公平竞赛的评卷系统.docVIP

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 沈阳工业大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 严胜军 2. 王 滨 3. 陈志成 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 8 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：公平竞赛的评卷系统摘要本文针对数学建模竞赛的评卷系统提出了自己的数学模型，采用RSA算法对试卷进行加密解密，保证了试卷的安全性及可靠性。采用夏皮罗威尔克检验法对各分答卷的的公平性及一致性做出了检验，经过对模拟数据的处理分析，公平性及一致性的检验效果良好。考虑到各评委评卷的尺度的不同，我们提出了分数调整公式并经过线性转换的得到了最终的试卷调整分数。关于百分制与等级制的选取，分析了其各自优缺点后，为保证试卷的公平性及各评委评分一致性，最终采取了百分制进行了数据模拟计算，最取得了到不错的效果。关键词：RSA算法 W检验 线性转换 1问题重述数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关心竞赛评卷的公平性。现今大多数的评卷工作是这样进行的：先将答卷编成密号，评委由各参赛学校（20-50所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由M个评委组成，评阅N份答卷，每份答卷经L个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分（A+，A，A-，B+，B，B-，C+ ，C，C-，D），如果L个评委给出的分数基本一致，就给出这份答卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中M = 5-10，N = 60-200，L = 3-5）。现在需要你解决如下问题：1有A,B,C,D四个题目，P（P M）所学校参赛，给出一种答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为明号）；要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好；对你的方法给出分析。2每个题组的M个评委来自不同学校，给出一种评阅答卷分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求。3给出评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评价（某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可在下面的问题中调整）。4给出最终的分数调整计算公式。该公式要处理那些可能出现的“不公平”，及尺度偏差。对可能出现的“不公平”构造例子，说明你的方法。5对评卷中的其他问题（如采用百分制还是等级分，一份答卷由几个评委评阅可以满足既经济又公平，等等）提出你的看法和根据。6假定有35所学校298个参赛队参赛，数据如附表。其中：数字前两位代表学校，甲组选做A，B题；乙组选做C，D题；25名评委所属的学校编号为：1-17，20，21，22，24，26，28，29，30。每份试卷经四位评委评阅，编号为15，22的只容许评C，D题，编号为26的只容许评A，B题，编号为1，4，6，12，16的评委要求评A题，编号为2，5，7，10的评委要求评B题；编号为24的评委要求评C题，编号为29的评委要求评D题。其余按所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。要求对问题1，2给出具体的算法及结果。对问题3，4，5给出模拟数据再进行分析和运算。2 模型假设1.评委独立工作, 互不干扰而且所有评委的阅卷量相同2.一般批阅一份试卷的评委不会太多, 而且评委的工作能力达到一定的水准.3.各参赛者的水平服从正态分布3 符号说明 所取样本平均数S 所取样本平均数 夏皮罗威尔克检验系数 第j位评委批阅的第i份试卷得分 第j位评委批阅的试卷的得分均值 第j位评委评分的标准差 第j位评委对第i份答卷的标准分数 第j位评委对第i份答卷改良后的分数 第n份答卷的最终得分4 问题分析与模型建立一.基于RSA算法对编号加密解密模型 1.1模型分析与建立为了满足数学建模竞赛中对减小阅卷评委的主观性误差的要求，使得所评试卷公正合理 ， 评卷系统中非常重要的前提任务就是对参赛者信息的隐蔽，避免人为信息对评委的判卷标准造成影响。随着科技的不断进步，涌现了大量的的加密解密算法对信息进行保护。RSA算法是一种分组密码，其明文和密文均是0至n-1之间的整数，通常n的大小为1024二位进制或309位十进制数. RSA算法的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。选取密钥的过程如下：1. 选取两个大质数p和q。质数的值越大，破解RSA就越困难，但是进行加密和解密的时间就越长。2. 计算h=pq和z=（p-t）(q-1)。3. 选择小于n的数e，并且和z没有公约数（除了l）（也就说e和z是互质数）。4. 找到数d，满足ed-1被z整除（也就是没有余数）。5. 公共密钥是数对（n，e），秘密密钥是数对（n，d）。加密解密的过程如下：1. 假设发送方甲向接收方乙发送数m，其中mn。为了加密，甲进行指数运算，接着计算被n除的模余数，即为密文c，甲发送c。2. 为了解密接收到密文消息c，乙计算。1.2 模型求解利用MATLAB将来自35所学校的298只参赛队伍进行加密解密计算得到一个实用的加密解密系统，对数据处理并得到密文，如表一。表一 答卷编号的RSA加密随机乱序密文明文序号随机乱序密文明文序号106110101167515012103732201021361615113011873330103120171521302205940104561315313031081050105811415413041516601062951515513052697701073911156130613880108831215713076949010914023158130817651001105824159130993161101111712016013101131712011221821161131160131301131022162131227114140114107181631313297151501151531916413142111601162403016513152811217011716631166140127923180118762716714022562419011910228168140382020012094291691404204212101211622517014054522220122121261711406223182301232321721407263192401241731731408983025012520634174140923131260126128017514105272701272451176141126828280128883217714126529290129152331781413296253001301991791414198263102011851018014154123202022646181150114433302038471821502105343402043581831503284035020519341841504196136020625451851505432370207186161861601163333802087717187160223293903017913188160389104003022361418916041426410303112151901605230742030428511191160628684303051371219216071444030620923193170128854504012924194170229116460402592019517032351747040321221196170414513480404222221971705211144904051031819817064715500406154191991707261151040721302001708276125204087831201170942235304091292720217101824540410225282031801298205505019229204180225521560502302520518032502257050315926206180427718580504182220718052191959050513032081806233306005062623420918075031610507800210180816427620508190121119015728630509633221219021412964051019233213190336256505112439214200172666051223910215200226726705138262162003283680514228721720041733469051527482182005670700601249421920061101710602952202007252327206035316221210118133730604133172222102127974060520713223210322010750606247142242104406760607117152252105266777060811511226210622187806091221222721071434790610177232282108238580070113224229220128916810702312023022021491782070310421231220326013830704253222322204224148407051231823322051561585070611119234220616911860707147302352207292128707082703123622082102388070938272372209162489071025282382210902090071113829239230120321910801172252402302322920802282262412303217189308031252242230423719940804913243230511309508056234244240116531960806208024524021482797080717912462403972898080821432247240425729990809663324824051972510008108692492406158261010811271025024071942102081272625125012273103081361725225027034104081420282532503216010508156425425042871106081619552552505226321070817162225625064933108081817152572601278910908191313425826021551011008201471259260387611109011527226026045271120902112462612605242811309031274262260620411409042314263260711951150905241142642608731611609062051265270120017117090721189266270216113118090822962672703184141190909181162682704273151200910191502692705280111211001301742702706121212210023123427128012482312310032717527228023224124100428101273280311820125100529180274280448211261006251832752805294221271007262932762806265181281008221527729012901912910093160278290219930130101034241279290355311311101046280290443271321102113128129054428133110332244282290654291341104332012832907157251351105921328429081912613611061017828530013321371107625928630026831381108716828730031393413911098229288300410901401110425128930059511411201526129031011463214212021685291310264331431203172752923103126914412041325829331049910145120514242943201170614612061518829532027571471207111002963301348148120812135297330212441491209232832983303三.评分一致性或公正性的检验模型3.1模型的分析与建立大量统计资料表明大型选拔性竞赛,考生总体成绩合理有效的分布应该呈对称正态分布或正偏态分布, 即呈其他分布如双峰形分布，平坡型分布等是不合理的. 故假设: (1)任意分配若干份试卷给某评委, 这位评委的给分情况服从正态分布; (2)对于同一份试卷，不同评委批阅,其分数也应呈正态分布。所以判断各位评委所给的分数是否一致和公平应该包含两层含义: (1)对各评委所给的分数是否服从正态分布做总体正态性检验,如果某位评委的给分中既有多数偏高分又有多数偏低分, 则认为该评委的评卷存在问题, 是不公平的, 应该将该评委的评卷分数都去掉; (2)对于同一份试卷,不同评委批阅的分数也应该具有一致性。但是因经济性及时效性约束,一般批阅一份试卷的评委不会太多。对同一份试卷不同评委批阅,只要分数差距不大,进行一致性检验就无太大意义。3.2 夏皮罗 威尔克检验法W检验法是Shapiro 和Wilk在1965年提出的，具有灵敏度高、计算简便、所需样本容量较小(n50)等优点。假设样本所属总体属于正态分布，具体算法如下：对容量为n的样本（，），则样本均值 （1） 样本标准差 （2）将样本观测值（，）按从小到大的次序排列，处在第i个位置的数据记作。W检验所用统计量的计算公式为： （3）其中 （4）是W检验必须的系数，可在4中查到，而W与样本值的分布有关，其值在(0,1)之间，如果所作“样本值来自正态总体 ”的统计假设是正确的，样本值的分布应近似对称的，这时W值应接近于 1 ； 反之，如果样本值不是来自正态总体，则样本值分布是不对称的， W 越偏离于 1( W 值小于 1) 样本值分布偏离正态性越远，不对称性越大；W值越接近于 1,表示样本值分布的正态性越好。若，则接受正态性假设。若，则拒绝正态性假设。具体的检验的步骤如下：1) 将测定值由小到大顺序排序。2) 根据样本容量的大小，即测定值的数目，由夏皮罗 威尔克检验系数表中查出相应于不同i时的值3) 计算W值，并将其与临界比较，若，则认为样本值来自非正态总体。则当W越偏离1时说明，样本的分布越偏离正态分布，即公平性尺度偏差越大。3.3模型求解 为了计算的简洁，我们利用MATLAB编程随机模拟5位评委评阅10份答卷的分数，如下表所示，而模拟数据样本容量n=10满足了W检验法对样本容量的要求（n50）。根据W检验法及模拟数据得出五位评委各自的W值（如表四）,考虑到模拟数据的样本容量（n=10）较少，我们选取时的临界值，则经过比较除了第二位与第三位评委，其它三位评委的W值均接受正态性假设，即公平性尺度基本一致；第二位与第三位评委公平性尺度偏差较大，对答卷的公平性有影响。表二 模拟数据答卷1答卷2答卷3答卷4答卷5答卷6答卷7答卷8答卷9答卷10评委163.5766.43967.95176.6944.70454.04979.03161.41159.18387.428评委264.44960.21166.44285.34539.63252.98679.68155.97661.82286.896评委365.15861.5462.82484.28455.57547.85992.32354.87152.70198.149评委455.49370.66163.20477.33148.0548.14385.23960.31256.23793.55评委561.51464.59268.2280.11152.2851.00778.87466.38557.22790.268 表三 夏皮罗 - 威尔克检验系数表（n=10）K123450.47340.32110.25650.20850.1686表四 五位评委W值评委12345W0.8440.7350.6770.8150.788 表五 夏皮罗 - 威尔克检验临界（n=10） 0.8690.8420.781四.分数的调整计算模型4.1 模型的分析与建立当确定各评委的评分分布为正态分布或近似于正态分布时, 这还不足以将各评委评分汇总作为各参赛队的最后成绩。为了公平还需要对数据作调整:步骤1：各评委评分的幅度不等, 应该对各评委的评分进行标准化处理,标准化值计算公式为： （5）其中 第j位评委批阅的第i份试卷得分 第j位评委批阅的试卷的得分均值 第j位评委评分的