2018年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其度量课件7新人教B版选修2-1.ppt

二面角的求法(总结),例：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，DAB=600,F为棱AA1的中点。求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,F,A1,D1,C1,C,B1,B,D,A,P,F,如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB,又DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD,故DBA=600,P=ABP=300,DBP=900,即PBDB；又因为是直棱柱，DD1PB,PB面DD1B,故DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。显然BD=AD=DD1,DBD1=450。即为所求.解毕。,解法一：,A1,D1,C1,B1,F,A,D,C,B,P,E,解法二：,如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1底面ABCD,过A做AEPB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EFPB,AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰APB,P=300，RtAPB中，可求得AE=1，（设四棱柱的棱长为2）又AF=1,AEF=450，即为所求。,思考：这种解法同解法一有什么异同？,解法三：,法向量法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，0）F（-1，1）=（-2，0，1）=（1，-2）显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量=(x0,y0,z0)。则且2x0+0y0-z0=0且x0+y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,y0=,即=（1，2）设所求二面角的平面角为，则COS=,所以所求二面角大小为450解毕,A1,D1,C1,B1,A,B,C,D,x,y,z,F,解法四：,A1,D1,C1,B1,F,C,B,D,A,如图：由题意可知，这是一个直四棱柱，BFD1在底面上的射影三角形就是ABD,故由射影面积关系可得COS=ABDB1（是所求二面角的平面角）以下求面积略。,点评：这种解法叫做“射影面积法”在选择和填空题中有时候用起来会很好,二面角的几种主要常用的求法：1、垂面法。见例一和例二的解法一；2、三垂线法。见例二的解法二；3、射影面积法。见例二的解法三；4、法向量夹角法。见例二的解法四。其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法，也称为直接法；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为间接法。,试一试：例2、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。,S,A,E,C,B,D,请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：,分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。,解：如图：SA平面ABC,SAAB，SAAC，SABD;于是SB=a又BC=a，SB=BC;E为SC的中点，BESC又DESC故SC平面BDE可得BDSC又BDSABD平面SACCDE为平面BDE和平面BDC所成二