浙江专用2020版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明7.5数学归纳法课件.ppt

7.5数学归纳法,知识梳理,双击自测,1.数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.2.数学归纳法的适用范围数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题,证明时,它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可.,知识梳理,双击自测,3.数学归纳法的框图表示,知识梳理,双击自测,答案,解析,知识梳理,双击自测,2.用数学归纳法证明1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)的过程中,第二步假设当n=k(kN*)时等式成立,则当n=k+1时应得到()A.1+2+22+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+2k+2k+1=2k-1-1+2k+1C.1+2+22+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k,答案,解析,知识梳理,双击自测,3.(教材改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.4,答案,解析,知识梳理,双击自测,n=k+1不等式左边增添的项数是()A.kB.2k-1C.2kD.2k+1,答案,解析,知识梳理,双击自测,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2=,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是.,答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评1.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据.2.当第(1)步验算n=n0时,要观察表达式中能起通项作用的项,把n=n0代入这个通项,就能找到命题的表达式.3.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算n=n0的n0不一定为1,而是根据题目要求选择合适的起始值,第(2)步证明当n=k+1时命题也成立,n的取值不一定就是k+1,而是满足题意的比k大的下一个值.,考点一,考点二,考点三,用数学归纳法证明等式(考点难度)【例1】求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).,证明:(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1),则当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k135(2k-1)(2k+1)2=2k+1135(2k-1)(2k+1),即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对所有nN*都成立.,考点一,考点二,考点三,方法总结1.用数学归纳法证明等式问题,要弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立.一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.3.变形常用的方法:(1)因式分解;(2)添拆项;(3)配方法.,考点一,考点二,考点三,对点训练(2018浙江舟山模拟)已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+an(x-1)n(n2,nN*).(1)当n=5时,求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值.,(1)解:当n=5时,原等式变为(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5.令x=2,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,用数学归纳法证明不等式(考点难度),证明:当n=1时,左边=1,右边=2.左边0,且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nN*).,解:由题意,得Sn=bn+r,当n2时,Sn-1=bn-1+r,所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),由于b0,且b1,所以n2时,数列an是以b为公比的等比数列.,考点一,考点二,考点三,证明:由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(nN*),考点一,考点二,考点三,归纳猜想证明(考点难度),【例3】已知nN*,Sn=(n+1)(n+2)(n+n),Tn=2n13(2n-1).(1)求S1,S2,S3,T1,T2,T3;(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.,解:(1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120.(2)猜想:Sn=Tn(nN*).证明:当n=1时,S1=T1;假设当n=k(k1且kN*)时,Sk=Tk,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),则当n=k+1时,考点一,考点二,考点三,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2),=2k+113(2k-1)(2k+1)=Tk+1,即n=k+1时也成立.由可知nN*,Sn=Tn成立.,方法总结“归纳猜想证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.,考点一,考点二,考点三,由x2x4x6猜想:数列x2n是递减数列.下面用数学归纳法证明:当n=1时,已证命题成立.假设当n=k(k1,kN*)时命题成立,即x2kx2k+2,易知xk0,那么,考点一,考点二,考点三,即x2(k+1)x2(k+1)+2.也就是说,当n=k+1时命题也成立.结合知,对nN*命题成立.,难点突破利用数学归纳法结合放缩法证明不等式问题数学归纳法是一种重要的数学思想方法,只适用于与正整数有关的命题.当要证明的关系式等号或不等号有一边是一个常数时,数学归纳法常常需要结合放缩法才能有效地解决问题.,当nN时,TnM.对任意M(0,6),总存在正整数N,使得nN时,TnM.,答题指导数学归纳法证明过程的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据.第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,当n=k+1时一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑