二次函数y=ax^2+k图像及性质.doc

二次函数及图像与性质知识点回顾：1二次函数的图象 用描点法画出二次函数的图象，如图，它是一条关于轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 2二次函数的有关性质. 因为抛物线关于轴对称，所以轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线的顶点是图象的最低点，因为抛物线有最低点，所以函数有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 3二次函数的图象画法. 用描点画二次函数的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量的值，然后计算出对应的值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确。 4二次函数的性质. （1）二次函数的性质，见下表：函 数图像开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值向上（0，0）轴时，随增大而增大；时，随增大而减小.当时，.向下（0，0）轴时，随增大而减小；时，随增大而增大.当时，.（2）抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧部分，随的增大而减小；在对称轴右侧部分，随的增大而增大.当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧部分，随的增大而增大；在对称轴右侧部分，随的增大而减小；的大小决定抛物线的开口大小，越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大1、图像与性质同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？ ，那么与的图象之间又有何关系？ 二、实践与探索例1在同一直角坐标系中，画出函数与的图象解 列表x-3-2-1012318820281820104241020描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2623所示回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值yx2yx21yx21把抛物线yx2向_平移_个单位，就得到抛物线yx21（2）可以发现，把抛物线yx2向_平移_个单位，就得到抛物线yx21；（3）抛物线yx2，yx21与yx21的形状_理一理知识点yax2yax2k开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值a0时，当x_时，y有最_值为_；a0时，当x_时，y有最_值为_1抛物线y2x2向上平移3个单位，就得到抛物线_；向下平移4个单位，就得到抛物线_ 因此，把抛物线yax2向上平移k（k0）个单位，就得到抛物线_； 把抛物线yax2向下平移m（m0）个单位，就得到抛物线_2抛物线y3x2与y3x21是通过平移得到的，从而它们的形状_，由此可得二次函数yax2与yax2k的形状_（上加下减）性质1： y=ax+c的图象与y=ax的图象形状-其对称轴为-轴顶点坐标为（-,-）当a0时，开口-，图象y=ax+c有最-点；当x=0时，y有最-值为-；当a0时，是由y=ax向-平移c个单位，当c0时，是由y=ax向-平移|c|个单位。简称“-”例题讲解：1不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的？2抛物线是由抛物线怎样移动得到的？又是怎么由抛物线得到的？巩固练习1.抛物线y=-3x2+5的开口向_,对称轴是_,顶点坐标是_.顶点是最_点,所以函数有最_值是_.2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是_,与x轴的交点坐标是_.3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_.4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x,向_平移_个单位得到的.5.抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_.6.若二次函数的图象经过点，求的值。这个函数有最大还是最小值？是多少？7.求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式:(1)通过点(-3,2);(2)与y=x2的开口大小相同,方向相反;(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式例2.抛物线与轴交于点，与轴交于点两点，且点在点的左侧，求出的面积ABC。2、图像与性质例1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象， ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标解 列表x-3-2-10123202028820描点、连线，画出这三个函数的图象，如图2625所示它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）（1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？（2） 顶点和对称轴有什么关系？（3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ （4） 由此，你发现了什么？三、探究二次函数和图像之间的关系1.结合学生所画图像，引导学生观察与的图像位置关系，直观得出的图像的图像。教师可以采取以下措施：借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如：（0，0）（-2，0）（2，2）（0，2）；（-2，2）（-4，2）也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。2.用同样的方法得出的图像的图像。3.请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质. （）的图像的图像。（左加右减）函数的图像的顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线x=-m4、做一做 抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =2(x+3)2y = -3(x-1)2y = -4(x-3)2探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？1掌握二次函数的图象与性质；（1） （2） 抛物线对称轴顶点坐标开口方向增减性最值巩固练习：1、对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= 2、抛物线的顶点坐标是 （ ）A（2，0） B.(-2,0) C.(2,0) D。（0，-2）3.填空：、由抛物线y=2x向 平移 个单位可得到y= 2(x+1)2、函数y= -5(x -4)2的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。4、对于二次函数，请回答下列问题：把函数的图像作怎样的平移变换，就能得到函数的图像？说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。5.抛物线的顶点在轴右侧，则的取值范围为 6.抛物线了y=的开口向_，顶点坐标为 ，与y轴的交点坐标是_7、将抛物线y=-7x2向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是 。8、抛物线y=3(x2)2可看作抛物线y=3x2向 平移 个单位得到，当x 时，y随x的增大而减小。二次函数及图像与性质1填表 姓名： 函数草图开口方向顶点对称轴最值对称轴两侧的增减性（讨论解决）y3x2y3x21y4x252二次函数的图象向上平移个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）A B C D3将二次函数y5x23向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_4写出一个顶点坐标为（0，3），开口方向与抛物线yx2的方向相反，形状相同的抛物线解析式_5抛物线y4x21关于x轴对称的抛物线解析式为_6抛物线yx22可由抛物线yx23向_平移_个单位7抛物线yx2h的顶点坐标为（0，-2），则h_8抛物线y4x21与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标为_9函数与在同一直角坐标系的图象可能是（ ）10二次函数的图象的顶点在轴的负半轴上，且开口向上，则的取值范围为（ ）A B C D11.二次函数的图象如图所示，则它的解析式为（ ）A B C D12抛物线可以看作抛物线_沿轴向_平移_个单位得到的；13.已知是抛物线上的点，求证：点在抛物线上. 14函数与直线的图象交于点，求：（1）和的值； （2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标. 15直线经过两点，它与二次函数的图象相交于两点，二次函数与的图象的开口大小和方向完全相同，并且的顶点坐标为，求的面积.1 的图象与性质；（1） （2） 抛物线对称轴顶点坐标开口方向增减性最值2.抛物线的顶点坐标与对称轴分别是 （ ）A，直线 B.，直线 C.，直线 D.，直线 3.二次函数的图像与轴 （ ）A.没有交点 B.有两个交点 C.交点坐标为 D.交点坐标为4.已知二次函数图像的顶点在轴上，则的值为 （ ）A.2 B.-2 C.0 D.5对于任何实数h抛物线y=(xh)2与抛物线y=x2 ( ) A开口方向相同 B对称轴相同 C顶点相同 D都有最高点6.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是 ( ) Ay=3x22 By=3x2+2 Cy=3(x2) 2 Dy=3(x+2) 27.抛物线了y=的开口向_，与y轴的交点坐标是_8. 抛物线y=3(x一2) 2 与x轴的交点坐标是 9已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把y轴向右移动2个单位则新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) Ay=2x2+2 By=2x22 Cy=2(x+2)2 Dy=2(x2)210.已知二次函数，当 时，随的增大而减小。11.抛物线的开口方向向 ，对