毕业论文-待定系数法在中学教学中的应用.doc

专业代码：07010101 学 号：100704020089贵 州 师 范 大 学（本 科）毕 业 论 文题 目：待定系数法在中学教学中的应用学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2010级姓 名： 指导教师：完成时间：2014年4月待定系数法在中学教学中的应用邹忠丹摘要：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论并进行广泛应用的过程。要形成数学方法和理论，就少不了要进行解数学题，提高数学解题能力，掌握一些常用的解题方法。待定系数法是解决数学问题常用的数学方法之一，它在数学解题中也广泛应用。文章简单阐述了待定系数法的概念、理论依据、解题步骤，重点是论述了待定系数法的教法、在中学数学解题中的应用、解题技巧以及对待定系数法的总结。关键词：待定系数法;高中数学；应用；教法 Abstract: Mathematics is the process of people to grasp the objective world, depict the qualitative and quantitative graduallyabstraction,forming method andtheoryand application. To form the mathematical theory and methods, and ultimately to solve mathematical problems, improve the ability of solving mathematical problems, to master some commonly used method of solving problems. The undetermined coefficient method to solve mathematical problems is one of the commonly used mathematical methods, it is widely used in solving mathematical problems. This paper briefly discusses the concept, the method of undetermined coefficients on the basis of the theory, the steps, the focus is on method of undetermined coefficient method, in middle school mathematics application, problem-solving skills and treat fixed coefficient method summary.Keywords: method of undetermined coefficients；high school mathematics；Application; the teaching method引言 在数学的不断学习中，我们发现数学越来越复杂，越来越烦琐，并且对新学的数学知识也越来越难以理解，那么在将新知识应用到数学解题中就变得越来越摸不着头脑。数学很广泛，内容很丰富，它的解题方法也是有很多种的。在我们中学数学学习中，我们就学习了一种新的数学解题方法待定系数法。待定系数法从初中数学开始就完全步入数学学习中，并且也是一种基础的、常见的数学解题方法。很多学生在从小学步入中学后，会发现中学数学比小学数学变得越来越复杂，越来越难以理解，甚至会觉得很枯燥，为了让学生能体会初中以及高中数学的重要性，及数学在生活中的广泛应用，那么，对待定系数法的学习是很重要的。充分理解什么是待定系数法，并学会用待定系数法进行解题，将其应用到实际生活中的问题中去，充分体现待定系数法在数学中的作用和价值。1.对“待定系数法”概述1.1 待定系数法的概念数学来源于生活，也应用与生活。在生活中的各个方面都蕴含着数学，而数学给生活带来的乐趣也处处可见。可以说，我们从一出生就接触了数学，并且我们对数学的学习也越来越多，对数学的认识也越来越丰富。在初中的数学学习中，我们学习了这样的一个新知识分解因式。在我们对因式分解习题进行解题的过程中，我们会发现，很多题的解题方法都大致相同，而且较为简单和常见，而这种方法就是我们说的待定系数法。待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值，这种方法在初中竞赛中经常出现。待定系数法是一种基本的数学方法,也是解决数学问题最常用的数学方法之一。然而在高中阶段的数学主要是以函数为主线来进行学习的，因此是从函数的角度来看，待定系数法也可以这样来定义：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数。这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。总的来说，待定系数法，实际上也就是一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。1.2 待定系数法的理论依据待定系数法是利用已知条件确定一个解析式或某一个数学表达式中的待定参数的值，从而得到预期结果的方法。更广泛地说，是要确定变量间的函数关系，设出某些未知数，然后根据所给条件来确定这些未知数，进而使问题得到解决。其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件：对于一个任意的a值，都有f(a)=g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。2. 待定系数法在数学中的应用 有人认为提高解题能力的途径就是多做数学题。其实，这种看法是有失偏颇的。在平时间，学生能多做一些数学题来巩固知识，这样的做法固然很好，但如果学生只是死记硬背，盲目的进行练习，搞题海战术，而不去体会其中的含义，这样只会产生一些短期效应，不能真正理解体会其中的奥妙，进而达不到提高解数学题的能力，更谈不上应用。不同形式，不同内容的数学题，有不同的解题方法。要提高数学解题能力，就必须掌握一些技巧和方法。比如待定系数法就是一种很常见的基本的数学解题方法。2.1 待定系数法在初中数学中的应用在初中数学中，我们就可以用待定系数法来进行因式分解、求多项式、整式除法的运算、求方程、求部分分式、求解函数解析式等等。下面我们简单举几个例子：例2.1.1 分解因式。分析：所给的代数式是二元二次六项式，并且从每一项的系数来看，系数之间存在的关系不容易找出来，那么直接分解此因式难度则比较较大。然而可以分解为，于是，原多项式能够分解成两个一次项乘积的一般形式应为，其中为待定系数。再将上式展开，通过找对应项的系数，确定的值。解：其中为待定系数，上式展开后得到 ，解这个方程组，得。对于此题来说，除了用待定系数法以外，我们还可以用十字相乘法来进行解题，然而题目中含有的是两个未知数，解决起来就比较困难。如果题目中最高次是三次、四次，甚至更高次，那么用十字相乘法来解题，是不容易找出每一个因式里面的项数及每一项，解题就变得更为复杂。用待定系数法来进行解题，我们设出每一个因式，并把它们的乘积乘开，由对应系数相等，解出方程组就可以了，这就使得解决起来较为简单并容易理解。例2.1.2 当为何值时，乘积中不含项。分析：此类问题只要将多项式相乘并整理后，使项的系数均为零即可。解：。 要使乘积中不含的项，则有即时，的乘积中不含项。例2.1.3 当为何值时，多项式能被整除？分析：被除式是四次五项式，除式是二次三项式，根据“被除式除式商式”，可以知道商式的最高次数应该是2，且常数项为，那么我们可以设商式为。再利用各对应项的系数相等或赋予特殊值，从而得出方程组，解方程组得出结果。解法一：设商式为，。由各对应系数相等，得 ，解得所以，当时，能被整除。解法二：设商式为，分别令，得整理为，解得所以，当时，能被整除。 从两个的方法来比较看，第一种解法过程较为简单，而第二种方法，理解不难，但是解题的计算过程很复杂，花费的时间比较多，如果是更高此项，那么计算起来是很复杂的，所以解决这个问题的话，第一种方法是最可选的，而且也节约时间。 在初中数学学习中，待定系数法除了在因式分解、多项式、整式的除法中应用广泛，我们还可以用待定系数法进行求方程、求函数解析式等等类似的问题中，并且也是一种很常用的方法。2.2 待定系数法在高中数学中的应用数学学习是一个漫长而无止境的学习过程。在高中学习中，数学也占有很重要地位，并且越来越复杂，思考和逻辑性越来越强。要学好数学，同样，学习和解题也是要有方法，要有技巧的。待定系数法在高中的数学解题中也是很广泛应用的，并且是一种基本的解题方法。在高中数学解题中，我们常用待定系数法来进行因式分解（高中因式分解）、拆分分式、求曲线方程、求解函数式、求数列通项公式、以及其他问题等等。下面我们通过一些具体的例子来体会下待定系数法的应用。 例2.2.1 将化为部分分式之和。 分析：这类型的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，代入所设的部分和即可得结果。解：由于，则可设，则，根据相等的多项式其对应的系数相等可列出方程组：，解方程组，得，所以。 例2.2.2 已知椭圆 的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上已于顶点的任一点，直线与椭圆的交点分别为,求椭圆和双曲线的标准方程。分析：要用待定系数法求解解析式，首先要知道函数解析式的形式，然后用字母表示出解析式，然后根据题目中给出的已知条件解出未知数，最后写出解析式。解：设椭圆的半焦距为，由题意可得:椭圆的离心率为 ，根据几何关系，可得到关系式 ，联立上面两式解方程组，得 又根据关系式，可得故椭圆的标准方程为 ，由题意可设等轴双曲线的标准方程为 ，又由于等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以有。评析：可用待定系数法求解曲线方程：椭圆、双曲线，抛物线等简单能估计其解析式形式的题型。例2.2.3是否分别存在满足下列条件的函数：（利用待定系数法求解函数式）（1）是三次函数，且； （2）是一次函数，且。如果存在，求出的表达式；若不存在，说明理由。分析：首先假设函数存在，用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式。解:（1）设 ，则，由题意可建立方程式，得 ， 解以上方程组，得 故存在满足条件的的函数存在，表达式为。 （2）假设存在，由是一次函数可知是二次函数，故可设 ，则，将和代入已知条件，得 ，整理得，由等式两边各项系数相等，可建立方程组 ，解以上方程组可得 ，所以满足条件的存在，表达式为。评析：利用待定系数法求解函数解析式，可以使问题简化。例2.2.4已知数列中，设，求数列的通项公式。（2010高考全国卷一）（数列通项公式）分析：利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果。解：，则，即 （1），则可设，即。根据（1）式，则有，可解得，则，又，则是首项为，公比为4的等比数列，即，故 。例2.2.5 已知二次函数，且满足，求的取值范围。（利用待定系数法求其它问题）分析：如果直接把-1和1代入二次函数的解析式，求出和的取值，再通过和的范围求出，这样不仅在求解的操作上增加了难度，而且有可能扩大解集。所以这个时候用待定系数法，用、表示，建立者之间的关系，这样解题比较快捷，范围也比较准确。解：设，则有，比较等式两边和的系数，可列出方程组，解方程组，得，即，又 ， 。评析：用待定系数法可以整体使用条件，避免出现错误。例2.2.6 设，求函数的最小值。分析：看到本题，一般来说学生容易想到用均值不等式来进行求解。由于，则有，当且仅当，即时取到等号。但是我们知道，故显然这样解这道题是错误的。解这道题需要拆项，但是直接拆项会有一定的难度，但是待定系数法可以使拆项变得简单。解：设存在，使得，有均值不等式，可有：，当且仅当时成立，而，则，此时，也就是。即有，则。评析：用此方法解题，在解题中要注意取时的条件，用此条件可以解出题目的正确答案。待定系数法除了在这些方面应用广泛之外，也还可以应用到其他的一些数学问题中。从上面的例题来看，待定系数法实际上就是将待定的未知数与已知数建立等式关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数，之后就只需根据题目给出的条件，解题即可。用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在很多解题过程中都可以用到。但是在解题过程中，待定系数法并不一定是最为简单，最为合适的方法，在一个题的解题方法中或许还有比待定系数法更为简单的方法，比如说：如例2.2.6中，我们还可以根据复合函数的单调性做：， ，已知在上单调递减，故。在这个例题中，我们用这样的方法来解题，比起用待定系数法，不但思路明白清晰，而且计算简单。所以说，待定系数法不一定用在每一个题都是最简单的方法，而或许还有更为简单的方法。因此，在我们进行解题时要根据具体的题目做具体分析，我们可以选择简单又适合的方法。3. 待定系数法的解题步骤学习数学是一个长期的学习过程，我们不仅是学习数学，还要对数学进行解题。待定系数法不仅简单，而且是一种常用的基本方法。要掌握待定系数法，我们就要知道应该怎么应用它，知道它的解题步骤。从以上的例题来看，我们可以把待定系数法解决问题的步骤归纳为以下三个步骤：（1）先设定待定系数的解析式或变量；（2）再根据恒等条件，列出含有待定系数的方程（组）；（3）最后解相关的方程（组）求出待定系数，从而使问题得以解决。4. 在数学中如何运用待定系数法进行解题 我们都知道待定系数法是一种解决数学问题的方法，但是，怎样来运用待定系数法呢？掌握了待定系数法的应用并巧妙地将其应用到数学问题的解题中，让我们更深刻的体会数学的乐趣。 其实待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式。运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，只要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达式，所以都可以用待定系数法求解。5. 待定系数法在课堂教学中的教法 对于待定系数法，这是一种重要的数学方法，我们不单单要教会学生这种方法到底能解决什么样的题目,更重要的是通过对待定系数法这一概念的学习及应用，让学生体会对于一个数学方法，数学概念，它的由来，它是如何推广应用的，以及对于应用的概括，有了一个明确的目的后在教学过程中就会容易。 在教学中,我们可以分为三部分来进行： (1)待定系数法的概念,理论依据是什么,一般解题中的步骤,此部分教师可以通过一些简单具体的实力来讲解,意在使学生明白接受新知识.数学概念的教学,是整个数学教学的一个重要环节.正确的理解数学概念,是掌握数学知识的前提,数学概念好比支点,而数学法则、定理好比杠杆.可见概念的重要性； (2)新知识的目的在于应用,所以待定系数法究竟有什么样的应用,推测学生对于基础的应用可能知道一些，但不会全，所以这部分教师就应该引导学生猜测验证待定系数法在各个方面的应用,强调所说的应用要居于待定系数法的理论依据，让学生体会发现应用的过程； (3)归纳总结这部分知识,所应用到的思想方法,了解学生的学习体会等。 教学本身是一门艺术，在教学过程中，教师要唤起学生的兴趣，点燃学生智慧的火花，使学生的探究能力和创新能力得到发展。6. 对待定系数法的总结 待定系数法是数学中解决问题的一种基本思考方法，从上面的几种类型的例题来看，我们在用待定系数法进行解题列方程时，我们可以从以下四个方面分析：利用对应系数相等列出方程；由恒等的概念用数值代入法列方程；利用定义本身的属性列方程；利用几何条件列方程。学习数学，必须要掌握一定的数学方法。数学方法是数学学习过程中对数学知识的内在联系和本质的认识，具有抽象性和概括性，正确使用数学方法，在数学解题中特别重要，它能促进我们掌握数学规律，待定系数法除了应用于以上类型，还可以应用于求函数值、将分式展开划分为部分分式、