毕业设计（论文）-证券投资组合的熵优化模型.doc

陕西理工学院毕业论文证券投资组合的熵优化模型（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学教育专业1102班,陕西 汉中723001）指导教师:摘要:证券投资是一种动态的投资选择过程,在一个市场信息不足的环境下,投资者对证券市场未来的走势难以预测,从而对投资者的决策带来很大的困难.本文在简单介绍了最大熵原理的基础上,建立了证券投资组合的均值-熵优化模型,该模型兼顾了证券市场的时间特征,同时也不必计算协方差矩阵,避免了计算的复杂性,为投资者在证券市场未充分发育环境下所作的决策,提供了一个辅助工具,更容易为一般投资者所使用.关键词:均值-方差模型；投资组合；最大熵；熵优化1.引言马科维茨（Markowitz）的均值-方差理论对金融数学的贡献巨大,但是这种方法在投资收益率不服从正态分布时,就可能失效.另外,用方差度量风险时,当证券数目较大时,由于需要求解证券间的协方差,因此均值-方差模型求解比较困难.同时,由于证券市场的不确定性,不仅仅表现在不同证券之间收益率的均值和方差的差别上,随时间的波动更是建立一个合理的优化模型必须考虑的因素.本文提出的均值-熵优化模型纳入了以熵函数表达随时间的不确定性,特别适用于在证券市场不完善的情况.2.预备知识2.1 熵、不确定性以及投资组合用熵或者期望信息来度量不确定性已经被广泛应用.在统计物理和信息论中,熵作为不确定性的度量被用来做动态处理数据.在前者中,熵用来度量系统在某一时刻的状态；在后者中,熵用来描述系统传递信息的平均不确定性.在投资组合选择中,整个过程都是动态的,因此用熵来描述这种动态的不确定性更加合理.更重要的是,熵不依赖某种特定的分布,如果收益率的概率分布确定了,熵能够直接反映出这种分布,这就在很大程度上避免了用方差度量风险要求收益率的概率分布必须服从正态分布的缺陷.例如:假设投资组合或者组合中的某种证券的收益率密度函数是如下的均匀分布形式（连续变量情况）: 则我们可以计算出均值: 计算出来的熵如下所示:从上面式子中可以看出,熵与均值是一一对应的,但并不依赖与均值,与标准差的对数形式是成线性关系的.也就是说熵作为风险的度量比方差更加能够合理的反映实际的投资收益率偏离期望收益率的动态波动情况.而标准差也是依赖于方差,依赖于正态分布的,因此用标准差度量风险跟用方差度量具有一样的缺陷性.所以熵更能反映出投资者的喜好和心态,是理性投资者对于度量不确定性的一个好的选择. 3.模型建立 3.1熵优化模型建立依据- 最大熵原理杰尼斯（Jaynes）提出的最大熵原理,为我们提供了这样一个选择准则,在确定概率分布时,除应满足已获取的统计距信息外,还要使由这些概率算出的熵函数取得最大值.显然,熵函数取得最大值就是他给我们提供的准则.有人马上会产生这样的疑问,为什么非得以熵最大作为选择准则而不用别的准则呢?的确,这个选择带有明显的主观性特征,因为它把选择的判据主观的定位于熵函数取最大值.尽管是这样,这个准则又的确在信息不足情况下,确定概率分布所能够做出的最“客观”的主观准则.要理解这里所说的最客观的含义,不妨回忆一下信息论中熵的定义.在信息论中,熵代表不确定性（或无知）程度的度量,它的值愈大,意味着我们对所解问题知道的信息愈少.把熵最大作为准则,表明我们除了具有统计距的信息外,对待求的概率分布一无所知,这样处理问题不是更客观些吗？正是由于最大熵原理的这种主观性质,对是否应称其为原理曾有过争议.由于这个原理不是通过证明或理论推导而来,而且它所提供的是一个推理准则,称其为最大熵准则更为确切.但文献中,多沿用Jaynes的原来叫法.将上述最大熵原理用一个数学规划问题来表达,作为选择判据的熵函数取得最大值自然地成为这个规划问题的目标函数,而必须服从已知信息（如均值、方差等）作为问题的约束条件.因此,最大熵原理可被表达为如下优化问题: (3.1.1)s.t. 其中表示各阶统计距函数,是由实验观测得到的个阶统计距的期望值.在具体求解这个问题以前,让我们先来仔细考察一下这个优化问题.倘若我们没有获得任何统计距一类的观测数据,则问题中有关的约束条件将不存在.在这种情况下,易求得问题的解为,即为一个均匀概率分布.这个结果显然是合理的,因为没有获得任何实验观测数据,我们对n个可能的结果究竟哪个会在实际实验中出现就一无所知,因此根据Laplace的“不充分理由”判据原理,只能赋予各可能结果以相等的概率.Laplace的这个原理可以简单的理解为,在没有充分理由赋予各可能结果以不同的概率值时,就赋予它们以相等的概率.事实上,前面统计物理中,对各微观态赋予相等的概率就体现了这一思想.另外,从熵函数的性质知道,在可能结果的数目一定情况下,概率分布为均匀分布时的熵函数值最大,任何其它概率分布算出的熵函数值都将小于这个值.当问题(3.1.1)中有统计距约束存在时,由于这些约束的参与,使得算出的概率分布将偏离均匀分布,导致算出的熵函数值将比均匀分布时小.问题中的距约束数目愈多,求出的概率分布偏离均匀分布愈大,算出的熵函数值愈小.而从信息论的角度看,这种结果是非常合理的.因为距约束数目越多,说明获取的信息越多,对所解问题的不确定性程度越小.因此,根据最大熵原理求得的概率分布,将是在服从统计距约束条件下,最接近均匀分布的一种概率分布.下面我们将针对一般情况,来具体计算一下由最大熵优化问题(3.1.1)得到的概率分布.考虑到熵函数的定义已包含了离散概率的非负性约束条件,故计算时可以不必考虑此约束.因此,这个问题的拉格朗日函数可以写成如下形式: (3.1.2)其中是由相应于第个距约束的拉格朗日乘子,而是对应于约束的拉格朗日乘子.因为熵优化问题(3.1.1)是一个凸规划,故有全局最优解且可直接由函数的驻值条件求得.同时,这个问题还是一个可分变量优化问题,因此很容易由驻值条件求得一个用乘子表示的封闭解: (3.1.3)其中的m+1个待定乘子,将由问题(3.1.1)中的m+1个等式约束确定.由方程(3.1.3)给出的概率分布,被称为最大熵分布.将(3.1.3)带入(3.1.1)中的归一化条件时,可以求得: (3.1.4) 令 (3.1.5) 则它具有和统计物理中的配分函数一样的作用.将(3.1.4)和(3.1.5)代回(3.1.3),就得到了用配分函数Z表示的最大熵分布: (3.1.6) 最大熵原理也可以推广到连续随机变量的情形,这时最大熵优化问题(3.1.1)将变成: (3.1.7)s.t. 其中为连续随机变量X的概率密度函数.3.2熵优化模型的提出及假设证券投资者进行投资的时候, 对于总的资金如何分配在不同风险（以及无风险）的投资项目上,有很多种不同的选择,但是证券投资者的最终目的是通过投资获取收益,与此同时又不愿意承担大的风险.由于影响证券市场的因素很多,要想建立一个全面反映各种因素的数学模型是不可能的.Markowitz的均值-方差模型,反映了影响证券市场的两个主要因素,同时也反映了一般证券投资者追求高效益低风险的心理,因此长期被作为该领域研究工作的基础和投资者进行决策的依据.如同前面分析过的,该模型也存在不少不尽如人意之处,特别是这个模型是一个静态的模型,没有明确地把时间因素考虑在内.在进行证券投资时,在参与以往统计数据的同时,还必须考虑市场的大环境.在一个市场发育不完善的环境里,把投资决策完全建立过去的统计数据上,势必会因一些市场本身不能左右的突发因素,而遭遇额外的风险,有时这种风险给投资者带来的损失会远远大于其他因素造成的损失.因此,一个聪明的投资者,在进行决策的过程中,对过去的统计数据,应采取既尊重又不完全依赖的态度.前面介绍的最大熵原理告诉我们:“在根据部分信息进行推理时,我们应使用的概率分布,必须是在服从所有已知观测数据的前提下熵函数取得最大值的那个概率分布.这是我们能够做出的仅有的无偏分配.”我们主要针对前述市场不完全发育的情况,投资者在这种环境下进行决策时,对于市场的未来走势难以根据过去的数据做出正确判断.因此,在这种环境下的信息不足,不仅有对以往数据可靠程度的质疑,还包含对未来走势预测的困难.在我们下面提出的均值-熵优化模型里,作为约束条件的均值里,纳入了过去的统计数据,而作为目标函数的熵被最大化,以求在信息不足情况下能够做出“无偏”的预测.建立该模型的目的,是想帮助投资者在一个市场没有充分发育的环境下,能够做出合理的投资组合.生产和消费往往体现出时间特征,很多商品的销售都常和季节与一些特定的节日想联系,如服装行业要随春夏秋冬四级而变,旅游业一定和特定的假日相关,等等.这些商品的时间特征不可避免地会体现在证券的收益上.考虑T个不同的时间段,在各个时间段里的收益一般是不同的,令代表在第个时间段的收益占T个时间段总收益的比例,其值由过去的统计数据确定.考虑n种证券,为第种证券对应第个时间段的收益率,那么第种证券的期望收益可以表示为如下形式: (3.2.1)方差和协方差可以表示为如下的式子: (3.2.2) (3.2.3)假设投资者要投资n种证券,每种证券的投资比例为,且对于所有的都有,则: (3.2.4)马科维茨的期望收益和方差分别可以表示为如下的式子: (3.2.5) (3.2.6)将公式(3.2.2)、(3.2.3)分别代到公式(3.2.6).方差进一步可以表示为如下的公式: (3.2.7) 其中: (3.2.8) 是投资第t个阶段的收益, 是投资的平均收益.将(3.2.1)代入到中,进一步表示成为投资比例x的函数,可得到: (3.2.9)马科维茨的均值-方差模型如下图所示: (3.2.10)s.t. 在上面马科维茨的均值-方差模型里,虽然通过和引入了时间特征,但其基本思想仍是在期望收益一定的情况下,最小化方差（风险）,而且上述模型里没有考虑市场环境因素的影响.在下面的均值-熵模型里,将定于为第t个时间段证券收益的概率,其中代表投资组合的均值,由此概率定义计算得到的熵函数值为: (3.2.11) 因为是投资组合的均值,也就是投资者的期望收益,作为投资者总希望在满足一定的收益水平的前提下,在各个时间段内的收益保持稳定,最好是一个常数.因此,在我们建立的均值-熵模型里,以收益水平作为约束条件,以式子(3.2.11)的熵函数作为目标函数,即: (3.2.12) s.t. 由于在上面的约束条件中,是一个常数,因此可以将公式(3.2.12)中的目标函数进行适当简化,在目标函数中的视为常数看待,不会影响到最终的计算,这样最大化问题的目标函数被简化为 .在一定投资收益约束条件下,所建立的均值-熵模型为:(3.2.13) s.t. 将代入到(3.2.13),则可把上述均值-熵模型用投资比例变量显示的写成: s.t. (3.2.14) 其中:c为投资者希望获得的期望收益,其它符号的意义同前面公式.这是在信息量不足而且服从已知信息下的新的投资组合模型；均值-熵优化模型.已知信息有各种证券在不同时间段的收益率和各时间段收益占总收益的比例 ,这些统计值的计算要比协方差矩阵的计算容易得多.均值-熵优化模型既服从上述已知信息,同时又在对未来证券市场的预测上,通过熵函数的极大化实现一种无偏的估计. 下面,我们给出均值-熵优化模型的另外一种形式: max (3.2.15)s.t. 即通过给定熵函数的下限来控制各时间段的波动的程度,在此基础上使收益最大化.3.3熵优化模型分析虽然(3.2.14)和(3.2.15)的两个模型看似没有多大的区别,但两个模型试图达到的目的是不同的,取决于投资者的偏好.因为在一个优化问题里,最优解首先必须是一个可行解,也就是说必须首先满足约束条件.在(3.2.14)的模型里,最低收益作为约束条件必须首先满足,因此比较适于那些只要收益达到一定水平就满足了的投资者,对市场波动的控制只能在满足收益底线的前提下通过熵函数的最大化被动的完成.在前面介绍最大熵原理时给出的例子里,我们已经看到,由于约束的加入导致了熵函数的减少.而在式(3.2.15)的模型里,约束是给定熵函数值的下限,其值代表着对市场稳定的关注程度,因此比较适于那些最求长线稳定的投资者,在稳定的前提下追求高效益.当然,上述均值-熵模型还可以表达为一个多目标优化的形式: max max (3.3.1)s.t. 从这个模型本身看,对效益与稳定的追求是一样.解多目标优化问题的一个常用方法是线性加权法,其问题被表达为: max (3.3.2) s.t. 证券投资者可以通过权重的调整,实现自己的偏好.多目标优化模型的好处是可以通过权系数的调整,满足不同投资者的需求,用起来比较灵活.但不像前面两个单目标优化模型那样,能够清晰的透视出投资者的意图.参考文献1 刘燕霄.浅谈马科维茨证券投资组合模型J.科技资讯.2006(18):250-251.2 张宏.简论物理学中熵概念的发展及其意义J.黑龙江交通高等专科学校学报.2000(03):44-46 .3 李宪东.基于最大熵原理的确定概率分布的方法研究D.北京华北电力大学,2008.4 李洋,余丽霞.基于马科维茨理论的最优证券组合分析J.财会月刊.2013(22):53-55.5 梁昌勇,吴坚,黄永青.基于对数期望-熵模型的证券组合投资研究J.合肥工业大学学报(自然科学版). 2006(08) :941-944 .6 吴晓求.证券投资分析M.北京:中国人民大学出版社.2001,47-113.7 李风章.决策分析中的风险、不确定性和熵M.北京:中国科学院系统研究所.1998,17-21.8William.F.Sharpe .A simplified Model of Portfolio AnalysisJ. Management Science,1963,5(4):11-15. Optimization Models of Entropy in Securities Portfolio SelectionPan Biao（Grade11,Class2,Major in Mathematics Education,School of mathematics andcomputer science,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723001,Shaanxi）Tutor: Yang KaifanAbstract:Securities investment is a dynamic investment selection process, in a market information, lack of environment, investors on the future trend of the stock market is difficult to predict, and thus the decision of investors bring great difficulties.