2019高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积及其应用课件 理.ppt

第五章平面向量5.3平面向量的数量积及其应用,高考理数,考点一数量积的定义1.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos叫做a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos,并规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)一向量在另一向量方向上的投影定义:设是两个非零向量a和b的夹角,则|a|cos叫做a在b方向上的投影,|b|cos叫做b在a方向上的投影.a在b(或b在a)方向上的投影是一个实数,而不是向量,当090时,它是正数,当90180时,它是负数,当=90时,它是0.,知识清单,ab的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积.2.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地:aa=a2=|a|2或|a|=.(4)|ab|a|b|.,(5)cos=(是a与b的夹角).3.向量数量积的运算律(1)ab=ba(交换律).(2)(a)b=(ab)=a(b)(R)(数乘结合律).(3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,考点二平面向量的长度问题1.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)ab=x1x2+y1y2.(2)|a|=,|b|=.2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=.,考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)若a与b的夹角为,则cos=.(2)abx1x2+y1y2=0.,向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法:(1)|a|=;(2)|ab|=;(3)若a=(x,y),则|a|=;(4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;(5)通过解方程(组)求解.例1(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.,求向量长度的方法,方法技巧,解析解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4,|a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.=,|a+b|+|a-b|2.当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时ab=0.故当ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2.解法二:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|,得1x3.,设y=|a-b|,同理,1y3.而x2+y2=2a2+2b2=10,故可设x=cos,cos,y=sin,sin.设1,2为锐角,且sin1=,sin2=,则有12,又012,则x+y=(cos+sin)=2sin,1+2+,而1+2+,故当+=,即=时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,所以当ab时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2.又sin=sin=,故当=1或=2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时ab,x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1.则|a+b|+|a-b|=+=+=+=,0x21,故当x=0,即ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2,当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|有最小值4.,答案4;2,1.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们之间的关系.2.若已知a与b的坐标,则可直接利用公式cos=,平面向量a与b的夹角0,.3.转化成解三角形,利用正弦定理或余弦定理求解.例2(2017湖南五市十校联考,8)ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为(C)A.30B.60C.120D.150,求向量夹角问题的方法,解析解法一:设向量a,b的夹角为,由已知得=-=2a+b-2a=b,|b|=|=2,|=2|a|=2,|a|=1,则=(2a+b)2=4a2+4ab+b2=8+8cos=4,cos=-,又0180,=120.故选C.解法二:=-=2a+b-2a=b,则向量a与b夹角为向量与的夹角,故a与b的夹角为120,选C.,向量既有大小又有方向,具有数和形的特征.在解题时要注意利用数形结合的方法.若题设中有动点问题,将涉及变量的值或范围问题,应重视函数的思想方法.在求值问题中应重视方程的思想方法.例3(2017课标全国,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是(B)A.-2B.-C.-D.-1,数形结合的方法和方程与函数的思想方法,解题导引,解析设BC的中点为D,AD的中点为E,则有+=2,则(+)=2=2(+)(-)=2(-).而=,当P与E重合时,有最小值0,故此时(+)取最小值,最小值为-2=-2=-.,方法总结在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用=-可快速求出最值.,一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2=2(-1-x,-y)=2(x+1)+y=2+-.,因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-,故选B.,例4(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为.,解题导引,解析如图,由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解