Mathematica基础数学实验.ppt

实验十矩阵的特征值与特征向量二次型的正交变换,一、实验目的掌握用mathematica软件包求矩阵的特征值与特征向量,向量组的Schimidt正交化命令.用正交变换将二次型化为标准形,通过作图和观察,了解二次曲面一般方程的图形.,二、学习mathematica命令1.求矩阵的特征值与特征向量EigenvaluesM,求矩阵M的特征值;EigenvectorsM,求矩阵M的特征向量;EigensystmM,求矩阵M的特征值与特征向量.,2.JordanDecompositionM:给出矩阵M的相似变换矩阵P和相似变换标准型J,一般情况下J为约当(Jordan)标准型,当M可相似对角化时,J为对角矩阵.,3.调用“线性代数向量组正交化”软件包0,t-1,即a=-3,b=0,向量x=(1,1,1)为矩阵A的属于特征值1的特征向量.,例3:求一可逆矩阵P,使P-1AP为对角阵,输入A=4,1,1,2,2,2,2,2,2;JordanDecompositionA,输出0,-1,1,-1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,2,0,0,0,6,再输入InverseJ1.A.J1,输出0,0,0,0,2,0,0,0,6,例4:设A为一实对称矩阵,求一个正交矩阵P,使PTAP为对角阵,输入LinearAlgebraOrthogonalization(调入正交化软件包),A=0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,2;B=EigensystemAP=GramSchmidtB2,2,2,-1,-1,0,0,0,1,1,1,1,0,-1,0,1,0,-1,1,0,0,输出,输出1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,12,0,0,0,0,2,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,再输入P.TransposePP.A.TransposeP,所求正交矩阵P为:,程序1,在线性变换中如果不使用正交变换,则变换后的坐标系有可能不是直角坐标系,因此,几何图形会发生变形.我们考察一个二次曲线的例子:,方程x2+2xyy2=7的图形如图.,如果使用配方法化二次形为:(x+y)22y2=7,则线性变换为,原方程化为:u22v2=7,正交变换几何性质的举例:,此时的uov坐标系不是直角坐标系,其图形发生变形,即变换后的原有距离关系发生变化.见两图比较.,方程x2+2xyy2=7的图形,方程u22v2=7的图形,如果使用正交变换,则不会出现这种情形.,思考题1解答,二次型的矩阵为:,求得特征多项式为:|AE|=(4)(9).,于是A的特征值为:1=9,2=4,3=0.,对应特征向量为,思考题1:,化为标准型,并指出f(x,y,z)=36表示何种二次曲面.,求一正交变换,将二次型,f(x,y,z)=5x2+5y2+3z22xy+6xz6yz,正交变换为:,化二次型为,f=9u2+4v2.,可知f(x,y,z)=36为椭圆柱面方程.,在o-xyz坐标系中的图形,在o-uvw坐标系中的图形,思考题2解答,二次型的矩阵为:,A的特征值为:1=8,2=5,3=2.,对应特征向量为,思考题2:,化为标准型,并指出f(x,y,z)=8表示何种二次曲面.,求一正交变换,将二次型,f(x,y,z)=5x2+6y2+4z2+4xy+4xz,正交变换为:,化二次型为,f=8u2+5v2+2w2.,可知f(x,y,z)=8为椭球面方程.,在o-xyz坐标系中的图形,在o-uvw坐标系中的图形,思考题3解答,二次型的矩阵为:,A的特征值为:1=2,2=3=1.,对应特征向量为,思考题3:,化为标准型,并指出f(x,y,z)=8表示何种二次曲面.,求一正交变换,将二次型,f(x,y,z)=2xy+2xz+2yz,正交变换为:,化二次型为,f=2u2+v2+w2.,可知f(x,y,z)=4为旋转单叶双曲面方程.,在o-xyz坐标系中的图形,在o-uvw坐标系中的图形,思考题4解答,矩阵A的特征值为:1=1,2=1,3=0.,思考题4:,求一正交变换,将马鞍面方程z=2xy化为标准方程.,方程z=xy改写为f(x,y,z)=2xyz=0,设,则f(x,y,z)=2xyz可表示为:,正交变换为:,方程f(x,y,z)=0化为u2v2w=0,即,w=u2v2,对应特征向量为,为马鞍面方程