中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题六】专题解析.doc

数学专题之【以三角形为基础】精品解析中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题六】专题解析 例1如图，在ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，且 ，BADACEABCDE（1）求证：AC 2BCCD；（2）若E是ABC的重心，求 的值（1）证明： ，BADACEABDCAE，BEACBACBADEAC，ADCBADBBACADC，ABCDAC ，即AC 2BCCD（2）解：E是ABC的重心，BDCD，AE2DESABD SADC ，SCAE 2SCDESCAE SADC SABD ，即 ABDCAE， AE 2 BD 2 CD 2，即( AD )2 CD 2，AD 2 CD 2AC 2BCCD，BDCD，AC 22CD 2 2如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D是BC中点，E是BA延长线上一动点，连接ED、EC，ED交AC于点F（1）当EDEC时，求AE的长；（2）如果以A为圆心、AE为半径的圆与以C为圆心、CF为半径的圆相切，求tanAEC的值；（3）以A、E、F为顶点的三角形能否与ACE相似？如果能，求AE的长；如果不能，说明理由；CADBFE解：（1）延长BC到G，使CGBD，连接EGEDEC，EDCECDCADBFEGEDBECG在BED和GEC中EDEC，EDBECG，BDCGBEDGEC，BFABC是边长为2的等边三角形ABBC2，B60G60，BEG是等边三角形BEBG，AECG，AEBDD是BC中点，BD1，AE1（2）过D作DGAC交AB于GD是BC中点，AGBG AB1DGAC，EAFEGD， AFGCDBE设EAx，则 ，AF CF2 若两圆外切，则AECFAC即x 2，解得x0（舍去）若两圆内切，则AECFAC即x 2，解得x1 （舍去）或x1 连接CG，则CGAB，CGAGtan60EGEAAG1 12 CADBFEtanAEC 2（3）AECAEF若以A、E、F为顶点的三角形与ACE相似，只能AEFACE此时 ，即AE 2ACAFx 2 ，解得x2（舍去）或x1以A、E、F为顶点的三角形能与ACE相似，此时AE的长为13如图，在ABC中，ACB90，AC6，BC8，CD是AB上的中线，点E是边BC上一动点（不与B、C重合），直线DE交直线AC于点F（1）当CEF是等腰三角形时，BE的长为_；（2）当BE为何值时，以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似？（3）若SBED SAFD ，求直线DE与AB所夹锐角的正切值；ABCD（4）是否存在这样的点E，使得以A为圆心、AF为半径的圆与以B为圆心、BE为半径的圆相切？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由解：（1）1或7过D作DGBC于GABCDEFG当点F在AC延长线上时ACB90，DGACCD是AB上的中线，ADBDDG是ABC的中位线，DG AC3，BG BC4ACB90，ECF90CEF是等腰三角形，CEF45DEG45，CEF是等腰直角三角形EGDG3BEBGEG437当点F在CA延长线上时ABCDEFGACB90，CEF是等腰三角形，CEF45EGDG3BEBGEG431BE的长为1或7（2）ACB90，AC6，BC8，AB10CD是AB上的中线，ADBD5当点F在AC延长线上时ABCDEF若CEFB，则BEDCEFB，CD是斜边AB上的中线，BCDB点E与点C重合，此时CEF不存在若FB，ECFACB90EFCABC在AFD和ABC中，FB，AAADFACB90ABCDEFHBE 当点F在CA延长线上时CABF，当FB时，EFCABC过D作DHAC于H则AHCH AC3，DH BC4ABCDEFGMNHFDHcotFDHcotB4 CFCHHF3 CECFtanFCFtanB BEBCCE8 （3）分别过E、F作AB的垂线，垂足为M、N当点F在AC延长线上时ADBD， SBED SAFD ， ， ， 过D作DGBC于G，则EDGEFC ，EG CE CG 41BEBGEG415，EMBEsinB5 3BMBEcosB5 4，DMBDBM541tanEDB 3当点F在CA延长线上时ABCDEFHMNADBD， ， ， 过D作DHAC于H，则DFHEFC ，CE DH 45BEBCCE853 ，EMBEsinB3 BMBEcosB3 ，DMBDBM5 tanEDB （4）当点F在AC延长线上时过D作DGBC于G，则EDGEFCABCDEFG ， ，CF AFACCF6 若两圆内切，则 x10，解得x18（舍去），x25若两圆外切，则 x10，方程无实数解当点F在CA延长线上时过D作DHAC于H，则DFHEFC ， ，AF 若两圆内切，则 x10，解得x1 （舍去），x1 若两圆外切，则 x10，解得x1 （舍去），x2 综上所述，存在满足条件的点E，BE的长为5或 或 ABCDEHFABCDEFH4如图，已知ABC中，ACB90，sinB ，D为BC边上一点将ADC绕点A逆时针旋转角，CAB，点C落在点E处，点D落在点F处，BE6DF与AB交于点G，直线CE与DF交于点H（1）当点D在什么位置时，CHD60 ？（2）当D、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）如果DFBC，证明四边形ACHF是平行四边形；求CD的长；（4）是否存在点D使AFG为等腰三角形？若存在，直接写出CD的长；若不存在，请说明理由ACDEBFGH解；（1）如图1，CAB，点E落在AB上ACDEBFGH图112ACB90，sinB ，ACAE，BE6 ，解得AC3AE3，AB9，BC 6CADEAF，CAEDAF又ACAE，ADAFACEAECADFAFD12，CADCHD60CDACcot603ACDEBF图2（2）如图2，AEFACD90当D、E、F三点在同一直线上时，AEDF又ADAF，DEEFCDEF，DECDSABC ACCD ABDE ACBC3CD9CD36，CD ACDEBF图3GH（3）如图3，DFBC，ACBC，DFACCAHFHA又ACHAFH，ACHAFHACFH，四边形ACHF是平行四边形四边形ACHF是平行四边形AFCH，ADCH由（1）知CADCHD，又ACDHDC90ACDHDC，ACHDFHHDAC3，AHDF四边形ACDH是矩形，AHBC，AHCDFEGBDG90，FGEBGDFEGBDG，EFGBsinEFGsinB， ，FG3EGDFAC，GHEACEACAE，GHGEFG3GH，FH2GHDH2GH，GHGD易证AGHBGD，BDAHCDBD，CD BC3（4）存在CD3 或 ( )提示：AGFADFAFG，AFAG若AGFG，则AFGFAG，CADACE由（3）知，此时CD3若AFFG，如图4，设AD与CH交于点OACDEBF图4GHOMN则由ACOAFG，得ACOC3分别过O、E作BC的垂线，垂足为M、NBE6，AB6，由BENBAG得BN BC4，EN AC2，CN2CE 2COMCEN， ，OM，CMDOMDAC， ，CD ( )5已知ABC中，ABAC5，BC8，点D在BC边上移动，连接AD，将ADC沿直线AD翻折，点C的对应点为C1（1）当AC1BC时，CD的长是多少？（2）设CDx，AC1D与ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；ABC备用图ABCDC1（3）在点D移动的过程中，是否存在BC1D为直角三角形的情形？若存在，直接写出CD的长；若不存在，请说明理由ABCDC1E图1解：（1）当AC1BC时，如图1设AC1与BC交于点EABC中，ABAC5，BC8BC，BECE4，AE 3EC1AC1AEACAE532DEC1AEC90，C1CDEC1AEC， ，C1D ，CDC1D （2）当0x 4时，如图2BC，C1C，BC1ABCDC1E图2又AEBDEC1，ABEDC1E ， C1E BE，代入 ，得BE DE8 x ySADE 3即y （0x 4）ABCDC1F图3当4x 8时，如图3设C1D与AB交于点FC1B，AFC1DFB，AFC1DFB ， DF AF，代入 ，得AF ySADF ( 8x )即y （4x 8）（3）存在CD1或 或 或7提示：当0x 4时ABCDC1图4EG由（2）知ABEDC1E， 又AEDBEC1，ADEBC1EC1BDDAC1DAC90若BC1D为直角三角形，只能BDC190或BC1D90若BDC190，如图4，作AGBC于G则CDC190，ADC1ADC135ADG45，DGAG3CDCGDG431若BC1D90，如图5，作DHAC于HABCC1图5DEH则ADHBDC1， AH5 x，DH x，DC1xBC1 ，整理得16x 256x490ABCDC1图6GF即( 4x7)20，x ，即CD 当4x 8时由（2）知AFC1DFB， 又AFDC1FB，ADFC1BFBC1DBAD90若BC1D为直角三角形，只能C1BD90或BDC190若C1BD90，如图6ADCABCBADAC1DBC1DAC1BADBADC180ABCDC1图7GFADBAC1B180，C1ADC1BD180C1AD90，CADC1AD90C、A、C1三点在同一直线上又CAC1A，AGC1B，AG是CC1B的中位线C1B2AG6在RtC1BD中，BD 2C1B 2C1D 2( 8x)26 2x 2，解得x ，即CD 若BDC190，如图7，则CDC190ADCADC145，DGAG3CDCGDG4376已知ABC中，ABAC6，cosB ，点D在AB边上（点D与点A、B不重合），过点D作DEAC，交BC边于点E，过点E作EFAC，垂足为F，连接DF（1）设ADx，CFy，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）若DEF和CEF相似，求AD长（3）是否存在点D，使ADF为等腰三角形？若存在，直接写出AD的长；若不存在，请说明理由ABDCEF解：（1）过点A作AHBC，垂足为HABDCEFHABAC6，BHCHcosB ， ，BH AB2BC2BH4ABAC，BCDEAC，DEBCBDEB，DEDB6xDEAC， ，BE4 xCE4( 4 x ) x在RtEFC中，cosCcosB ， y x（0x 6）（2）AC6，CH2，AH 4tanC 2EFCFtanC x2 x当EDFC时，DFECEF此时DFECEF，DFBCBDCF，6x x，x 当DFEC时，FDECEF此时 ，即 2 ，x （3）存在AD 或 7ABDCEF如图，等边ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CDBF，以AD为边向左作等边ADE，连接CF、EF，设 k（1）求证；四边形CDEF是平行四边形；（2）当DEF45时，求k的值；（3）是否存在实数k，使SCDEF SABC ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由（1）证明：ABC是等边三角形ABDCEFACCB，ACDB又CDBF，ACDCBFADCCFB，ADCFADE是等边三角形，ADDECFDEACDCBF，DACFCBBADACFEDB180ADEADC120ADCFCB180BCFB120CFBEDBFCB，CFDE四边形CDEF是平行四边形（2）解：过F作FGBC于GABDCEFG四边形CDEF是平行四边形，DEF45FCBDEF45，FGCG设BGx，则CGFGBGtan60xCDBF 2xBCBGCG( 1 )xBDBCCD( 1 )x2x( 1 )xk （3） k，BDkDC，BC( k1 )DCDC BC作FGBC于G，AHBC于HABDCEFGH则BFGBAH， FG AH AH AHSCDEF SABC ，CDFG BCAH BC AH BCAH， ( k1 )22，解得k1存在实数k1，使SCDEF SABCABC备用图8已知ABC中，C90，ACBC2，点P在射线AC上，点Q在CB的延长线上，且APBQ，连接PQ交直线AB于D，过P作PEAB于EABCPEQD（1）求证：DPDQ；（2）设APx，BDy，求y与x之间的函数关系式；（3）当DEPQCP时，求AP的长（1）证明：当点P在线段AC上时ABCPEQDF过P作PFAC，交AB于F则PFBQ，DPFDQBC90，ACBC，A45PAF是等腰直角三角形，APFPAPBQ，FPBQ又FDPBDQ，DPFDQBDPDQ当点P在AC延长线上时过P作PFAC，交AD延长线于F同理可证DPDQABCPQDFE（2）解：当点P在线段AC上时DPFDQB，DFBDC90，ACBC2，AB2PAF是等腰直角三角形，AFAPxBD BF ( 2x ) x即y x（0x 2）当点P在AC延长线上时PAF是等腰直角三角形，AFAPxBD BF ( x2 ) x即y x（x 2）（3）当点P在线段AC上时DPEDPFDQB当DEPQCP时，只能PDEDQBPDEQDB，DQBQDBBDBQ， xx解得x22当点P在AC延长线上时PDEPQC当PEDQCP时，只能DPEPQC 2，PC2DE2( EFDF )2( EFBD )x22 x( x )解得x22综上所述，当DEPQCP时，AP的长为22或229（浙江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，ABC和DEF都是等边三角形，顶点B、D与原点O重合，边BC在x轴的正半轴上，边AB与DE在一条直线上已知AB6，DE2（1）将DEF绕点O逆时针方向旋转90（如图2），连接CE、CF试判断四边形DECF的形状，并说明理由；（2）将DEF绕点O旋转，连接AF在旋转过程中，当ABF是直角三角形时，求点F的坐标；（3）将DEF沿直线AB上下平移，连接AF、BF在平移过程中，ABF能否成为等腰三角形？如果能，直接写出点D的坐标；如果不能，请说明理由AyxCEFO(B)(D)图1AyxCEFO(B)(D)图2AyxCO(B)备用图AyxCEFO(B)(D)M（1）四边形DECF是菱形设DC、EF交于点M由题意知，ADE90，又ABC60CDE30，CDF30CDECDF，DC垂直平分EF在RtDME中，DMDEcos302 3 DCEF垂直平分DC，四边形DECF是菱形（2）由题意知，A（3，3），B（0，0），AB 26 236设F（a，b），则AF 2( a3 )2( b3 )2，BF 2a 2b 2( 2 )212AB62BF，BAF90若ABF90，则AB 2BF 2AF 2即36a 2b 2( a3 )2( b3 )2，得abAxCEFO(B)DHAFAB点D在BA延长线上y代入a 2b 212，得3b 2b 212，解得bF1（3，），F2（3，）若AFB90，则AF 2BF 2AB 2即( a3 )2( b3 )21236，又a 2b 212，得a4b，代入a 2b 212得( 4b )2b 212，解得bF3（，1），F4（，1）（3）能D1（32，63），D2（3，33），AyxCHFO(B)DEAFAB点D在线段AB上D3（2，6），D4（，3），D5（ ，）提示：过F作FHAB于H则DHDFcos602 FHDFsin602 3若AFAB，则AF6AH 3AyxCEFO(B)DHBFBA点D在AB延长线上当点D在BA延长线上时BDABAHDH6364AyxCEFO(B)DHBFBA点D在BA延长线上D1（32，63）当点D在线段AB上时BDABAHDH6362D2（3，33）若BFBA，则BF6，BH3当点D在BA延长线上时BDBHDH34D3（2，6）当点D在AB延长线上时BDBHDH32AyxCEFO(B)DHAFBFD4（，3）若AFBF，则BH AB3BDBHDH3D5（ ，）10（上海模拟）如图，在ABC中，ABAC，D是BC边中点，EDFB，DE与射线BA相交于点E，DF与边AC相交于点F，连接EF（1）求证：BDECFD；（2）若DFEF，求证：DFAB（3）在（2）的条件下，当DEAC时，求BAC的度数；（4）若ABAC5，sinB 设BEx，DEF的面积为y求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；当AEF是等腰三角形时，直接写出x的值ABCD备用图ABCD备用图ABECDF（1）证明：EDFB，BDECDFBDEBEDABECDFBEDCDFABAC，BCBDECFD（2）BDECFD， BDCD， 又BEDF，BEDDEFBEDDEFABECDFODFEF，DEFEDFBEDEDF，DFAB（3）设AF、DE相交于点O，连接ADDFEF，DEAF，ODOEDFAE， 1，OAOFAF、DE互相垂直平分四边形ADFE是菱形，ADDFBDCD，DFAB，DF AB ACAD ACABAC，BDCD，ADBCC30，B30，BAC120（4）连接AD，则ADBCABECDFGH在RtABD中，AC5，sinB ADABsinB5 3，BD 4cosB 作EGBC于G则BGBEcosB x，EGBEsinB xDG| 4 x |，DE 2DG 2EG 2x 2 x16SBED BDEG 4 x xBEDDEF， SDEF SBED x BDECFD， ，CF ，AF5 当点F与A重合时，CF5，即 5，x y （x ）x4或x 或x8或x 提示：ABECDFi