（江苏专用）2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 微专题1 三角形中的范围与最值问题课件.ppt

微专题1三角形中的范围与最值问题,微专题1三角形中的范围与最值问题题型一三角形中角或角的三角函数值的最值,例1在ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,则角B的最大值为.,答案,解析由角A,B,C的对边a,b,c成等差数列得a+c=2b.由余弦定理得cosB=.又B(0,),则B,即角B的最大值是.,【方法归纳】求三角形中角的最值,一般先求角的某一三角函数值,通常取余弦、正切等,若已知边的关系,利用余弦定理建立目标函数.,1-1在ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等比数列,则角B的最大值为.,答案,解析由角A,B,C的对边a,b,c成等比数列得ac=b2.由余弦定理得cosB=.又B(0,),则B,即角B的最大值为.,1-2若ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.,答案,解析sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c.由余弦定理得cosC=,当且仅当a=b时取等号,故cosC的最小值是.,1-3在ABC中,已知tanA=3tanB,则A-B的最大值为.,答案,解析tan(A-B)=,当且仅当tanB=,B=时取等号.又A,B都是锐角,则-1),若恰好当B=时ABC面积最大,则m=.,答案2+,解析,以AC所在的直线为x轴,AC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-1,0),C(1,0).设B(x,y),y0,由AB=mBC(m1)得(x+1)2+y2=m2(x-1)2+y2,化简得x2+y2-x+1=0,即+y2=.设直线x=与x轴的交点为D,ABD=,CBD=,则ABC的面积最大时,B,此时ABC=,即-=,tan=m,tan=,则tan(-)=,化简得m2-2m-1=0,又m1,解得m=2+.,例3已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2,A=,求ABC面积的取值范围.,解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,则4=b2+c2-bcbc,当且仅当b=c时取等号,则ABC的面积S=bcsinA4=,故ABC面积的取值范围是(0,.,【方法归纳】已知三角形的一边和它的对角,求三角形面积的最值或取值范围一般有两种方法:一是利用余弦定理和基本不等式,结合三角形面积公式求解,二是利用正弦定理和三角形面积公式建立三角形的面积关于某个角的三角函数,再结合三角函数的图象求解最值或取值范围.若对三角形加上一点限制条件,如“锐角三角形”,则选择方法二.,3-1,如图所示,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的一个动点,以DC为边作等边PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值.,解析设POB=,(0,),四边形OPDC的OPC中,由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos=5-4cos.,S=SOPC+SPCD=12sin+(5-4cos)=2sin+,当-=,即=时,Smax=2+.,3-2(2018江苏如皋调研)在ABC中,|+|=|-|.(1)求角C的大小;(2)若CDAB,垂足为D,且CD=4,求ABC面积的最小值.,解析(1)由|+|=|-|,两边平方|+|2=|-|2,即(+)2=(-)2,得=0,即,所以C=.(2)在RtADC中,AC=,在RtBDC中,BC=,又A,所以sinB=sin=cosA,所以SABC=ACBC=.由A得2A(0,),故sin2A(0,1,当且仅当A=时,(sin2A)max=1,从而(SABC)min=16.,题型三三角形中代数式的取值范围或最值,例4在ABC中,若A=2C,则的取值范围是.,答案(1,2),解析由A=2C得sinA=sin2C=2sinCcosC,且C,则=2cosC(1,2).,4-1在锐角ABC中,若A=2C,则的取值范围是.,答案(,),解析由A=2C得sinA=sin2C=2sinCcosC.由锐角ABC得解得C,则=2cosC(,).,4-2(2018江苏海安高级中学月考)在ABC中,角A,B,C的对边依次为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足c2-b2=ab,则-+2sinC的取值范围是.,答案,3,解析c2=b2+ab=a2+b2-2abcosC,化简得b=a-2bcosC,则sinB=sinA-2sinBcosC,sinB=sin(B+C)-2sinBcosC,化简得sinB=sin(C-B),即在锐角三角形中,C=2B,则解得B,则C,则19bc,则kmax.因为a+bc,所以=-2+19=-92+100100,当=9时取等号,则k100,即k的最小值为100.,4.(2018江苏苏州期中)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB+sinC=msinA(mR),且a2-4bc=0.(1)当a=2,m=时,求b,c的值;(2)若角A为锐角,求实数m的取值范围.,解析(1)由题意得b+c=ma,a2-4bc=0.当a=2,m=时,b+c=,bc=1,解得或,(2)cosA=2m2-3.因为角A为锐角,所以cosA=2m2-3(0,1),所以0,所以m.,5.(2018江苏高考预测)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A的大小;(2)若y=cos2+cos2-1,求y的取值范围.,解析(1)=,(2b-c)cosA=acosC,(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC,2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC.即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C).又A+C