《数学建模》(章绍辉著)参考解答.pdf

习题习题3参考解答参考解答4.某成功人士向学院捐献某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行续以整存整取一年定期的形式存入银行请你研究这个问题，请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告并向学院领导写一份报告.解答解答假设整存整取一年定期的年利率保持不变，记为假设整存整取一年定期的年利率保持不变，记为r，假设一到期就支取，取出假设一到期就支取，取出b元作为当年的奖学金，剩下的继续以元作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行整存整取一年定期的形式存入银行记捐款记捐款存入银行存入银行之后第之后第k年一年定期到期日奖学金捐款账户余额为年一年定期到期日奖学金捐款账户余额为kx万元，万元，0 x=20万元，万元，则列式得则列式得1(1)012kkxrxbk.其解为其解为0(1)012kkxrxbrbrk平衡点为平衡点为xbr.因为因为r0，所以如果，所以如果0 xbr，即，即00brx，kx就会单调增就会单调增加趋于无穷大，并且增加得越来越快；如果加趋于无穷大，并且增加得越来越快；如果0 xbr，即，即0brx，kx就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；如果就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；如果0 xbr，即，即0brx，kx就会保持不变，即就会保持不变，即0kxx.如果取如果取r0.025，则，则b的临界值为的临界值为00.025200.5rx（万（万元）元）.进一步，可编程分别计算当进一步，可编程分别计算当b=0.4、0.5、0.6、1以及以及2万万元时账户总额元时账户总额kx的具体变化过程，并绘图的具体变化过程，并绘图.程序：程序：r=0.025x=2020202020b=.4.5.612n=20fork=1:nx(k+1:)=x(k:).(1+r)-bendplot(0:nx(:1)k.0:nx(:2)kx.0:nx(:3)k0:nx(:4)ks0:nx(:5)kp)axis(-1n+1025)legend(每年用每年用0.4万元万元每年用每年用0.5万元万元.每年用每年用0.6万元万元每年用每年用1万元万元每年用每年用2万元万元3)title(奖学金捐款账户余额的演变，年利率奖学金捐款账户余额的演变，年利率2.5%)xlabel(第第k年年)ylabel(账户余额（万元）账户余额（万元）)绘得的图形：绘得的图形：024681012141618200510152025第k年账户余额（万元）奖学金捐款账户余额的演变，年利率2.5%每年用0.4万元每年用0.5万元每年用0.6万元每年用1万元每年用2万元（略去给学院领导的报告，该报告要用非数学语言陈述上述分（略去给学院领导的报告，该报告要用非数学语言陈述上述分析）析）5.有一位老人有一位老人60岁时将养老金岁时将养老金10万元以整存零取方式万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余把上月结余额孳生的利息自动存入养老金额孳生的利息自动存入养老金.请你计算老人多少岁时将把养请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到老金用完？如果想用到80岁，问岁，问60岁时应存入多少钱？岁时应存入多少钱？解答解答假设月利率保持不变，记为假设月利率保持不变，记为r，记，记养老金存入银行养老金存入银行之之后第后第k月末账户总额为月末账户总额为kx元，元，从第一个月开始每月支取从第一个月开始每月支取b元元.则则列式得列式得1(1)012kkxrxbk.解得解得0(1)012kkxrxbrbrk依题意有依题意有r=0.003，b=1000，0 x=100000.因为因为r0，且，且0 xbr，所以所以kx就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；若要就会单调衰减（到零为止），并且减少得越来越快；若要0kx，可以解得只需要，可以解得只需要0logloglog1brbrxkr所以令所以令0logloglog1Kbrbrxr（上取整），则（上取整），则养老金在第养老金在第K个月恰好用完个月恰好用完.把具体数据代入，执行以下程序，把具体数据代入，执行以下程序，算得算得K=120，即，即10万养老金恰好万养老金恰好10年用：年用：x=100000r=0.003b=1000K=ceil(log(br)-log(br-x)log(1+r)也可以用条件循环语句按差分方程迭代计算，直到也可以用条件循环语句按差分方程迭代计算，直到0kx停停止止.程序如下：程序如下：x=100000r=0.00