高三数学一轮复习 2.2函数的单调性与最值课件.ppt

,2.2 函数的单调性与最值,第二章 函数概念与基本初等函数,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做函数yf(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)M,f(x)M,f(x0)M,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).( ) (2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数.( ) (3)函数y|x|是R上的增函数.( ),(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).( ) (5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，).( ) (6)函数y 的最大值为1.( ),A,C,(，12，),解析,函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称 轴为直线xa，画出草图如图所示.,由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，,因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，).,题型一 函数单调性的判断,例1 (1)判断函数f(x) (a0)在x(1,1)上的单调性.,解析,思维升华,题型一 函数单调性的判断,例1 (1)判断函数f(x) (a0)在x(1,1)上的单调性.,解 设1x1x21，,1x1x21，,解析,思维升华,题型一 函数单调性的判断,例1 (1)判断函数f(x) (a0)在x(1,1)上的单调性.,x2x10，x1x210，,又a0,f(x1)f(x2)0， 函数f(x)在(1,1)上为减函数.,解析,思维升华,题型一 函数单调性的判断,例1 (1)判断函数f(x) (a0)在x(1,1)上的单调性.,对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之.,解析,思维升华,例1 (2)求函数y 的单调区间.,解析,思维升华,例1 (2)求函数y 的单调区间.,由ux2x60，得x3或x2.,ux2x6在(，3上是减函数，,解析,思维升华,例1 (2)求函数y 的单调区间.,解析,思维升华,例1 (2)求函数y 的单调区间.,解析,思维升华,复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数.,跟踪训练1 (1)判断函数f(x)x (a0)在(0，)上的单调性.,解 设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，,所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,跟踪训练1 (1)判断函数f(x)x (a0)在(0，)上的单调性.,所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,(2)求函数y (x24x3)的单调区间.,解 令ux24x3，原函数可以看作y u与ux24x3的复合函数.,令ux24x30，则x3.,函数y (x24x3)的定义域为(，1)(3，).,又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，,ux24x3在(，1)上是减函数，,在(3，)上是增函数.,(2)求函数y (x24x3)的单调区间.,而函数y u在(0，)上是减函数，,y (x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1).,解析,答案,思维升华,题型二 利用单调性求参数范围,例2 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ),题型二 利用单调性求参数范围,例2 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ),当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的， 故在(,4)上单调递增；,当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x ，,因为f(x)在(，4)上单调递增，,解析,答案,思维升华,题型二 利用单调性求参数范围,例2 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ),解析,答案,思维升华,题型二 利用单调性求参数范围,例2 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ),D,解析,答案,思维升华,题型二 利用单调性求参数范围,例2 (1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ),已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a,b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.,解析,答案,思维升华,D,解析,答案,思维升华,由已知条件得f(x)为增函数，,解析,答案,思维升华,由已知条件得f(x)为增函数，,解析,答案,思维升华,已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a,b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.,解析,答案,思维升华,跟踪训练2 (1)若f(x)x22ax与g(x) 在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是( ) A.(1,0)(0,1) B.(1,0)(0,1 C.(0,1) D.(0,1,解析 由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得1,2a，)，a1.,跟踪训练2 (1)若f(x)x22ax与g(x) 在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是( ) A.(1,0)(0,1) B.(1,0)(0,1 C.(0,1) D.(0,1,故0a1.,D,(2)已知f(x) 是R上的增函数，则实数a的取值范围为( ) A.(1，) B.4,8) C.(4,8) D.(1,8),解析 因为f(x)是R上的增函数，,答案 B,题型三 利用函数的单调性求最值,解析,思维升华,例3 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f f(x1)f(x2),且当x1时，f(x)0. (1)求f(1)的值；,(2)证明：f(x)为减函数；,题型三 利用函数的单调性求最值,例3 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f f(x1)f(x2),且当x1时，f(x)0. (1)求f(1)的值；,解 (1)令x1x20， 代入得f(1)f(x1)f(x1)0， 故f(1)0.,解析,思维升华,(2)证明：f(x)为减函数；,证明 (2)任取x1,x2(0,),由于当x1时，f(x)0，,题型三 利用函数的单调性求最值,例3 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f f(x1)f(x2),且当x1时，f(x)0. (1)求f(1)的值；,解析,思维升华,(2)证明：f(x)为减函数；,即f(x1)f(x2)0， 因此f(x1)f(x2)， 所以函数f(x)在区间(0,)上是减函数.,题型三 利用函数的单调性求最值,例3 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f f(x1)f(x2),且当x1时，f(x)0. (1)求f(1)的值；,抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或 与1的大小.有时根据需要，需作适当,解析,思维升华,(2)证明：f(x)为减函数；,题型三 利用函数的单调性求最值,例3 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f f(x1)f(x2),且当x1时，f(x)0. (1)求f(1)的值；,的变形：如x1x2 或x1x2x1x2等；,解析,思维升华,(2)证明：f(x)为减函数；,解析,思维升华,(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值.,解 f(x)在(0，)上是减函数. f(x)在2,9上的最小值为f(9).,(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值.,解析,思维升华,f(9)2f(3)2. 即f(x)在2,9上的最小值为2.,(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值.,解析,思维升华,(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值.,解析,思维升华,求函数最值的常用方法：单调性法；基本不等式法；配方法；图象法；导数法.,(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值.,解析,思维升华,跟踪训练3 (1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x 时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为( ) A.2 B.3 C.4 D.1,解析 根据f(1x)f(x)，,可知函数f(x)的图象关于直线x 对称.,又函数f(x)在 ，)上单调递增，,跟踪训练3 (1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x 时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为( ) A.2 B.3 C.4 D.1,则函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为 f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.,故f(x)在(， 上单调递减，,C,解析 易知f(x)在a，b上为减函数，,6,典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数；,答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数；,答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式,(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数；,答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式,证明 设x1，x2R，且x10，,当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.,f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数；,答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式,f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，,f(x)在R上为增函数.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1. (1)求证：f(x)在R上是增函数；,答题模板系列1 利用函数的单调性解不等式,本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口.,思 维 点 拨,规 范 解 答,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,解 m，nR，不妨设mn1， f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，,f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24， f(1)2，f(a2a5)2f(1)，,f(x)在R上为增函数，a2a513a2， 即a(3,2).,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,解函数不等式问题的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.,解此小题的关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.,思 维 点 拨