一元二次方程的应用（2）导学案 （新版新人教版）

1 / 23 一元二次方程的应用（ 2）导学案 （新版新人教版） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k 第 9 课时一元二次方程的应用（ 2） 一、学习目标 1会利用一元二次方程解答数字问题 2会利用一元二次方程解答营销问题； 3会利用一元二次方程解答动态几何问题 . 二、知识回顾 1.用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤： （ 1）审题找等量关系； （ 2）设元列方程； （ 3）求解并检验； （ 4）写出答案 2.数字问题中常用的数量关系有： 两位数表 示为：十位数字 10+ 个位数字； 三位数表示为：百位数字 100+ 十位数字 10+ 个位数字； 三个连续整数可表示为： x-1,x,x+1; 三个连续奇数可表示为： 2x-1,2x+1,2x+3; 三个连续偶数可表示为： 2x-2,2x,2x+2. 2 / 23 三、新知讲解一元二次方程的应用 营销问题（ “ 每每型 ” 问题） 每每型问题指 “ 每降低多少单价，每次就增加多少销量 ” 或“ 每增加多少单价，每次就减少多少销量 ” 的问题，关键是找出两个 “ 每次 ” 代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解 四、典例探 究 1一元二次方程的应用 数字问题 【例 1】（ XX秋 冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大 3，求这个两位数 总结：对于数字问题，首先要明确数的表示方法： （ 1）如果是两位数，个位数字设为 a，十位数字设为 b，那么这个两位数可表示为 10b+a； （ 2）如果是三位数，个位数字设为 a，十位数字设为 b，百位数字设为 c，那么这个三位数可表示为 100c+10b+a； （ 3）设 x 为整数，三个连续整数可表示为 x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为 2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为 2x-2,2x,2x+2 练 1 有一个两位数等于其数字之积的 3 倍，其十位数字比个位数字小 2，求这个两位数 . 3 / 23 练 2（ XX河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（ a， b）进入其中时，会得到一个新的实数： a2+b 1，例如：把（ 3， 2）放入其中，就会得到 32+（ 2） 1=6现将实数对（ m， 2m）放入其中，得到实数 2，则 m 的值是（） A 3B 1c 3 或 1D 3 或 1 2 一元二次方程的应用 营销问题 【例 2】（ XX乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出 300件市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6080 元的利润，应将销售单价定位多少元？ 总结： 用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价 -进价，单件利润 销售量 =总利润 . 用一元二次方程解决的每每型问题，通常指 “ 每降低多少单价，每次就增加多少销量 ” 或 “ 每增加多少单价，每次就减少多少销量 ” 的问题，注意两个 “ 每次 ”. 每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润 4 / 23 销售量 =总利润 . 每每型问题中要注意题设中 “ 在顾客得实惠的前提下 ”“ 减少库存压力 ” 等语句，这是进行答案取舍的重要信息 . 练 3（ XX淮安）水果店张阿姨以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售出 100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至少售出 260 斤，张阿姨决定降价销售 （ 1）若将这 种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是斤（用含 x 的代数式表示）； （ 2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 3一元二次方程的应用 动态几何问题 【例 3】（ XX春 寿县校级月考）如图 ABc ， B=90 ，AB=6， Bc=8点 P 从 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 Bc 向点 c 以 2cm/s的速度移动如果 P、 Q 分别从 A、 B 同时出发，当点 Q 运动到点 c 时，两点停止运动，问： （ 1）经过几秒， PBQ 的面积等 于 8cm2？ （ 2） PBQ 的面积会等于 10cm2 吗？若会，请求出此时的5 / 23 运动时间；若不会，请说明理由 总结： 动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题 .解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动 . 动态几何问题中常关心 “ 不变量 ”. 在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解 . 练 4（ XX 春 慈溪市校级月考）如图，一架米长的梯子 AB斜靠在竖直的墙 Ac上，这时 B 到墙 c 的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点 B 将向外移 动多少米？ （ 1）请你将小明对 “ 思考题 ” 的解答补充完整： 解：设点 B 将向外移动 x 米，即 BB1=x， 则 B1c=x+， A1c=Ac AA1= =2 而 A1B1=，在 RtA1B1c 中，由 B1c2+A1c2=A1B12 得方程， 解方程得 x1=， x2=， 点 B 将向外移动米 （ 2）解完 “ 思考题 ” 后，小聪提出了如下问题： 梯子的顶端从 A 处沿墙 Ac 下滑的距离与点 B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这个问题 五、课后小测一、选择题 1已知两数之差为 4，积等于 45，则这 两个数是（） A 5 和 9B 9 和 5c 5 和 5 或 9 和 9D 5 和 9 或 96 / 23 和 5 2（ XX鄂城区校级模拟）西瓜经营户以 2 元 /千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元 /千克的价格出售，每天可售出 200千克为了促销，该经营户决定降价销售经调查发现，这种小型西瓜每降价元 /千克，每天可多售出 40 千克另外，每天的房租等固定成本共 24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利 2o0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元 A或 3.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成图 中，第 1 个黑色形由 3 个正方形组成，第 2 个黑色形由 7 个正方形组成，那么组成第 12 个黑色形的正方形个数是（） A 44B 45c 46D 47 二、填空题 4（ XX 秋 娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是 _ 5（ XX东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售 30件，每件盈利 50元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件据此规律计算：每件商品降价7 / 23 _元时，商场日盈 利可达到 2100 元 三、解答题 6（ XX谷城县模拟）怎样用一条长 40cm的绳子围成一个面积为 96cm2 的矩形？能围成一个面积为 102cm2 的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由 7（ XX春 江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个 20 元的价格购进 900个某新型商品第一周以每个 35 元的价格售出 300 个，第二周若按每个 35 元的价格销售仍可售出 300 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多 售出 50个） （ 1）若第二周降低价格 1 元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？ （ 2）若第二周单价降低 x 元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个 15 元的价格全部售出，如果这批商品计划获利 9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？ 8（ XX江西模拟）等腰 ABc 的直角边 AB=Bc=10cm，点 P、 Q 分别从 A、 c 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线 AB 运动， Q 沿边 Bc 的延长线运动， PQ 与直线 Ac 相交于点 D设 P 点运动时间为 t， PcQ8 / 23 的面积 为 S （ 1）求出 S 关于 t 的函数关系式； （ 2）当点 P 运动几秒时， SPcQ=SABc ？ （ 3）作 PEAc 于点 E，当点 P、 Q 运动时，线段 DE的长度是否改变？证明你的结论 9.（ XX春 汕头校级期中）如图，长方形 ABcD（长方形的对边相等，每个角都是 90 ）， AB=6cm， AD=2cm，动点P、 Q 分别从点 A、 c 同时出发，点 P 以 2 厘米 /秒的速度向终点 B 移动，点 Q 以 1 厘米 /秒的速度向 D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动设运动的时间为 t，问： （ 1）当 t=1秒时 ，四边形 BcQP面积是多少？ （ 2）当 t 为何值时，点 P 和点 Q 距离是 3cm？ （ 3）当 t=以点 P、 Q、 D 为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 典例探究答案： 【例 1】【解析】设这个两位数字的个位数字是 x，则十位数字是（ x 3），则这个两位数为 10（ x 3） +x，然后根据9 / 23 一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解 解：设这个两位数字的个位数字是 x，则十位数字是（ x 3）， 根据题意得 10（ x 3） +x=x2 原方程可化为： x2 11x+30=0， x1=5 ， x2=6， 当 x=5时， x 3=2，两位数为 25； 当 x=6时， x 3=3，两位数为 36. 答：这个两位数是 25或 36 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 练 1【解析】设这个两位数字的个位数字为 x，则十位数字为（ x-2），则这个两位数为 10（ x-2） +x，然后根据这个两位数等于其数字之积的 3 倍列方程，并解方程即可 . 解：设这个两位数字的个位数字为 x，则十位数字为（ x-2） . 根据 题意，得 10（ x-2） +x=3x（ x-2）， 原方程可化为： 3x2-17x+20=0, 因式分解，得（ 3x-5）（ x-4） =0， 解得 x1=， x2=4. 因为 x 为整数，所以 x=不符合题意， x=4. 10（ x-2） +x=24，所以这个两位数是 24. 点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题 .注意：10 / 23 在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解 . 练 2【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含 m的一元二次方程的结果为 2，列式求值即可 解：由题意得： m2+（ 2m） 1=2， m2 2m 3=0， （ m 3）（ m+1） =0， 解得 m1=3， m2= 1 故选： D 点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键 【例 2】【解析】设降价 x 元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可 解：降价 x 元，则售价为（ 60 x）元，销售量为（ 300+20x）件， 根据题意，得（ 60 x 40）（ 300+20x） =6080， 解得 x1=1， x2=4， 又顾客得实惠，故取 x=4，定价为： 60-4=56（元）， 答：应将销售单价定为 56元 点评：本题考查了 一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解 练 3【解析】（ 1）销售量 =原来销售量下降销售量，据此11 / 23 列式即可； （ 2）根据销售量 每斤利润 =总利润列出方程求解即可 解：（ 1）将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是 100+20=100+200x 斤； （ 2）根据题意得：（ 4 2 x）（ 100+200x） =300， 解得： x=或 x=1， 每天至少售出 260斤， x=1 答：张阿姨需将 每斤的售价降低 1 元 点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解 【例 3】【解析】（ 1）设经过 x 秒， PBQ 的面积等于 8cm2先用含 x 的代数式分别表示 BP和 BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间； （ 2）设经过 y 秒， PBQ 的面积等于 10cm2根据三角形的面积公式，列出关于 y 的一元二次方程，根据 =b2 4ac进行判断 解：（ 1）设经过 x 秒， PBQ 的面积等于 8cm2 AP=1x=x ， BQ=2x， BP=AB AP=6 x， SPBQ=BPBQ= （ 6 x） 2x=8 ， 12 / 23 x2 6x+8=0， 解得： x=2或 4， 即经过 2 秒或 4 秒， PBQ 的面积等于 8cm2. （ 2）设经过 y 秒， PBQ 的面积等于 10cm2， 则 SPBQ= （ 6 y） 2y=10 ， 即 y2 6y+10=0， 因为 =b2 4ac=36 410= 4 0， 所以 PBQ 的面积不会等于 10cm2 点评：本题考查了一元二次方程的应用关键是用含时间的代数 式准确表示 BP和 BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断 练 4【解析】（ 1）设点 B 将向外移动 x 米，即 BB1=x， B1c=x+，根据勾股定理求出 A1c=Ac AA1= =2在 RtA1B1c 中，由勾股定理得到 B1c2+A1c2=A1B12，依此列出方程方程（ x+）2+22=，解方程即可； （ 2）设梯子顶端从 A 处下滑 x 米，点 B 向外也移动 x 米，根据勾股定理可得（ x+） 2+（ x） 2=，再解即可 解：（ 1）设点 B 将向外移动 x 米，即 BB1=x， 则 B1c=x+， A1c=Ac AA1= =2 而 A1B1=，在 RtA1B1c 中，由 B1c2+A1c2=A1B12得方程（ x+）2+22=， 解方程得 x1=， x2=（不合题意舍去）， 点 B 将向外移动 13 / 23 故答案为（ x+） 2+22=，（不合题意舍去），； （ 2）有可能 设梯子顶端从 A 处下滑 x 米，点 B 向外也移动 x 米， 则有（ x+） 2+（ x） 2=， 解得： x1=或 x2=0（不合题意舍去） 故当梯子顶端从 A 处下滑米时，点 B 向外也移动米，即梯子顶端从 A 处沿墙 Ac 下滑的距离与点 B 向外移动的距离有可能相等 点评 ：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于 x的一元二次方程是解答此题的关键 课后小测答案： 一、选择题 1【解析】设其中一个数是 x，另一个数是（ x+4），依题意列出方程 解：设其中一个数是 x，另一个数是（ x+4），则 x（ x+4） =45， 整理，得 （ x+2） 2=49， x+2=7 ， 解得 x1=5， x2= 9 则 x+4=9或 x+4= 5 14 / 23 故这两个数是 5、 9 或 9、 5 故选： D 点评：本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题 目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 2【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元那么每千克的利润为：（ 3 2 x），由于这种小型西瓜每降价元 /千克，每天可多售出 40 千克所以降价 x 元，则每天售出数量为： 200+千克本题的等量关系为：每千克的利润 每天售出数量固定成本 =200 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元 根据题意，得（ 3 2 x）（ 200+） 24=200 解这个方程，得 x1=， x2= 200+ 200+， 应将每千克小型西瓜的售价 降低元 故选： c 点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生 “ 用数学 ” 的意识注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果 3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在 3 的基础上增加几个 4 即可 解：第 1 个黑色 “” 形由 3 个正方形组成， 15 / 23 第 2 个黑色 “” 形由 3+4=7个正方形组成， 第 3 个黑色 “” 形由 3+24=11 个正方形组成， ， 那么组成第 n 个黑色 “” 形的正方形个数是 3+（ n 1）4=4n 1 故组成第 12个 “” 的正方形个数是： 412 1=47 故 选： D 点评：考查图形的变化规律；得到第 n 个图形与第 1 个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键 二、填空题 4【解析】设这两个连续偶数为 x、 x+2，根据 “ 两个连续偶数的积是 224” 作为相等关系列方程 x（ x+2） =224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可 解：设这两个连续偶数为 x、 x+2，则 x（ x+2） =224 解之得 x=14或 x= 16 则 x+2=16或 x+2= 14 即这两个数为 14， 16或 14， 16 所以这两个数的和是 30或 30 点评：找到关键描述语，用代数 式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键 5【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利 可卖出商品的件数 =2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可 16 / 23 解： 降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可多售出 2x件，盈利的钱数 =50 x， 由题意得：（ 50 x）（ 30+2x） =2100， 化简得： x2 35x+300=0， 解得： x1=15， x2=20， 该商场为了尽快减少库存， 降的越多，越吸引顾客， 选 x=20， 故答案为： 20 点评：此题主要考查了一元二次 方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利 2100 的等量关系是解决本题的关键 三、解答题 6【解析】首先设矩形的长为 xcm，则宽为（ 20 x） cm，再利用矩形面积公式列出方程 x（ 20 x） =96或 x（ 20 x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案 解：设所围矩形的长为 xcm，则所围矩形的宽为（ 20 x）cm， （ 1）依题意，得 x（ 20 x） =96， 化简，得 x2 20x+96=0 解，得 x1=8， x2=12 当 x=8时， 20 x=12； 17 / 23 当 x=12时， 20 x=8 所以，当所围矩形的长为 12cm，宽为 8cm 时，它的面积为96cm2 （ 2）依题意，得 x（ 20 x） =102 化简，得 x2 20x+102=0 =b2 4ac=（ 20） 2 4102=400 408= 8 0， 方程无实数根 所以用一条长 40cm的绳子不能围成一个面积为 102cm2的矩形 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键 7【解析】（ 1）根据利润 =每个的利润 销售量列式计算即可求解； （ 2）设第二周每个商品的单价应降低 x 元，根据这批商品计划获利 9500元建立方程，解方程即可 解：（ 1）第一周获利： 300 （ 35 20） =4500（元）； 第二周获利：（ 300+50） （ 35 1 20） =4900（元）； （ 2）根据题意，得： 4500+（ 15 x）（ 300+50x） 5（ 900 300 300 50x） =9500， 即： x2 14x+40=0， 解得： x1=4， x2=10（不符合题意，舍去） 答：第二周每个商品的销售价格应降价 4 元 18 / 23 点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给 出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 8【解析】由题可以看出 P 沿 AB 向右运动， Q 沿 Bc向上运动，且速度都为 1cm/s， S=QcPB ，所以求出 Qc、 PB与 t 的关系式就可得出 S与 t的关系，另外应注意 P点的运动轨迹，它不仅在 B 点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答 解：（ 1）当 t 10秒时， P 在线段 AB上，此时 cQ=t， PB=10 t 当 t 10 秒时， P 在线段 AB 得延长线上，此时 cQ=t， PB=t 10 （ 4 分） （ 2） SABc= （ 5 分） 当 t 10秒时， SPcQ= 整理得 t2 10t+100=0无解（ 6 分） 当 t 10秒时， SPcQ= 整理得 t2 10t 100=0解得 t=55 （舍去负值）（ 7 分） 当点 P 运动秒时， SPcQ=SABc （ 8 分） （ 3）当点 P、 Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变 19 / 23 证明：过 Q 作 QmAc ，交直线 Ac 于点 m 易证 APEQcm ， AE=PE=cm=Qm=t ， 四边形 PEQm是平行四边形，且 DE是对角线 Em的一半 又 Em=Ac=10DE=5 当点 P、 Q 运动时，线段 DE的长度不会改变 同理，当点 P 在点 B 右侧时， DE=5 综上所述，当点 P、 Q 运动时，线段 DE的长度不会改变 点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解 9.【解析】（ 1）如图 1，当 t=1时，就可以得出 cQ=1cm， AP=2cm，就有 PB=6 2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形 BcQP的面积； （ 2）如图 1，作 QEAB 于 E，在 RtPEQ 中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图 2，作 PEcD 于