毕业设计（论文）-病态线性方程组的求解.doc

SHANDONG 毕 业 论 文 病态线性方程组的求解 学 院： 理学院 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 学 号： 指导教师： 20 12 年 0 6 月 全套设计加 153893706 I 摘 要 病态方程组求解方法显然不能用常规解线性方程组方法，这里主要讨论利 用奇异值分解法求解病态线性方程组。引言部分主要阐述当前病态方程组求解 方法还是 SVD 法最为合适，以及粗略描述一下病态方程组和病态矩阵相关概 念。 第二章是论文核心部分。首先，给出奇异值分解定理，为什么要对矩阵进 行奇异值分解？对任意矩阵进行奇异值分解，是因为奇异值具有稳定的性质。 当矩阵 A 有一个扰动 E 时，奇异值的变化不会超过 E 的谱范数，即的E T E E 最大本征值。奇异值分解的稳定性对用广义逆方法解线性方程组是有重要意的 其次，给出奇异值解线性方程组的一般思路，迭代公式等等，这为后来求解具 体病态方程组做好理论铺垫。然后，列出奇异值分解法解线性方程组的辅助向 量，这些信息对我们加深对反演本质的理解和评价反演结果，都是有重要意义 的，并给出广义逆矩阵满足的三个准则。上面是给出一些理论基础。最后用计 算实例具体一步一步利用理论得出方程组的解。奇异值分解分两步完成，第一 步经 HouseHolder 变换把 A 变成上双对角形式矩阵，这是一个只有对角线和上 次对角线元素非零的矩阵，第二步是一个迭代过程，在迭代过程中，上次对角 线元素化成大小可以忽略不计的元素，留下所需的对角矩阵。最后给出奇异值 分解的取解方法，在用奇异值分解法求解过程中，要用到 全套设计加 153893706 II 1 12 12 . T T n n ggg PS U BS gS g SSS ， 其中。采用奇异值进行适当截断，舍去截断之后的小奇异值，就能得 T gU B 到比较好的解，这就是截断法求解的由来跟依据。 【关键词】奇异值分解，病态方程组，迭代，对角矩阵，截断奇异值。 全套设计加 153893706 III AbstractAbstract Ill-conditioned linear eaqutions solving methods obviously cannot use conventional solution of linear equations method, the main discussion here using the singular value decomposition method for solving ill-conditioned linear equations.The introduction part mainly discusses the ill-conditioned system of equations method or the SVD method is the most suitable, and roughly describe the ill-conditioned linear equations and matrix related concepts. The second chapter is the core part. First, given the singular value decomposition theorem, why should the matrix singular value decomposition? For any matrix singular value decomposition, is because has stable properties of singular value. When the matrix A there is a perturbation of E, singular value changes not more than E spectral norm,which is the maximum eigenvalue of. The stability of E T E E singular value decomposition for generalized inverse method for solving linear equations is meaningful.Secondly, given the singular value solution of linear equations of the general train of thought, iterative formula and so on, which was later solving ill-conditioned equations lay a solid theoretical foundation concrete. Then, list the singular value decomposition method for solving linear equations of the auxiliary vector, these information for us to deepen the understanding of the essence of inversion and evaluation results, are important, and gives the generalized inverse matrix meet three criteria. It is given some theoretical basis. Finally, the example of calculation of specific step by step using the theory to derive equations. Singular value decomposition is done in two steps, the first step after HouseHolder transform A into double diagonal form of matrix, this is only a diagonal and the last non-zero matrix diagonal elements, the second step is an iterative process, in an iterative process, the diagonal elements into the size of a negligible elements, leaving the desired diagonal matrix. Finally, singular value decomposition and solution method, using singular value decomposition method for solving process, used to 全套设计加 153893706 IV 1 12 12 . T T n n ggg PS U BS gSg SSS .Using singular value appropriate truncation, rounding the truncated after T gU B the small singular values, can get better solutions, this is the truncation method solving origin and basis. Key words singular value decomposition, ill-conditioned equations, iterative, diagonal matrix, truncated singular value decomposition 全套设计加 153893706 V 目录 摘 要.I ABSTRACT（英文摘要）.V 目 录. V 第一章 引言.1 1.1 奇异值分解求解线性方程组 1 1.2 病态方程组和病态矩阵. 1 第二章 奇异值分解. 2 2.1 奇异值分解. 2 2.2 用奇异值分解法解线性方程组. 5 2.3 奇异值分解法解线性方程组的辅助向量 . 7 2.4 奇异值分解的计算实例.11 2.5 奇异值分解的取解方法.18 结论 . 23 参考文献 . 24 致谢及声明 . 25 附录. 26 全套设计加 153893706 1 第一章 引言 1.1 奇异值分解求解线性方程组 在地球物理以及其它科学领域中，大约有 75%的科学技术问题都以不同方 式，不同程度涉及到反演问题。而反演过程中又经常碰到解线性方程组的问题， 解方程方法的优劣直接影响到反演解释的效果。许多事实证明，有时候某个方 法效果不好，而不是方法本省的缺陷，而是构造出来的线性方程组病态程度高， 用一般的解方程方法不能取得稳定合理的解所致。近 20 年来，国外普遍采用 奇异值分解方法(Singular Value Decomposition Method)来求解线性方程组， 取得了好的结果。奇异值分解方法，具有客服病态能力强，运算中不放大误差 的优点。奇异值分解方法属于广义逆方法中的一种，近年来广义逆理论的发展 与完善，促进了求解线性方程组方法理论的发展与完善。奇异值分解方法在我 国应用还不普遍，有关资料为外文文献。 本论文系统介绍了奇异值分解的理论相关知识，应用方法与技术，在整理 国内有关文献中的奇异值分解的理论和做法的基础上，加进了自己的学习结果。 本论文难点之处辅以例题加以说明。这样，有助于提高反演能力的效果。 1.2 病态方程组和病态矩阵 一个线性方程组，若右端向量或系数矩阵的微小变化就会引起AXbbA 方程组的解发生很大的变化，则称为病态方程组。方程组的系数矩阵AXb 的条件数刻画了方程组的性态，若，则称A 1 Cond AA A 1Cond A 为“病态”方程组；若相对较小，则称为“良态”方AXb Cond AAXb 程组。良态方程组用 GAUSS 消去法和 JACOBI 等简单的迭代法就可以得到比 较好的计算解，而对于病态方程组，一般的直接法和迭代法会有较大的误差， 甚至严重失真。所以，在解方程组时，有必要先对方程组的性态进行研究，采 用相应的算法，才能得到比较精确的计算解。利用方程组的条件数来判断就是 全套设计加 153893706 2 一个很好的办法。下面的一些直观的现象可作为判别病态矩阵的参考： （1）在主元消去法的过程中出现小主元，则有可能是病态矩阵，但病态A 矩阵未必一定有这种小主元； （2）若解方程组时出现很大的解，则有可能是病态矩阵，但病态矩阵也A 可能有一个小解； （3）从矩阵本身来看，若元素间数量级相差很大且无一定规律；或矩阵的 某些行（列）近似线性相关，即矩阵的行列式接近于 0，这样的矩阵就有可能 是病态的。 当然，这些现象只能帮助我们做初步的判断，并且很多病态矩阵也不一定 会出现这些现象。所以，最可靠的判别方法是求出矩阵的条件数。 全套设计加 153893706 3 第二章 奇异值分解 2.1 奇异值分解 奇异值分解方法在地球物理反演中时一个有重要意义的方法，尤其是在求 解病态线性方程组方面是目前已经知道的最好的方法。所以，我们将比较详细 的讨论这个方法的原理，具体计算方法及计算实例。 定理，SVD：设 A 为任意矩阵，其秩为 R=r，则必存在一个 MM 的 正交矩阵 U，一个的正交矩阵 V，和一个的对角矩阵 S，使 T U AVS 2 1.1 及 T AUSV 2 1.2 应当指出，对角矩阵 S 的主对角线元素恰有 r 个非零，且为正的非增序列。 我们称这些对角元素 s1,s2,s3.为矩阵 A 的奇异值。这就是奇异值分 解名称和来源。 正交矩阵 U 的列向量，的列向量，他们与奇异值有以下关系 j u j v 2T iji A AvS v 1,2,3.jN 2 1.3 2T jii AA uS u 1,2,3.iM 2 1.4 且有关系 当 ij ssir 当0 i s 全套设计加 153893706 4 当0 j s 下面，我们将奇异值分解式 2 1.2 写得更具体些 * * * * 0 M N T M NM NN N MNN M N S AUV A 2 1.5 其中 1 2 * .0 . 0 . 00 0 N N r S S S S 2 1.6 对任意矩阵进行奇异值分解，是因为奇异值具有稳定的性质。可以证明， 当矩阵 A 有一个扰动 E 时，奇异值的变化不会超过 E 的谱范数，即 T E E的 E 最大本征值。奇异值分解的稳定性对用广义逆方法解线性方程组是有意义的。 有奇异值分解式 ，容易求得任意矩阵 A 的 Moose-Penrose 广义逆为2 1.2 AVS U 2 1.7 式中位对角元素为的对角矩阵S 1 1,2. i Sir 1 * * . . . NMNM NMN SSO 1 1 1 2 1 0 . . 00 0 N M N r S S NS 全套设计加 153893706 5 1 0 00 对任意 M*N 的矩阵进行奇异值分解所求得的广义逆A 满足A 逆的四个 基本条件 1. 4 1.9 2. 4 1.10 3. 4 1.11 4. 4 1.12 A A AA A AAA AAAA A AA A 证明略。通过证明我们得知对任意矩阵 进行奇异值分解得到的逆是 *M N A Moore-Penrose 广义逆A 且次逆不但存在而且唯一。 2.2 用奇异值分解法解线性方程组 2.1 我们用奇异值分解法求得了任意 m*n 系数矩阵 A 的广义逆A 。2.2 我 们将讨论奇异值分解法求解线性方程组的方法。设有如下线性方程组： 11 112211 . nn a xa xa xb 21 122222 . nn a xa xa xb 22.1 . 1 122 . mmmnnm a xaxaxb 写成矩阵形式有 22.2 AXB 其中 11121 21222 12 . . . . n n mmmn m n aaa aaa A aaa ， 12 . T n Xxxx ， 12 . T m Bbbb 用 2.1 中方法对系数矩阵 A 进行奇异值分解有 全套设计加 153893706 6 T AUSV 22.3 则广义逆有 AVS U 22.4 将（2-23）代人（2-22）有 T USV XB 而解向量有 T XA BVS U B 22.5 令 1 1 2 2 T T T NgU gU BB MNgU 再令 1 2 .0 n m n PS g p pS g p 所以 111211 212222 124 . . . . n n nnnn vvvp vvvp XV P vvvp A 1 n iijj i Xv p 22.6 然而实际计算中,希望按下列计算可供选择的解 22.7 1 K K jj j XPv 式中, 为正交矩阵 V 的第 j 个列向量。 j v 全套设计加 153893706 7 注意：实际计算中应该用以下迭代公式计算 K X 0 X0 1 X1,2,3. KK KK XP vKn 对选择解相应的残差范数为 K X 2 22 1 M K Ki i K PAXBg 其均方根误差为 1 2 2 0,1,2. K K P kN mk 因此，在选择解向量时，要综合考究或各种因素，从中选出最小 K X 2 K P K 范数最小二乘解。 2.3 奇异值分解法解线性方程组的辅助向量 用广义逆反演方法进行计算时，可以得到几个有用的补充信息，即分辨矩 阵，信息矩阵和协方差矩阵。这些信息对我们加深对反演本质的理解和评价反 演结果，都是有重要意义的。Crosson 又将这些概念补充到阻尼最小二乘方法 中去。 按照广义逆理论，对于任意构成的线性方程组 *M N A 11M NNM AXB 23.1 总可以找到一个广义逆算子PenroseMoore按定义 M N HA 23.2 使得计算的解向量 XHB 23.3 如果广义逆矩阵 H 满足下列三个准则，则它是一个令人满意的矩阵。或 全套设计加 153893706 8 者说，能得到良好的反演结果。 第一个准则： 其中 为 M 阶单位矩阵。如果有， 1 M AHI M I M AHI 则两端右乘 B 得 M AHBI BB 23.4 将式代入得22.323.4 AXB 23.5 这表明，由模型参量计算值X 得出计算数据与实测数据拟合的好。因而。 AH 与单位矩阵的接近程度是观测值与计算值拟合好坏的一种测量。 第二个准则：，其中为 N 阶单位矩阵。如果有，则 2 N HAI N I N HAI 两端右乘 X 得 N HAXI XX 23.6 因 AX=B，故上式可写为 HBX 又据式，上式可写成22.3 XX 23.7 这表明。反演计算的参数与真解 X 完全一致。由于这时只存在一个解，X 故它是解得唯一性的一种测量。 第三个准则：计算值的方差最小，对于统计上独立的观测 3X var X 数据，计算值X 的方差与观测量 B 的方差的关系为 2 1 varvar M Ki i XHb 23.8 这些是测量反演计算精度的标志。方差越大，反演结果的误差越大。 由这些准则，可以引出一些重要的概念。 全套设计加 153893706 9 1.分辨矩阵 由及可以得到23.3AXB XHBHAX 23.9 定义：为分辨矩阵，故上式可写为：RHAResolutionMatrix XRX 由此可见，分辨矩阵 R 式把真解X 映射到反演计算解X 的一个算子。 计算解X 的任一个元素，可以理解为分辨矩阵 R 的第 K 行元素与真解 X 的KX 宿积。 按照准则 2 可知，若 R 是一个单位矩阵，则X X ，这表明计算值 N I X 与真解X 一致，反演是唯一的。这种情况下我们称为完全分辨。如 R 近 似于一个对角矩阵，则它是近似分辨的，其每一个计算元素实际上是真KX 解附近几个元素的加权和。如 R 与单位矩阵偏离越大，则分辨度越差， K X 或称模糊度越大。 下面讨论分辨矩阵的计算方法。 对一般情况，可对任意矩阵 A 作奇异值分解，相应的广义逆矩阵 T AUSV 为 1T HAVS U 所以 1TT RHAVS UVV 23.10 由于 V 与表示参数反演唯一性的分辨矩阵有关，故矩阵 V 中的向量称为参 数特征向量。 对于反演中最经常出现的超定方程组，即满秩情况 r=Nn。 全套设计加 153893706 16 奇异值分解的第二步就是一个迭代过程。每一次迭代，将不需要的上次对 角元素减小，最后这些元素变得可以和舍入误差相比拟，可以忽略不计。所需 的实际步数决定于矩阵的大小和计算精度。而收敛速度是很快的，因此第二阶 段所需时间通常少于第一阶段的总时间，如果 m 比 n 大得多，尤其明显。因为 第二阶段保留了前 n 以下引入的全部 0. 第二阶段可以说是 QR 算法的变换，由 Francis 大约在 1960 年提出，现已 成为最可靠，应用最广的方法之一。 每个迭代步骤都是从双对角阵开始，只是把它变成比上次对角元素更小数 值的另一个双对角矩阵。此例中，详细检查每一步，忽略 A5 中组后两行 0 元 素，矩阵元素取小数点后五位，不是 3 位。从下矩阵开始 -7.4162032.731690 010.605171.08016 000.00000 用右下角的元素，计算出某一个变换 R1，使得 A5 用代替，则前三 列变成 33.561050.138970 10.35262-2.300621.08016 000.00000 注意到在对角线以下引入一个非元素，为了保持双对角性 质，必须消除它，则构造一个旋转矩阵 1 T ，使的前三列变成 151 TA R 35.561050.545350.31829 02.239371.03216 000.00000 所需元素以出现，但对角线以上又出现了一个非双对角线元素 ，为了消除它，构造另一个旋转矩阵右乘，得 2 R 1512 TA RR 35.121520.631490 02.454310.23717 00.00000.0000 全套设计加 153893706 17 若最后一行 不为，则会在处出现一个非元素，那么就得构造3,33,2 ，左乘，把处元素变为。本例中近似为单位矩阵， 1512 TA RR3,2 作用在最后两行，得以下矩阵 35.121520.631490 02.454310.23771 000.00000 目前又得到一个双对角矩阵，用 R1 对 A5 变换，上次对角线元素由 3273169 减小到 0.13897。 重复此过程，获得一个新的上双对角矩阵，与上一个比较看，对角线元素 略有变化，但上次对角线元素 35.127720.003090 02.465400.00014 000.00000 减小很多。如此重复，上次对角线元素变得更小，整个双对角矩阵变成 35.127720.000020 02.465400.00000 000.00000 对角元素在第六或第七个小数点上才有变化，超过显示范围，最后一个上 次对角元素处于舍入误差的数量级，可以认为是 0，可得到如下对角矩阵 35.1272200 02.465400 000.00000 上矩阵的三个对角元素就是三个奇异值。 上列可以粗略的看出一个 5 行三列的矩阵通过奇异值分解变成对角矩阵 的过程，如果单单求矩阵奇异值是可以了，但对于解方程来说，还需形成奇异 值分解 全套设计加 153893706 18 A T USV 中的正交矩阵 U 和 V。这里 我们直接给出 U 矩阵和 V 矩阵 0.3550.6890.5410.9130.265 0.3990.3760.8020.1130.210 0.4430.0620.1600.5870.656 0.4870.2510.0790.7420.387 U 0.531 0.564 0.180 -0.235 0.559 0.2020.8900.408 0.5170.2570.816 0.8320.3760.408 V 35.12700 02.4650 000.000 S 可以检验 。 T AUSV 2.5 奇异值分解的取解方法 1.1.可行解问题 对于病态方程组， 25.1 AXB 其中 A 为 10 阶希尔伯特矩阵，右端向量： 1,210 ,. T Xx xx 2.929,2.020,1.603,1.347,1.168,1.035,0.931,0.847,0.777,0.718B 采用奇异值分解方法，即 SVD 解线性方程组。由式，令25.122.7 K=1，得第一组解： 1 1.868,1.167,0.846,0.682,0.575,0.498,0.440,0.395,0.359,0.328x 其精确解为各个元素均为 1.0，可是上组解中元素与 1 最接近的也仅仅是 1.137，相对误差到 13.7%，相差最大的元素为 1.868，相对误差高达 86.8%。因 全套设计加 153893706 19 此，这组解是不合理的，将这组解带人中检验：25.1 2 1 0.3001794AXBSum 25.2 也就是说，每个方程左端和右端差值的平方和为 0.300179。只能说 1 x 是线性方程 组的近似解。25.1 再令 K=2,3，.10，可以得到方程组的另外 9 组解，同样用式进25.2 行检验。这 10 组解都是的近似解。采用奇异值分解求线性方程组的解，25.1 得到的是一系列近似解。 下表是 10 组近似解和相应的偏差平方和 表 1 .x. L= 1 SUM= 3.001794E-001 1.868 1.137 0.846 0.682 0.575 0.498 0.440 0.395 0.359 0.328 .x. L= 2 SUM= 3.792656E-004 0.850 1.250 1.219 1.133 1.044 0.963 0.881 0.829 0.774 0.726 .x. L= 3 SUM= 1.469838E-007 1.015 0.923 1.013 1.054 1.059 1.043 1.016 0.985 0.951 0.917 .x. L= 4 SUM= 2.314238E-011 0.999 1.011 0.982 0.992 1.005 1.013 1.013 1.007 0.995 0.980 .x. L= 5 SUM= 1.108447E-012 1.000 0.999 1.004 0.998 0.997 1.000 1.002 1.003 1.001 0.997 .x. L= 6 SUM= 9.166001E-013 1.000 0.998 1.006 0.996 0.996 1.000 1.003 1.004 1.001 0.995 .x. L= 7 SUM= 1.879386E-012 1.000 0.993 1.044 0.907 1.040 1.057 0.999 0.953 0.964 1.042 全套设计加 153893706 20 .x. L= 8 SUM= 3.222311E-012 1.000 0.929 2.211 -5.342 13.350 -3.321 -10.192 5.464 11.702 -5.808 .x. L= 9 SUM= 3.289813E-012 1.000 0.931 2.165 -5.022 12.242 -0.899 -14.012 9.712 8.891 -5.014 .x. L= 10 SUM= 3.367973E-012 1.000 0.926 2.275 -5.857 15.079 -5.387 -11.873 12.348 5.238 -3.754 2.截断法求解 从上表可以看出，在 10 组近似解中，当 L=4,5,6,7 时，得到的四组解中 任一组都可行。其中，L=5 和 6 时，得到的两组解最好，SUM 值分别达到 1.108*10-12 和 9.166*10-13。这两组解中，各元素和精确解 1.000 间的相对误 差均在 1%以下。L=4 和 L=7 这两组解得元素和精确解 1.000 的相对误差也在 5%以 内，就近似解而言，这是可以接受的。L=，L=9，L=10 这三组解，值分 别达到 3.22*10-12, 3.28*10-12，3.36*10-12，但是其中解的元素和精确解 相差甚远，甚至出现负数解，如-14.012。 运用上部分的矩阵奇异值求解我们求出希尔伯特矩阵的 10 的奇异值为 1.75 0.34 3.57*10-2 2.53*10-3 1.28*10-4 4.73*10-6 1.23*10-7 2.94*10-9 2.92*10-9 1.52*10-9。最大的为 1.75，最小的为 1.52*10-9，最 大奇异值与最小奇异值之比高达 10 10 数量级，即的条件数为 10 10 。显而易见条 件数很坏，常规解线性方程组的方法，诸如主元素消去法无能为力了。在用奇 异值分解法求解过程中，要用到 1 12 12 . T T n n ggg PS U BS gS g SSS 25.3 式中。从上式看出，由于奇异值处于分母地位，过于小的奇异值就起 T gU B 到了误差放大的作用。8,9,10 的几组近似解得求解中，要用到 全套设计加 153893706 21 2.94*10-9 ， 9 S 2.92*10-9 ， 10 S 1.52*10-9。这几个奇异值都很小， 1 S 所以借的元素偏离精确解很远。当6 时，求得的近似解按式，22.7 只需用到 S1,S2,S3,.S10 中前 6 个较大的奇异值，得到的近似解救非常准确。 也就是说，如果采用奇异值进行适当截断，舍去截断之后的小奇异值，就能得 到比较好的解，这就是截断法求解的由来跟依据。 对于上列中的病态方程组，当 TS*10-5 作截断标准获得的解最好。当 TS*10-4 或 S*10-6 作为截断标准获得的解也可以使用，最大相对误差在 5%以 内。当 TS*10-7 的前提下，获得的几组近似解在 SUM 极小及其附近的几组 都可利用，但不一定 SUM 极小对应的这组解最优或最合理，有时候，SUM 极 小附近的解最优，由于标准不好控制，但仍可以 SUM 极小作为取解标准。 从大量文献中得到结论，截断标准在 T=S*10-3 至 S*10-7 范围内得到的 近似解比较合理。一般情况下取 S*10-4。 取解方法我们用特征值奇异值方法求解。 根据式，系数矩阵，正交矩阵与奇异值由下列关系式： 2 1.3 *M N A *M N V j S 2 1,2,3. T jjjjj A AVS VVjn j ji VH 式中，为 V 矩阵的第个列向量。为方阵中的第个特征值，为 j V j T A A j S 矩阵的第个奇异值，我们知道，奇异值和特征值之间关系 jj S 由奇异值分解定理，知 T AUSV 所以 1 jj j AV UuAV Ss 所以，求解过程为： 全套设计加 153893706 22 输入系数矩阵，右端向量。 *M N A m B 计算 T A A。 求 T A A特征值和特征向量。 利用 计算 A 矩阵奇异值。 jj S 利用计算 U 矩阵。 1 jj j AV UuAV SS 给出阻尼因子。 利用求解 x，实际计算中，用代替 22 jT j S xVU B S 2 / jj SS 2 / jj SS 。 注意：特征值奇异值法求解过程中用到了系数矩阵和，即， T A T A A 如果，时，条件数为的话，则 T A A的条件数 *M N A A ，即，系数矩阵元素有误差的话，变成后，误差成平方倍 2 GA 增加。从病态角度讲，就是增加了方程的病态程度。这种方法只是简单的方法， 效果不是很好。 结论 23 结 论 该论文讲述利用奇异值分解的方法求解病态线性方程组的有效性，可行性， 低误差性，我们知道病态方程组不能仅仅利用数值分析课本已有的方法是根本 不行的，因为病态方程组左侧的病态矩阵跟普通矩阵的元素扰动太大，单单利 用迭代方法会造成相当大的误差，论文中也利用实例验证了。 该论文只是简单提及利用奇异值分解求解简单病态线性方程组，论文中实 例为 10 阶希尔伯特矩阵的病态方程组，维数太高是我所不能的。而且，论文 最后求解方法中只是简单利用了特征值奇异值方法求解。特征值奇异 值法求解过程中用到了系数矩阵和，即，如果，时，条 T A T A A *M N A 件数为的话，则 T A A的条件数 ，即，系数矩阵元素 A 2 GA 有误差的话，变成后，误差成平方倍增加。从病态角度讲，就是增加了方程 的病态程度。这种方法只是简单的方法，效果不是很好。还有其他比较好的方 法，还有待研究。 利用奇异值分解法求解病态线性方程组能非常有效地提高解的精确度。奇 异值分解法得到的奇异值表示解得同时，必须具有一定的截断标准，没有限制 的话，某些解会加大误差。 参考文献 24 参考文献 1Charles L.L.and Pichard J.H. 1974.Solving Least Square Problems,by Prentice- Hall Inc.Englewood Cliffs,N.J. 2George E.F.Michael A.M.Cleve B.M.1979 Computer Methods For Mathematical Computations by Prentice-Hall,Inc.Englewood Cliffs,N.J. 3Lines,L.R.and Treitel,S.Tutorial :A Review of Least-Squards Inversion And Its Application to Geophysical Problems,Geophysical Prospecting Vol.32 NO.2 4杨篪引 等，1979 电子计算机应用数学 冶金出版社 5蒋尔雄等 等 1979 线性代数 人民教育出版社 6何昌礼 ，奇异值分解在物探中的应用，物化探计算技术，1986，Vol.8 NO.1 致谢 25 致谢 衷心感谢导师张耀明教授对本人的精心指导。他们的言传身教将使我终生 受益。该导师广博的学识和严谨的治学态度将使我受益终生。 感谢信息与计算科学的全体老师和同学多年来的关心和支持！感谢所有 关心和帮助过我的人们！ 附录 26 附录 附录 1.SVD 算法 #include #include #include double pythag(double a,double b) double absa,absb; absa=fabs(a); absb=fabs(b); if(absaabsb) return absa*sqrt(1.0+(absb/absa)*(absb/absa); else return (absb=0.0?0.0:absb*sqrt(1.0+(absa/absb)*(absa/absb); int IMIN(int m,int n