2019高考数学二轮复习 第16讲 概率、离散型随机变量及其分布课件 理.ppt

第16讲概率、离散型随机变量及其分布,总纲目录,考点一古典概型与几何概型,1.古典概型的概率公式P(A)=.说明求事件包含的基本事件数常用到计数原理与排列、组合的相关知识.,2.几何概型的概率公式P(A)=.,1.(2018课标全国,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.,答案C不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从这10个素数中随机选取两个不同的数,共有=45种情况,而和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况,所求概率为=.故选C.,2.(2018开封高三定位考试)已知函数y=cosx,x,则cosx的概率是.,答案,解析由cosx得+2kx+2k,kZ,又x,所以满足条件的x,故所求概率P=.,3.(2018潍坊统一考试)如图,六边形ABCDEF是一个正六边形,若在正六边形内任取一点,则该点恰好在图中阴影部分的概率是.,答案,解析设正六边形的中心为点O,BD与AC交于点G,BC=1,则BG=CG,BGC=120,在BCG中,由余弦定理得1=BG2+CG2-2BGCGcos120,得BG=,所以SBCG=,因为S正六边形ABCDEF=SBOC6=11sin606=,所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1-=.,方法归纳,1.古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常常用到排列、组合的有关知识;(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类,分类时应不重不漏.,2.几何概型的适用条件及其关键(1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.(2)关键:寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.,考点二相互独立事件和独立重复试验(高频考点),1.条件概率在事件A发生的条件下事件B发生的概率:P(B|A)=.,2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B).,3.独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.,命题角度一条件概率,例1一个口袋中装有6个小球,其中红球4个,白球2个.如果不放回地依次摸出2个小球,则在第1次摸出红球的条件下,第2次摸出红球的概率为.,答案,解析设“第一次摸出红球”为事件A,“第2次摸出红球”为事件B,则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB,所求事件为B|A.事件A发生的概率为P(A)=,事件AB发生的概率为P(AB)=.由条件概率的计算公式可得,所求事件的概率为P(B|A)=.,方法归纳,条件概率的求法(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=.这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=.,例2(2018北京,17节选)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:,命题角度二相互独立事件与独立重复试验的概率,好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.,解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50,故所求概率为=0.025.(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)(1-P(B)+(1-P(A)P(B).由题意知P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35.,方法归纳,求相互独立事件的概率的两种方法(1)直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解.(2)间接法:当复杂事件正面情况较多,反面情况较少时,可利用其对立事件进行求解.“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.,1.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A=“4个人去的景点不相同”,事件B=“小赵独自去一个景点”,则P(A|B)=()A.B.C.D.,答案A小赵独自去一个景点,则有4个景点可选,其余3人只能在剩下的3个景点中选择,共有333=27种选取方法,所以小赵独自去一个景点共有427=108种选取方法.4个人去的景点不相同共有4321=24种选取方法.所以P(A|B)=.故选A.,2.(2018惠州第二次调研)某学校为了丰富学生的课余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取一首,背诵正确加10分,背诵错误减10分,且背诵结果只有“正确”和“错误”两种.其中某班级学生背诵正确的概率为,记该班级完成n首背诵后的总得分为Sn.(1)求S6=20且Si0(i=1,2,3)的概率;(2)记=|S5|,求的分布列.,解析(1)当S6=20时,即背诵6首后,正确的有4首,错误的有2首.由Si0(i=1,2,3)可知,若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵正确2首;若第一首背诵正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵正确2首.则所求的概率P=+=.(2)由题意知=|S5|的所有可能的取值为10,30,50,又该班级学生背诵正确的概率为,P(=10)=+=,P(=30)=+=,P(=50)=+=,的分布列为,考点三随机变量的分布列、均值与方差,1.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为实数).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为实数).,2.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,命题角度一随机变量的均值与方差,例1(2018贵阳适应性考试(一)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题.已知这6个问题中,学生甲能正确回答其中的4个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率均为,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大.,解析(1)由题意可得,所求概率为P=+=.(2)设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,则E(X)=1+2+3=2,D(X)=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)=,设学生乙答对的题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3.由题意可知YB,所以E(Y)=3=2,D(Y)=3=.因为E(X)=E(Y),D(X)D(Y),所以甲被录取的可能性更大.,方法归纳,随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类概率公式求概率.(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列,若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式法求解.,例2(2018南宁摸底联考)某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目成绩共同构成,该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度,从中随机抽取了100名城乡家长进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见,下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.,命题角度二均值、方差与统计的综合问题,(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的22列联表,并判断能否有95%的把握认为“对高考改革方案的态度与城乡户口有关”;,(2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革方案的家长中抽取3个,记这3个家长中是城镇户口的人数为X,试求X的分布列及数学期望E(X).注:K2=,其中n=a+b+c+d.,解析(1)完成22列联表如下:,K2=3.033.841,没有95%的把握认为“对高考改革方案的态度与城乡户口有关”.(2)用样本的频率估计概率,随机在全省不赞成高考改革方案的家长中抽取一人,该人是城镇户口的概率为0.6,是农村户口的概率为0.4,X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=(0.4)3=0.064,P(X=1)=0.6(0.4)2=0.288,P(X=2)=(0.6)20.4=0.432,P(X=3)=(0.6)3=0.216,X的分布列为,E(X)=00.064+10.288+20.432+30.216=1.8.,方法归纳均值、方差与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等,在解题中首先要处理好数据,如数据的个数、数据的分布规律等,即把数据分析清楚,再根据题目要求进行相关计算.,1.(2018武汉调研)甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”,在相同条件下,两人6次测试的成绩(单位:分)记录如下:甲867792727884乙788288829590(1)用茎叶图表示这两组数据,现要从中选派一名运动员参加比赛,你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算);(2)若将频率视为概率,对运动员甲在今后3次测试中的成绩进行预测,记这3次测试的成绩高于85分的次数为X,求X的分布列和数学期望E(X)及方差D(X).,解析(1)茎叶图如图:,由图可知乙的平均水平比甲高,故选派乙参赛更好.(2)由题意得,甲运动员每次测试的成绩高于85分的概率是,3次测试的成绩高于85分的次数X服从二项分布,X所有可能的取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为,E(X)=3=1,D(X)=3=.,2.(2017课标全国,18,12分)某超市按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?,解析(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.因此X的分布列为,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间