八年级第一学期(上海版)垂直平分线和角平分线复习和经典习题.doc

八年级垂直平分线和角平分线复习一、知识要点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且ADBD，若点C在直线m上，则ACBC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且ADBD，若ACBC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OAOBOC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.角平分线知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE是AOB的平分线，F是OE上一点，若CFOA于点C，DFOB于点D，则CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P在AOB的内部，且PCOA于C，PDOB于D，若PCPD，则点P在AOB的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、ABC、ACB的平分线，那么： AP、BQ、CR相交于一点I； 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.二、 垂直平分线典习题1. 如图1在ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABD的周长是12cm，AC=5cm，则ABC的周长是_cm.2. 如图2,在RtABC中,C=90,B=15，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，则AEC=_度。3. 如图3,在锐角三角形ABC中,A=50，AC、BC的垂直平分线交于点O，则BOC=_图2图1图34. 如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形5. 如图4，等腰ABC中，BC=8cm，腰AB的垂直平分线MN交AC于D，DBC的周长是20cm，则AB=_cm.6. 如图5,在RtABC中,C=90，DE为AB边上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D.E，若EAC:EAB=4:7，则B= 图4图6图57. 如图6，在等边ABC的内角ABC，ACB的平分线交于点O， OB，OC的垂直平分线交BC于点E，F，如果 AB=12，那么EF= 8. 已知ABC是边长为1的等边三角形，DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，那么点B到直线AD的距离为_ _.9. 已知A和B两点在线段EF的中垂线上,且EAF=100，EBF=70，则AEB= .10. 下列说法：若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB.）其中正确的个数有（ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11. 如图8，已知,AD平分BAC，AD的垂直平分线交BC的延长线于E，交AD于F。求证:BAE=ACE.图812. 已知：如图,在ABC中,C=120，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E.。(1)作出边AC的垂直平分线DE；(2)当AE=BC时，求A的度数。13. 如图所示,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,D为BC边上的中点,CEAD于点E,BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF.三、 角平分线典型习题1. 如图1, 在ABC中,D是BC上一点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F,如果DEF=DFE=23，那么DAC= 2. 如图2，在ABC中，A=90，AB=AC，CD平分ACB，DEBC，垂足为E，DEB周长为16cm，则BC=_cm.3. 如图3，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点O若OBC+OCB70，则BAO= 图1图3图24. 在RTABC中,已知C=90,AD平分BAC,交BC于点D,如果BC=40cm,BD:CD=5:3,求点D到AB的距离是 cm.5. 已知，ABC的周长为18cm，A和B的角平分线的交点到AB的距离为3cm，那么ABC的面积为_.6. 如图4，BD、CD分别是ABC的两个外角CBE、BCF的平分线，那么BDC与A满足的数量关系式： 。7. 如图5，CD为RtABC斜边上的高，BAC的平分线分别交CD、CB于点E.F，FGAB，垂足为G，若CF=3cm，EF=2.5cm，则CE=_cm.图7图6图5图48. 如图6，B=C=90,E是BC的中点，DE平分ADC，CED=35，则EAB= 9.如图7,在ABC中,ABC=150,点D是AB延长线和AC垂直平分线的交点,连接DC,这时BC恰好平分DCA,则A= 10. 如图，ADBC，DB平分ADC，CE平分BCD，交AB于点E，交BD于点O。求证点O到EB与ED的距离相等11. 如图,在RtABC中，ABC=90，BEAC，垂足为点E，AD平分BAC，DFBE，EF=4，求点F到BC的距离12. 已知：如图，点D是ABC的边AC上的一点，过点D作DEAB，DFBC，E.F为垂足，再过点D作DGAB，交BC于点G，且DE=DF.(1)求证：DG=BG； (2)求证：BD垂直平分EF.13. 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于O.求证