浙江专用2020版高考数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件.ppt

6.2等差数列及其前n项和,知识梳理,双击自测,1.等差数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(nN*,d为常数).(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的等差中项.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d.(2)等差数列的前n项和公式,知识梳理,双击自测,3.等差数列及其前n项和的性质(1)若an为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).特别地,当m+n=2p,则am+an=2ap.(2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是等差数列.(3)若Sn是等差数列an的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列.(4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn也是等差数列.,知识梳理,双击自测,4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系等差数列通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0,d0,则Sn存在最小值.,知识梳理,双击自测,1.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于()A.58B.88C.143D.176,答案,解析,知识梳理,双击自测,2.(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,知识梳理,双击自测,3.已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97,答案,解析,知识梳理,双击自测,4.在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=.,答案,解析,知识梳理,双击自测,5.(2018浙江诸暨高三期末)设等差数列an的前n项和为Sn,若a3=5,S3=12,则公差d=,通项公式an=.,答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数.3.等差数列解题有利用基本量(a1,d)和应用性质两种基本思想方法.,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的基本量的求解(考点难度)【例1】(1)(2017课标高考)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3=5,a5=3,则an=,S7=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求另外两个,体现了方程思想.2.等差数列的计算关键是求出两个基本量:首项a1和公差d.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)已知等差数列an,Sn是数列an的前n项和,且满足a4=10,S6=S3+39,则数列an的首项a1=,通项an=.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2018全国高考,理4)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的判定与证明(考点难度),【例2】(1)(2016浙江高考理)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.Sn是等差数列,A,考点一,考点二,考点三,考点四,解析:如图,延长AnA1,BnB1交于P,过An作对边BnBn+1的垂线,其长度记为h1,过An+1作对边Bn+1Bn+2的垂线,其长度记为h2,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)已知数列an满足a1a2an=1-an,nN*.,求数列an的通项公式.,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.等差数列的四种判断方法(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列.(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子是an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n2”.3.若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)已知数列an的前n项和是Sn,则下列四个命题中,错误的是(),C.若数列an是等差数列,则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列D.若数列an的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列,则an是等差数列,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2017广东梅州一检改编)已知数列an中,a1=3,满足an=2an-1+2n-1(n2).,求数列an的通项公式.,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的性质的应用(考点难度)【例3】(1)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a5+a7=24,则S9=()A.36B.72C.144D.288,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)如图所示的数阵中,每行、每列的三个数均构成等差数列,如果数阵中所有数之和等于63,那么a52=(),A.2B.8C.7D.4,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.等差数列项的性质:利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将an+am=2与am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量.2.等差数列和的性质:在等差数列an中,Sn为其前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an;若n为偶数,则S偶-S奇=;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)(2018浙江嘉兴模拟)已知数列an为等差数列,且a8=1,则2|a9|+|a10|的最小值为()A.3B.2C.1D.0,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2018浙江金华十校联考)已知等差数列an满足:a40,a5S5,则使an0的最大n=,满足SkSk+10”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,思想方法方程思想和函数思想在等差数列中的应用方程思想和函数思想是等差数列中常用的两种思想方法.等差数列两个基本量是首项a1和公差d,项与和都可以化归成这两个基本量的方程;等差数列的通项an是关于n的一次函数,等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,所以利用函数思想研究等差数列的性质和最值常常事半功倍.,【典例1】(2018浙江金丽衢模拟)设数列an的前n项和为Sn,若为常数,则称数列an为“好数列”.已知等差数列bn的首项为1,公差不为0,数列bn为“好数列”,则数列bn的通项公式为()A.bn=n-1B.bn=2n-1C.bn=n+1D.bn=2n+1答案:B,(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=.所以数列bn的通项公式为bn=2n-1.故选B.,【典例2】设等差数列an的前n项和为Sn,若a10,3a8=5a13,当Sn最大时,n=.答案:20,解析:因为数列an是等差数列,a10,3a8=5a13,所以3(a1+7d)=5(a1+12d),即2a1+39d=0,又因为a10,所以当n=20时,Sn取得最大值,即S20最大.,答题指导方程思想和函数思想是数列中最常见的两种思想方法.对于基本量运算求解一般可以利用方程思想,而对于数列的最值问题,可以考虑利用