浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时62.4二次函数和幂函数课件.ppt

2.4二次函数和幂函数,教材研读,1.幂函数,2.二次函数,考点突破,考点一二次函数的解析式,考点二二次函数的图象与性质,考点三二次函数的综合问题,考点四幂函数的图象与性质,1.幂函数(1)定义:形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1.(2)性质a.幂函数在(0,+)上都有定义;b.当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增;c.当0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.,教材研读,2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式a.一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);b.顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a0);c.两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).(3)二次函数的图象和性质,(4)若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x1)=f(x2),则图象关于直线x=对称;若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+m)=f(-x+n),则图象关于直线x=对称.,1.(教材习题改编)下图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为(D),A.cbaB.abcC.bcaD.a0,又最小值为0,故f(x)=a(x+1)2,由知f(1)1;由知f(1)=1,故f(1)=1,代入得a=,所以f(x)=(x+1)2.(2)由题意知,在区间1,m上函数y=f(x+t)的图象恒在直线y=x的下方,且m最大,故1和m是关于x的方程(x+t+1)2=x(*)的两个根,将x=1代入(*),得t=0或t=-4,当t=0时,方程(*)的解为x1=x2=1(这与m1矛盾).当t=-4时,方程(*)的解为x1=1,x2=9,所以m=9.又当t=-4时,对任意x1,9,恒有(x-1)(x-9)0,(x-4+1)2x,即f(x-4)x,所以m的最大值为9.,典例2已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象可能是(D),二次函数的图象与性质命题方向一二次函数图象识别问题,解析由abc,且a+b+c=0,得a0且c0,所以f(0)=c-2),若函数的最小值为0,则a=0.,命题方向三二次函数的最值问题,解析f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当a1时,f(x)min=f(1)=-10,不符合题意;当-2a1时,f(x)min=f(a)=a2-2a,若函数的最小值为0,则a2-2a=0,解得a=2(舍去),或a=0,综上可知a=0.,规律总结解答二次函数的最值问题,通常采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+n(a0)的形式,得其图象顶点(m,n)或对称轴方程x=m,常见题型有三种:顶点固定,区间固定;顶点含参数,区间固定;顶点固定,区间变动.,同类练设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).当b=+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式.,解析当b=+1时,f(x)=+1,故对称轴为直线x=-.当-1,即a-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-1-2时,g(a)=f(-1)=-a+2.,综上,g(a)=,变式练(2019台州中学月考)若函数f(x)=x2-2x+1在区间a,a+2上的最小值为4,则a的取值集合为(C)A.-3,-1B.-1,3C.-3,3D.-1,-3,3,解析f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,故函数图象的对称轴是x=1.因为f(x)在区间a,a+2上的最小值为4,所以当1a时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3,当a+21,即a-1时,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3,当a1a+2,即-1a1时,ymin=f(1)=04,不符合题意.故a的取值集合为-3,3.,深化练已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x-1,1上恒小于零,求实数a的取值范围.,解析由题可知2ax2+2x-30在-1,1上恒成立.当a=0时,符合题意;当a0时,x=0时,有-30恒成立;x0时,a-,因为(-,-11,+),当=1,即x=1时,不等式右边取最小值.所以a,且a0.,综上,实数a的取值范围是.,典例5设a0,(3x2+a)(2x+b)0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为(A)A.B.C.D.,命题方向四一元二次不等式恒成立问题,解析当ab0时,(3x2+a)(2x+b)0在(a,b)上恒成立,可转化为x(a,b),a-3x2,所以a-3a2,所以-a0,所以b-a;当a0b时,当x=0时,(3x2+a)(2x+b)=ab0,不符合题意;当a2|x-a|-|x+1-a|对任意xR恒成立的a的取值范围.当xa-1时,不等式化为x2-x-1+a2(a-x),即x2+x-1a,亦即a3a,亦即3a-.若a-1-a,即-a-,则3a-,即a-,所以-a1+或a1+.若a1+.当xa时,不等式化为x2+x+1-a2(x-a),即x2-x+1-a,亦即-a+,若a,则-a2|x-a|-|x+1-a|对任意xR恒成立的a的取值范围是-a0,即m2+2m-30,解得-3m1,又mZ,故m的可能取值为-2,-1,0.当m=-2时,-m2-2m+3=3,不合题意;当m=-1时,-m2-2m+3=4,符合题意;当m=0时,-m2-2m+3=3,不合题意.所以f(x)=x4,所以f(2)=24=16.,方法指导研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=x(R)的相关性质,再辅之以数形结合的方法,这类问题就会迎刃而解.如果不是基本的幂函数,那么通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式),然后根据得到的根式(分式)研究幂函数的性质.幂函数的定义域就是使这些分式或根式有