八年级数学暑假讲义(第一期).doc

目 录第一讲 方程与不等式1课堂练习3第二讲 图形与平面直角坐标系6课堂练习8第三讲 线与三角形12第四讲 全等三角形19知识点引入：19例题讲解19课堂练习21自我检测22第五讲 轴对称24知识点梳理24例题讲解24课堂练习25自我检测27第六讲 等腰三角形、等边三角形28知识点归纳28第七讲 全等及轴对称综合证明专题33知识点梳理33专题训练34自我检测36第八讲 实数38知识点梳理38例题讲解38课堂练习40自我检测43第九讲 变量与函数44知识点回顾：44第十讲 一次函数53知识点回顾：53例题讲解53课堂练习55自我检测56第一讲 方程与不等式 知识点回顾：1. 一元一次方程一般形式及解法2. 一元一次方程的具体实际应用3. 二元一次方程组的两种解法：4. 不等式的性质5. 解一元一次不等式6. 一元一次不等式组在数轴上表示7. 不等式组的解8. 一元一次不等式的应用题例题讲解例1. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )A. B. C. D. 例2. 用适当的方法解下列方程组：(1) (2) 例3. 某校加工厂有工人60名,生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,能使生产出的螺栓和螺母刚好配套 ?课堂练习1、若关于x的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是( )A. 1 B. -1 C. 0 D. 22、已知x,y的值： 其中是二元一次方程2x-y=4的解的是( )A、 B、 C、 D、3、二元一次方程x+2y=12在正整数解有( )组.A. 3 B. 4 C. 5 D. 无数4、在二元一次方程3x - 2y =4中，当x =6时，y =_5、写出二元一次方程3x-4=y的两个解_。6、已知方程8x-7y=10，用含x的式子表示y，则y=_.7、已知方程是二元一次方程，则m+n=_.8、如右图，设1=x,2=y,且1的度数比2的度数的2倍多10，则可列方程组为_。9、已知是关于x,y的二元一次方程组的解，则a=_,b=_.10、下列二元一次方程组以为解的是A. B. C. D. 11、若一个二元一次方程组的解为则这个方程组可以是_.12 有大小两种货车,2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨,5辆大车和6辆小车一次可以运货35吨,求3辆大车和5辆小车一次可以运货多少吨 ? 13 革命老区某芒果种植基地,去年结余为500万元,估计今年可结余980万元,并且今年的收入比去年高15%,支出比去年低10%,求去年的收入与支出各是多少万元 ? 14 某商场购进商品后,加价40%作为销售价,商场搞优惠促销,决定甲,乙两种商品分别7折和9折销售,某顾客购买甲乙两种商品,共付款399元,这两种商品原销售价之和为490元,问这两种商品进价分别为多少元 ? 15 有一个两位数,十位上的数比个位上的数小1,十位上的数与个位上的数的和是这个两位数的1/5,求这个两位数. 16 一个三位数的个位数字是7,十位数字与百位数字之和为3,若把个位数字移到首位,则新数比原数的5倍还多77,求这个三位数. 课后练习1、用代入消元法解方程组可以由_得_(3)，把(3)代入_中，得一元一次方程_，解得_，再把求得的值代入(3)中，求得_，从而得到原方程组的解为_.2、方程组若用加减消元法解，可将方程(1)变形为_(3)，这时方程(2)与(3)相_，消去未知数_，得到一元一次方程_.3、用代入法解方程组下列解法中最简便的是( ).A、由得x =代入 B、由得y =代入 B、由得x =83y代入 D、由得y =代入 4、已知则xy 的值是 _.5、若4x-3y=0且x0，y0,则的值为 ( )A. B. 31 C. - D. 326 解方程组：(3) (4) (5) (6) 7 甲,乙两队合做一项工程,12天可以完成, 如果甲先做5天后,乙才赶来参加,两人合做9天才能完成,则甲,乙独做各需要多少天完成这项工程 ? 8 甲乙两人骑自行车从相距34.5KM的两地相向出发,在甲走了1.5H,乙走了2 H后相遇; 第二次他们同时从两地相向出发,经过5/4H,两个还相距9.5KM,求甲,乙两人骑自行车的速度. 9 A,B两地相距20KM,甲从A地向B地前进,同时乙从B地向A地前进,2 H后二人在途中相遇, 相遇后甲返回A地,乙仍向A地前进,甲回到A地时,乙离A地还有2KM,求甲,乙二人的速度 10、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。3种包装的饮料每瓶各多少元？ 11、甲乙两工厂计划一年共生产机床360台，实际上甲厂完成了计划的112%，乙厂完成了计划的110%，实际两厂生产机床400台，求甲、乙两厂计划生产机床多少台？ 12、甲乙两人已不变的速度在环行路上跑步，相向而行，每隔2分钟相遇一次；同向而行，每隔6分钟相遇一次，已知甲比乙跑得快。求甲乙每分钟跑多少圈？ 13、某作业组要在规定时间内完成一项工程，如果增加2名工人，那么可提前2天完成；如果减少3名工人，就要推迟6天完成，问：这个作业组原有多少人？规定完成工作的时间是多少天？ 第二讲 图形与平面直角坐标系 知识点回顾：1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。6.平面内点的表示：用一对有序数对表示，到x轴的距离为，到y轴的距离为。注意：x轴上点的纵坐标都为0，y轴上点的横坐标都为0，原点的坐标为（0,0）。7.用坐标表示平移：（1）在平面直角坐标系中，将点向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点或；（2）将点向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点或；（3）如果把一个图形上各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度得到的；（4）如果把一个图形上各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数b，相应的新图就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度得到的。例1、写出图中A，B，C，D各点的坐标 例2、根据点所在位置，用“+”“-”或“0”填表： 点的位置横坐标符号纵坐标符号在第一象限 + +在第二象限在第三象限在第四象限在x轴的正半轴上在x轴的负半轴上在y轴的正半轴上在y轴的负半轴上原 点例3、在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，可以得到对应点坐标（ ， ）；将点向左平移3个单位长度可得到对应点（ ， ）；将点向上平移3单位长度可得对应点（ ， ）；将点向下平移3单位长度可得对应点（ ， ）。 课堂练习一、选择题：1坐标平面内下列各点中，在轴上的点是 （ ）A、（0，3） B、 C、 D、2如果，那么在（ ）象限 （ ）A、 第四 B、 第二 C、 第一、三 D、 第二、四3已知，则的坐标为 （ ）A、 B、 C、 D、 4若点在第三象限，则点在 （ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限5 如图：正方形ABCD中点A和点C的坐标分别为和，则点B和点D的坐标分别为（ ） A、和 B、和 C、 和 D、 和6已知平面直角坐标系内点的纵、横坐标满足，则点位于（ ） A、轴上方（含轴） B、轴下方（含轴） C 、轴的右方（含轴） D、轴的左方（含轴）二、填空题：7设点P在坐标平面内的坐标为，则当P在第一象限时 0 0，当点P在第四象限时， 0， 0。8到轴距离为2，到轴距离为3的坐标为 9按照下列条件确定点位置： 若x=0,y0，则点P在 若xy=0，则点P在 若，则点P在 若，则点P 在 若，则P在 三、解下列各题：10如图：铅笔图案的五个顶点的坐标分别是（0，1）（4，1）（5，1.5）（4，2）（0，2）将图案向下平移2个单位长度，作出相应图案，并写出平移后相应5点的坐标。 11如图：三角形DEF是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别写出A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并观察它们的关系，如果三角形ABC中任一点M的坐标，那么它的对应点N的坐标是什么？ 12附加题： 在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（2，5），C（9，8）D（12，0），确定这个四边形的面积。你是怎样做的？自我检测一、 选择题1点A（）所在象限为（ ）A、 第一象限 B、 第二象限 C、 第三象限 D、 第四象限2点B（）在（ ）上A、 在x轴的正半轴上 B、 在x轴的负半轴上C、 在y轴的正半轴上 D、 在y轴的负半轴上3点C在x轴上方，y轴左侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点C的坐标为（ ）A、（） B、（） C、（） D、（）4 若点P（x,y）的坐标满足=0，则点P 的位置是（ ）A、 在x轴上 B、 在y轴上 C、 是坐标原点 D 、在x轴上或在y轴上5某同学的座位号为（），那么该同学的所座位置是（ ）A、 第2排第4列 B、 第4排第2列 C、 第2列第4排 D、 不好确定6线段AB两端点坐标分别为A（），B（），现将它向左平移4个单位长度，得到线段A1B1，则A1、B1的坐标分别为（ ）A、A1（），B1（） B、A1（）， B1（0，5）C、A1（） B1（-8，1） D、A1（） B1（）二、 填空题7分别写出数轴上点的坐标： A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） E（ ）8. 在数轴上分别画出坐标如下的点： 9. 点在第 象限，点在第 象限点在第 象限，点在第 象限点在第 象限，点在第 象限10.在平面直角坐标系上，原点O的坐标是（ ），x轴上的点的坐标的特点是 坐标为0；y轴上的点的坐标的特点是 坐标为0。11.如图，写出表示下列各点的有序数对： A（ ， ）； B（ ， ）； C（ ， ）； D（ ， ）； E（ ， ）； F（ ， ）； G（ ， ）；H（ ， ）； I（ ， ）三、 请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置： ，你发现这些点有什么位置关系？你能再找出类似的点吗？（再写出三点即可）第三讲 线与三角形 知识点回顾：(1) 垂线的性质：（1）平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。(2) 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度2、相交线中的角(1) 对顶角：两条相交直线所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角。(2) 邻补角：两条相交直线所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角。(3) 三线八角：两条直线被第三条直线截成的八个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。3、平行线(1) 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线(2) 平行公理及推论：公理：过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行(3) 平行线的判定方法：平行线的定义平行公理的推论同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行垂直于同一直线的两条直线平行(4) 平行线的性质：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。12.公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。例题讲解例1 、一个多边形的内角和是1980，则它的边数是_，共有条对角线_，它的外角和是_。例2、在ABC中，的平分线相交于点P，设用x的代数式表示的度数，正确的是（）（A） （B） （C） （D）例3、在五边形ABCDE中，A=D，C+E=2B，A-B=45，求A、B的度数。课堂练习一、填空题1. 锐角三角形的三条高都在 ，钝角三角形有 条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的 。2. 若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是 。3. 要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条。4. 在ABC中，若A=C=B，则A= ，B= ，这个三角形是 。5、三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三条边的取值范围是_。6、ABC中，A50，B60，则C 。7、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和_。8、等腰三角形的底边长为10cm,一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部分的周长之差为2cm,则这个等腰三角形的腰长为_.9、古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 10、在ABC中，如果BAC=50，B=_。二、选择题1、小芳画一个有两边长分别为5和6的等腰三角形，则它的周长是（ ）A、16 B、17 C、11 D、16或172、如图，已知直线ABCD，当点E直线AB与CD之间时，有BEDABECDABECDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是（）ABEDABECDE或BEDABECDEBBEDABECDECBEDCDEABE或BEDABECDEDBEDCDEABE3、 以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个4、已知一多边形的每一个内角都等于150，则这个多边形是正（ ）(A) 十二边形 (B) 十边形 (C) 八边形 (D) 六边形DABECP5、边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是()A.正方形与正三角形B.正五边形与正三角形C.正六边形与正三角形D.正八边形与正方形6、如图，在锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于一点P，若A=50，则BPC的度数是（ ） A150 B130 C120 D1007、中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（ ） A、500 B、100 0 C、180 0 D、 200 08、 在ABC中，三个内角满足BA=CB，则B等于（ ） A、70 B、60 C、90 D、1209、在锐角三角形中，最大内角的取值范围是（ ） A、090 B、60180 C、6090 D、609010、下面说法正确的是个数有（）如果三角形三个内角的比是123，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果A=B=C，那么ABC是直角三角形；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；在ABC中，若AB=C，则此三角形是直角三角形。 A、3个 B、4个 C、5个 D、5个三、解答题1.试把这一结论：三角形的内角和为180，推广至n边形，推导出n 边形内角和的计算公式。2、探究规律：如图，已知直线，A、B为直线上的两点，C、P为直线上的两点。（1）请写出图中面积相等的各对三角形：_。（2）如果A、B、C为三个定点，点P在上移动，那么无论P点移动到任何位置总有： 与ABC的面积相等； 理由是： n m OBAPC 3、如图,在ABC中,ADBC,CE是ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当BAC=80,B=40时,求ACB、AEC、AFE的度数. 4、 如图，在直角三角形ABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)ABC的面积； (2)CD的长；（3）作出ABC的边AC上的中线BE，并求出ABE的面积；（4）作出BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。5、在ABC中，已知ABC=66，ACB=54，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求ABE、ACF和BHC的度数.课后练习：一、认真选一选，你一定很棒！1，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（）A.角平分线B.中线C.高线D.A、B、C都可以2，一个多边形有14条对角线，那么这个多边形有（）条边 A.6 B.7 C.8 D.93，一个三角形三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形4，如图1四个图形中，线段BE是ABC的高的图是（） ABCD5，一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180，这个多边形的边数是（ ）A.5 B.6 C.7 D.86，三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定7，现有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取长为（）A.100cm的木棒 B.90cm的木棒 C.40cm的木棒 D.10cm的木棒8，一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（）A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形9，下面各角能成为某多边形的内角和的是（）A.430 B.4343 C.4320 D.436010一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数则这个三角形的周长为 ()A10 B12 C14 D.1611下面说法错误的是 ()A三角形的三条角平分线交于一点 B三角形的三条中线交于一点C三角形的三条高交于一点 D三角形的三条高所在的直线交于一点12已知：a、b、c是ABC三边长，且M(abc)(abc)(abc)，那么 ()AM0BM0 CM0D不能确定二、仔细填一填，你一定很准！图211，如图2，ABCD，AD和BC交于点O，若A42，C51，则AOB_度. 图312，如图3中的三角形的个数是 个. 13，在ABC中，ABC234，则A_，C_.14，一个多边形的每一个内角都相等，且比它的一个外角大100，则边数n_.15，一个多边形的内角和是540,那么这个多边形的对角线条数是_.16，三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是_.17一个等腰三角形两边的长分别是15cm和7cm则它的周长是_18直角三角形中，两个锐角的差为40，则这两个锐角的度数分别为_19在ABC中，AB30、C4B，则C_20如图513，在ABC中，ADBC，GCBC，CFAB，BEAC，垂足分别为D、C、F、E，则_是ABC中BC边上的高，_是ABC中AB边上的高，_是 ABC中AC边上的高，CF是ABC的高，也是_、_、_、_的高 21如图514，ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果A50，那么D_22如图515，ABC中，A60，ABC、ACB的平分线BD、CD交于点D，则BDC_23如图516，该五角星中，ABCDE_度三、细心做一做，你一定会成功！图524，如图5，ABC中，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于E，A60，BDC95，求BDE各内角的度数.D图725，如图7，在ABC中，C90，外角EAB，ABF的平分线AD、BD相交于点D，求D的度数. 26，如图9：ACD是ABC的外角，BE平行ABC，CE平分ACD，且BE、CE交于点E.求证：（1）EA.（2）若BE、CE是ABC两外角平线且交于点E，则E与A又有什么关系?图927如图520，在ABC中，AD是BC边上的中线，ADC的周长比ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长28如图521，ABC中，B34，ACB104，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，求DAE的度数第四讲 全等三角形 知识点引入：1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。2全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 3.三角形全等的判定公理及推论有： （1）“边角边”简称“SAS” （2）“角边角”简称“ASA” （3）“边边边”简称“SSS” （4）“角角边”简称“AAS” （5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).例题讲解例1、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）如图，AD与BC相交于O，OC=OD，OA=OB，求证：例2、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )如图，在矩形ABCD中，F是BC上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G,DEAG于E，且DE=DC.根据以上条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论. 例3、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )如图，在中,分别以AB、AC为边在的外侧作正三角形ABE与正三角形ACD。DE与AB交于F。求证:EF=FD。 例4、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS ) 如图，在中,M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 。求证：MB=MC例5、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L ) 如图，AD为的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF=AC,FD=CD. 求证：BEAC 课堂练习1ABCBAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=_cm2如图，已知ACBD，那么ABC ，其判定根据是_3如图，中，于D，要使ABDACD，若根据“HL”判定，还需加条件_ _4如图，已知ACBD，请你添一个直接条件， ，使AFCDEB第2题图 第3题图 第4题图5如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃那么最省事的办法是带_去配，这样做的数学依据是是 第5题图 第6题图6如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 BCDEFA7已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEF8已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEFACBDEF9已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDAEBDCF10如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，ABC面积是28，AB20cm，AC8cm，求DE的长BCDEFA11已知：BECD，BEDE，BCDA，求证： BECDAE；DFBC自我检测1已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形第