2020版高考数学一轮复习 7.5 数学归纳法课件 理 北师大版.ppt

7.5数学归纳法,知识梳理,考点自诊,1.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N+)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN+)时命题成立,证明当n=时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.2.数学归纳法的框图表示,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时,必须用上归纳假设.()(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n0=3.(),知识梳理,考点自诊,2.用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(nN+),验证n=1时,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4,D,解析:在等式1+2+3+(n+3)=(nN+)中,当n=1时,n+3=4,而等式左边是起始为1的连续的正整数的和,故n=1时,等式左边的项为:1+2+3+4,故选D.,知识梳理,考点自诊,3.(2018河北武邑中学二调,7)用数学归纳法证明时,由n=k(k1)时不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1,C,知识梳理,考点自诊,4.用数学归纳法证明,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.,考点1,考点2,考点3,用数学归纳法证明等式求证:f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2,nN+).,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些?解题心得用数学归纳法证明等式的注意点:(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,利用数学归纳法证明不等式例2(2018广西岑溪期末,21)设实数c0,整数p1,nN+.(1)证明:当x-1且x0时,(1+x)p1+px;,证明(1)当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.假设当p=k(k2,kN+)时,不等式(1+x)k1+kx成立.则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合可得,当x-1,且x0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么?解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.证明的关键是:由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2018江苏扬州一模,22)已知正项数列an中,a1=1,an+1=1+(nN+)用数学归纳法证明:anan+1(nN+).,考点1,考点2,考点3,归纳猜想证明(多考向)考向1与函数有关的证明例3(2018广东梅州质检)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考与函数有关的证明是何时使用数学归纳法?解题心得一般的若函数涉及解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中,常常利用特值探索一下结论,再进行猜想、证明.此时往往用到数学归纳法.,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2018河北衡水调研)若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn)(nN+)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2xn2n2,nN+.下面用数学归纳法证明:当n=1时,42,结论成立.假设当n=k(kN+)时结论成立,即4k2k2,则当n=k+1时,4k+1=44k42k2=2(k2+2k2+k2),因为kN+,所以2k2+k22k+1,所以2(k2+2k2+k2)2(k2+2k+1)=2(k+1)2,所以4k+12(k+1)2,即n=k+1时结论也成立.由可知,nN+时,4n2n2,所以Sn2n2-3n,nN+.,考点1,考点2,考点3,思路分析(1)令x=2,则ai=4n,令x=1,则a0=3n,两式作差得到结果;(2)要比较Sn与2n2-3n的大小,只要比较4n与2n2的大小,接下来应用数学归纳法得到结果.,考点1,考点2,考点3,1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,只适用于与正整数有关的命题.2.用数学归纳法证明的关键在于两个步骤,要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.,逻辑推理数学归纳法证明的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程,主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳猜想证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,典例1(2018山东济宁期末,17)1=1;2+3+4=9;3+4+5+6+7=25;4+5+6+7+8+9+10=49;(1)照此规律,归纳猜想第n(nN+)个等式;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.思路分析(1)第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN+).(2)利用数学归纳法证明猜想.,解(1)第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN+);(2)用数学归纳法证明如下:当n=1时,左边=1,右边=12=1,所以当n=1时,原等式成立.假设当n=k(kN+)时原等式成立,即k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)=(2k-1)2(kN+),则当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=(2k-1)2-k+(3k-1)+3k+(3k+1)=4k2+4k+1=(2k+1)2=2(k+1)-12,所以当n=k+1时,原等式也成立.由知,(1)中的猜想对任何nN+都成立.,典例2(2018江苏徐州期中,23)已知数列an满足(1)计算a2、a3、a4的值,由此猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法对你的结论进行证明.解(1)a2=4,a3=5,a4=6,猜想:an=n+2(nN+).(2)当n=1时,a1=3,结论