资源的利用率，得出相应的结果。设为第i（i=1,2，50，下同）个教室单位座位电灯占有率，为第i个教室单位座位总资源占有率，为第i个教室电灯数，为第i个教室座位数，建立模型如下：=/ =按对i个教室进行升序排列，重新编号j（j=1,250）。整理得到教室新的一个“资源占有率”排列，见附录。计算满足 =4602和满足=4922的n的最小值，则前n个即为最终要开放的教室。 利用excel计算得=29，=33,即在保证学生满意度的前提下，考虑能源因素和管理费用，工作日（即周一到周五）应开放的29个教室为A101、A104、A106、A107、A108、A119、A122、A301、B101、B102、B105、B106、B107、B108、B110、B111、B112、B113、B114、B117、B118、B202、B205、B213、B217、B218、B304、B314、B404；而对于双休日，除了开放工作日要开放的教室外，还应多开放A117、B103、B203、A420四个教室。上面所得出的开放教室，只是从以一天为整体的角度来看的，也就是一天至少需要开放的教室。而对于学生来自习的时间并非集中于一天的最初（例如，早上7:30，晚上18:30），而是陆陆续续地来选择教室自习，当然根据假设，不考虑已经来自习的学生中途离开的情形。所以很明显学生人数是陆续增加的。由此分析，开放教室时需要考虑开放的时间问题，逐渐开放教室来满足逐渐增加的自习人数对座位的需求，否则导致学生来的不多而教室开放多的情况，以至于造成严重的资源浪费。为避免以上严重浪费资源、增加学校负担的情形，采取“隔时间段开放教室”的形式。具体的做法是：在半小时之前增加开放能够容纳接下来半小时的时间里增加自习的学生人数的教室，而开放教室的顺序为优先开放节约能源与管理费用的教室。这样做，既能保证学生满意度和节约能源和管理费用，为又能保证满足陆续增加的自习学生对座位的需求。根据实际情况，现假定以工作日每二十分钟、双休日每半小时为时间段间隔开放一次教室，以阶段性开放教室形式来统计累计来自习的人数，结果如下：星期六上午每隔半小时来自习的人数表时间段净人数7：30-8：0010058：00-8：304808：30-9：004889：00-9：30488星期二晚上每隔20分钟来自习的人数时间段净人数18：30-18：5074518：50-19：1079519：10-19：30761按照实际情况，假设工作日一般学生开始自习的时间为18：30，则：18：30之前应开放教室： B112、B113、B114、B117、B118、B213、B217、B314；18：50开放教室： A119、A122、B105、B107、B108、B110、B111、B205、B218、B304、B404；19：10开放教室：A101、A104、A106、A107、A108、A301、B101、B102、B106、B202。 至此，所有用于自习的教室按时间先后全部开放完毕。同理，假设双休日学生开始自习的时间为7：30，则：7：30之前应开放教室：B110、B111、B112、B113、B114、B117、B118、B213、B217、B218、B314；8：00开放教室：A119、A122、B105、B107、B108、B205、B304、B404；8：30开放教室：A101、A104、A301、B101、B102、B106、B202；9：00开放教室：A106、A107、A108、A117、A420、B103、B203。至此，所有用于自习的教室按时间先后全部开放完毕。7 考虑时间因素，优化模型7.1考虑考前与平常的不同 在求解第一问过程中，估计每天来教室自习的人数是由在平时时统计所得的，显然我们忽略了自习人数在某个时间段突然增加的情况，例如考前的二周，是学生自习的集中期，大部分学生需要复习以应付考试而来自习，因而如果不根据此实际情况多开放一些教室，必然将导致教室拥挤现象，甚至满足不了某些学生座位的需求，必然导致学生满意度下降。因此，必须在考前的二周对第一问的方案做优化处理。为解题方便，假定考试前几周自习的学生人数是平时双休日的倍，则需要的座位数为4922*。而可以通过实地统计分析所得，而这里是较难确定的，所以根据实际情况，假定=2，所以在考前需要的座位数为4922*2=9844。 由前面分析可知，学生较为满意的五类教室可提供的座位数为6468，这远远不能够满足考前学生对自习座位的需求，所以需要开放其他类的教室。开放原则为优先考虑相对学生满意程度权重系数大的教室，在满意度大体相同的类别中，优先考虑节约能源与管理费用的教室。由此，我们优先考虑剩下的五类中满意度权重系数最大的第三类，通过统计得第三类教室能提供教室数为2746，算上之前的五类教室共可提供座位数9214，还缺座位数9844-9214=630，所以我们需要考虑剩下的四类中满意度权重系数最大的第十类，通过统计得第十类教室能提供教室数为2105，所以要从中开放能够提供630个座位的教室，开放原则为优先考虑节约能源与管理费用的教室。利用“排选规划模型”，求得使=630的最小n值为4，即第十类开放教室B210、B211、B212、B219。 综上所述，考前除了需要开放平时开放的教室外，还要开放教室：A308、A318、A417、A419、A421、B210、B211、B212、B219、B302、B303、B306、B315、B318、B319、B402、B403、B414、B415、B418、B419。7.2 考虑夏天与冬天的区别考虑夏天与冬天的区别，主要在于天气所导致的温度不同：在夏天，天气炎热，因而学生对电风扇的需求渴望度很高，在选择教室时，必然会偏爱于电风扇分布率更大的教室；而对于冬天，天气寒冷，学生对电风扇的需求几乎为零，所以在冬天，考虑学生满意度时，完全可以不考虑电风扇，但要考虑冬天学生“群居避冷”的心理。这种区别，在第一问的方案中，没有体现，因此需要对该方案进行优化，具体做法如下：7.2.1 对于夏天：设为第i个教室单位座位电扇数，为第i个教室单位座位电扇占有率，对“排选规划”模型优化如下：=/ =/ =+ 按对i个教室进行升序排列，重新编号j（j=1,250） 计算满足 =4602和满足=4922的n的最小值，则前n个即为最终要开放的教室。 通过excel计算得=30，=33,即在保证学生满意度为80%的前提下，考虑能源因素和管理费用，夏天工作日应开放的30个教室为A101、A104、A106、A119、A122、A301、A420、B101、B102、B103、B105、B106、B107、B108、B110、B111、B112、B113、B114、B117、B118、B202、B203、B205、B213、B217、B218、B304、B314、B404；夏天双休日除了开放工作日要开放的教室外，还应多开放A107、A108、A117三个教室。7.2.2 对于冬天由于天气寒冷，教室已有人数多于一半时，学生的满意度影响也较小，符合“群聚避冷”的心理，所以在考虑应该提供的座位时，需要提高每个教室座位占用率，而后重新开始排序，因而冬天的时候可以相应地少开一些教室。可以假定教室座位占有率提高到百分之七十，在小于或者等于百分之七十，教室已有人数对学生满意度的影响很小。由前面已有数据可知，工作日每天学生自习人数仍为2301，双休日仍为2461人，则工作日需要的座位总数为2301/0.7=3288个，双休日需要的座位总数为2461/0.7=3516。同样在再次利用“排选规划模型”，求得=20，=21，即冬天在保证学生满意度为78.9%左右的前提下，综合考虑能源因素和管理费用，工作日只开放20个教室，为A119、A122、B102、B105、B107、B108、B110、B111、B112、B113、B114、B117、B118、B205、B213、B217、B218、B304、B314、B404；双休日则除了开放工作日要开放的教室外，需要再开放B202一个教室即可。以上，综合考虑了考前与平常、冬天与夏天的区别，仔细分析了这种区别所带来的影响，从而建立了新的优化方案。8 模型的评价与推广 在讨论自习室开放方案问题中，采用了层次分析法，把一些较难考虑的因素（例如楼层关系和地理位置等）量化，并用经典的19比例标度法确定了权重关系，并且利用spss软件对全部的教室进行了聚类分析，得到了合理地简化，最终确定了学生对各类自习室的满意度情况。在综合考虑学生满意度和学校运营费用时，我们采用了“排选规划模型”，采用excel对数据进行排序，既直观又合理，得到了较为合理科学的开放自习教室的方案。第二问中，重新再考虑时间因素，因此需要对前面给出的模型进行优化，而只要分析出这些因素所带来的主要影响，如夏天和冬天的不同所带来的主要区别是电风扇是否使用，所以重新对座位电风扇占有率进行排序，利用“排选规划模型”得到了合理地解答。然而，在整个解答过程中，也存在些许不合理之处，主要体现于：地理位置的量化过程不够合理，没有找到一个经验公式对其进行赋值量化，并且我们在考虑开放的时间段时，只按照给出的数据的时间段进行安排教室，而没有