2020版高考数学一轮复习 7.4 综合法、分析法、反证法课件 理 北师大版.ppt

7.4综合法、分析法、反证法,知识梳理,考点自诊,1.综合法与分析法,条件,定义、公理、定理及运算法则,结论,求证的结论,充分条件,知识梳理,考点自诊,2.反证法(1)反证法的定义:在假定命题结论的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法.(2)用反证法证明的一般步骤:反设假设命题的结论不成立;归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.,反面成立,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“ab”时,应假设“aab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法,B,解析:从已知条件出发,推出要证的结论,由因导果是综合法.故选B.,知识梳理,考点自诊,3.(2018山东菏泽模拟,5)设m,n,t都是正数,则三个数()A.都大于4B.都小于4C.至少有一个大于4D.至少有一个不小于4,D,解析:依题意,令m=n=t=2,则三个数为4,4,4,排除A,B,C选项,故选D.,4.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时,应假设.,三个内角都大于60,解析:“三角形三个内角至少有一个不大于60”的对立面为“三个内角都大于60”.,考点1,考点2,考点3,综合法的应用考向1数列中的证明例1(1)(2018天津,理18)设an是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN+),bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.求an和bn的通项公式;设数列Sn的前n项和为Tn(nN+),考点1,考点2,考点3,(1)解设等比数列an的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q0,可得q=2,故an=2n-1.设等差数列bn的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以,数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项公式为bn=n.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考综合法的适用题型是哪些?综合法证明问题是怎样实现的?解题心得1.综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.2.综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法,因此要保证前提条件正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确性.其过程一般是从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,分析法的应用,(1)解定义域为(0,1)(1,+),因为当m0时,由f(x)0,得xe;由f(x)e;由f(x)0,得0x1或10时,f(x)与eax-1符号相同,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,当a0,xR),故g(x)=-1f(x)=-1.,因此,曲线y=g(x)在点P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)处的切线斜率均为-1.下面,只需证明曲线y=g(x)在点P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)处的切线不重合.曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2)处的切线方程为y-g(xi)=-(x-xi),即y=-x+g(xi)+xi.假设曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2)处的切线重合,则g(x2)+x2=g(x1)+x1.,考点1,考点2,考点3,令G(x)=g(x)+x,则G(x1)=G(x2),且G(x)=g(x)+1=f(x)+1.由(1)知,当x(x1,x2)时,f(x)G(x2),这显然矛盾.因此,曲线y=g(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2)处的切线不重合.,考点1,考点2,考点3,考向2证明存在、唯一性命题例4已知四棱锥S-ABCD中,底面是边长为1的正方形,又SB=SD=,SA=1.(1)求证:SA平面ABCD;(2)在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由.,考点1,考点2,考点3,(1)证明由已知得SA2+AD2=SD2,SAAD.同理SAAB.又ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,SA平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD.BCAD,BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBF=B,平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾,假设不成立.不存在这样的点F,使得BF平面SAD.,考点1,考点2,考点3,思考反证法证明问题的关键是什么?解题心得反证法证明问题的关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾,与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.推导出的矛盾必须是明显的.,考点1,考点2,考点3,对点训练4(2018湖北宜昌一模,21)已知M是由满足下列条件的函数构成的集合:对任意f(x)M,方程f(x)-x=0有实数根;函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.(1)判断函数是不是集合M中的元素,并说明理由;(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意m,nD,都存在x0(m,n),使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f(x0)成立.试用这一性质证明:方程f(x)-x=0有且只有一个实数根.,考点1,考点2,考点3,(1)解当x=0时,f(0)=0,所以方程f(x)-x=0有实数根0;,(2)证明假设方程f(x)-x=0存在两个实数根,(),则f()-=0,f()-=0.不妨设,根据题意存在c(,),满足f()-f()=(-)f(c).因为f()=,f()=,且,所以f(c)=1.与已知0f(x)1矛盾.又f(x)-x=0有实数根,所以方程f(x)-x=0有且只有一个实数根.,考点1,考点2,考点3,考向3证明至多、至少性问题,考点1,考点2,考点3,思考反证法的解题步骤是什么?思路分析利用反证法证明,先假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0,再经过推理找到矛盾,原命题即得证.解题心得反证法证明数学命题,一般有以下几个步骤:第一步:分清命题“pq”的条件和结论;第二步:作出与命题结论q相反的假设非q;第三步:由p和非q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;第四步:断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设非q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题pq为真.,考点1,考点2,考点3,对点训练5(2018福建龙岩模拟,18)已知xR,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.,证明假设a,b,c均小于1,即a1,b1,c1,则有a+b+c3,两者矛盾,所以假设不成立,故a,b,c至少有一个不小于1.,考点1,考点2,考点3,1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.,考点1,考点2,考点3,1.应用分析法要书写规范,常用“要证”“只需证”等分析到一个明显成立的结论.2.注意推理的严谨性,在证明过程中每一步推理都要有充分的依据,这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论,不可盲目使用正确性未知的自造结论.,易错警示反证法中三种常见错因1.没有应用假设进行推理而致错典例1已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,用反证法证明关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.错解假设方程x2-2x+5-p2=0有实根,已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,0,方程x2-2x+5-p2=0无实根.错因利用反证法证明首先要对所证题目进行否定性的假设,并以此为条件进行推理,得出矛盾,上述证明没有用到假设而造成推理错误.,正解假设方程x2-2x+5-p2=0有实根,则该方程的判别式=4-4(5-p2)0,解得p2或p-2,而实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,解得-2p-,二者矛盾,所以假设不成立,关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.,2.假设不严密而致错典例2已知a,b,c都是小于1的正数,求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数不可能同时都大于.,错因在利用基本不等式时,忘记了等号,少了取等号的条件,所以证明不严密.,3.考虑不全面而致错典例3已知直线ab,若直线a与平面相交,求证:直线b与平面相交.错解假设直线b不与平面相交,则直线b平行于平面.则平面内存在直线b,使得直线bb,ab,ab