《数系的扩充》高中数学选修2—2教案

1 / 6 数系的扩充高中数学选修 2 2 教案 数系的扩充高中数学选修 2 2 教案 【目标】 1.了解实数系扩充的原因和过程，理解虚单位 i 的概念，理解复数代数形式、实部、虚部、纯虚数、虚数等概念； 2.理解复数相等概念，了解复数系与实数系的关系； 3.感受数系的扩充和复数的诞生都是人类思想的创新和大解放，每次都引发对自然界更深层次的认识，推动了科学的进步 . 【重点】复数的诞生及其概念 .复数的分类 (实数、虚数、纯虚数 )和复数相等 . 【难点】虚单 位 i 的的概念 .虚单位 i 的第二条性质 . 【程序】 1. 问题情境 问题 1 自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q.实数集 R 之间有怎样的包含关系呢？ key:NZ， ZQ， QR,总之 NZQR,（数系扩充之意自见） . 接着问：这些数是怎样产生的？ key:为了计数产生了自然数， 为了表示各种具有相反意义的量产生了负数； 2 / 6 为了测量等产生了分数 为了度量正方形对角线的长产生了无理数 . 发现 1：数集在按照某种 “ 规则 ” 不断扩充，（实践的需要、解决数学体系内部矛盾的推动） 数系与运算联系紧密，（数集无运算，犹无 弓之箭；运算离开数系，犹如无米之炊） . 人们总希望数系中的运算能够在本数系中畅通无阻 . 数系的每一次扩充的效果，是解决了在原有数集中某种运算受阻的矛盾， 负数解决了在正数集（如 N）中不够减的矛盾， 分数解决了在整数中不能整除的矛盾， 无理数解决了开方开不尽的矛盾 . 接着问：数系一般按照什么样的 “ 规则 ” 扩充？ key:“ 规则 ” 就是 在原有数系的基础上 “ 添加 ” 新的数 . 2. 实数系也面临着问题（内部矛盾） 数系扩到实数系 R 以后，因为没有一个实数的平方等于 1. 问题：这表明什么运算 在实数系 R 中不能畅通无阻？（答：开方运算） 从方程的观点看，像 x2= 1 这样的方程在实数系 R 还是无解的 . 让我们尝试来克服这个矛盾 . 3 / 6 3. 大胆类比、解放思想 评：自然数 N 中 “ 添加 ” 新数 -1，就 “ 忽如一夜春风来，千树万树梨花开 ”. 在实数中引入了一个新数，也能取到这种效果吗？ 4. 严格定义、理清思路 我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定 (1)它的平方等于 -1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 . 这就规定 了虚数单位 i 的两条本质属性 . 5.“ 添加 ” 虚数单位，诞生新的数系 （ 1） i 与实数相乘，得形如 bi的数，当 b0 时，称 bi为纯虚数 .这就 “ 忽如一夜春风来，千树万树梨花开 ” （ 2）形如 bi的数与实数相加，得形如的数叫复数 . 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 c 表示 复数通常用字母 z 表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式 6. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系 4 / 6 对于复数， 当且仅当 b=0时，复数是实数； 当 b0 时，复数叫做虚数； 当 b0 且 =0时，叫做纯虚数； 当且仅当 =b=0时， z=+bi就是实数 0. 7. 例题解析 例 1 请说出复数 4， 0， 6 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ 由学生回答： 例 2 实数 m 取什么数值时，复数 z=m（ m-1） +(m 1)i 是 :(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【分析】因为 mR ，所以 m+1， m 1 都是实数，由复数 z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值 . 解： (1)当 m 1=0，即 m=1时，复数 z 是实数； (2)当 m 10 ，即 m1 时，复数 z 是虚数； (3)当 m（ m-1） =0，且 m 10 时，即 m=0时，复数 z 是纯虚数 . 8. 复数相等的定义 （ 2）相等的复数定义：设 a， b， c， dR ， a bi c di. 若 ,. 例 3.已知 (x+y)+(x 2y)i=(2x 5)+(3x+y)i，其中 x， yR ，5 / 6 求 x 与 y 的值 . 解：根据复数相等的定义，得，所以 x=3， y= 2 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小 .如 3+5i与 4+3i不能比较大小 . 9. 小结 通过在实数中引入虚单位 ,我们将实数集扩张成了复数集 . 1.认识了虚单位 i， i 具有两条本质属性 . 2.理解了实数集扩充到复数集的原因和过程 . 3.知道了 a bi成为实数、虚数、纯虚数的条件 . 简单地说： b 0a bi为实数； b0a bi为虚数； b0 ， a 0a bi是纯虚数 复数实数 虚数 4.理解复数相等的定义 . 10. 作业 1.设计数集的文氏图，用它来表示实数、虚数、纯虚数等数集的包含关系 .下面正确的是（） =0是复数 z=a+bi 为纯虚数的什么条件 ? 6 / 6 答：必要非充分条件 3.与 1 的关系 :就是