仿射变换--不变量.doc

第2章 仿射变换第2章 仿射变换2.2 仿射不变性与不变量经过平行射影不改变的性质和数量，称为仿射不变性质和仿射不变量.经过仿射对应它们也是不变的由前面所述，可知同素性、结合性都是仿射不变性质因此，仿射对应把共点的线变成共点的线，把共线的点变成共线的点此外我们还可以证明如下的一些不变性质和不变量定理2.1 二直线间的平行性是仿射不变性质证明 设与是平面内的两条平行线，与是它们在平面内的仿射对应下的象下面证明与平行若与不平行，交于点，那有原象点，在上，又在上，于是与相交于，即与不平行矛盾，于是与平行 a b ab 图2-4由上面的结果可知推论2.2 平行四边形在仿射对应下的象还是平行四边形思考题：正方形在仿射对应下的象是不是正方形？定义2.1 设是直线上三点（见图2-5），有向线段的比,称为这三点的简比（或单比），记为，即. A B C 图2-5显然：当在之间时，,当在之外时，,当时，,当时，定理2.3 共线三点的简比是仿射不变量证明 首先注意到，简比在平行射影下是不变的，(见图2-6).由初等几何这是显然的. 因此，经过有限次平行射影变换也是不变的，即它是仿射不变量图2-6定理2.4 两条平行线段的比是仿射不变量证明 设与是两条平行的线段见图2-7， 过上取，使是平行四边形，它们在仿射对应下的象是与 由上面推论2.2可知，是平行四边形， 平行与，由于简比是仿射 不变量，因此 图2-7定理证毕定理2.5 直线上两条线段的比是仿射不变量证明留做作业注：一般地，任意两直线段之比，不是仿射不变量.下面证明：平面上两个图形的面积之比是仿射不变量.先证明一个引理引理2.6 在平行射影下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数证明 设与，与是两对平行射影对应点，如图2-8， A CBA0b0P g A C0 C0BBAC图2-8 图2-9从而平行于，从这些点到对应轴作垂线，若和平行与对应轴，结论是明显的. 设与交于. 则而 于是从而有（常数）这个比例常数由平行射影确定定理2.7 在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数.换句话讲，任意两个三角形面积之比是仿射不变量证明 先对平行射影证明，然后推广到仿射对应若对应三角形与有两对对应点，与与重合在对应轴上，由第三对对应点与，作的垂线见图2-9. 则，这里表示了三角形的面积，由引理2.6知道，上式右边是一个常数，所以一般情况. 如图2-10所示，与平行射影对应的中，三对对应边相交于对应轴上于三点 C A B Y X Z A B C图2-10由上一步的证明， ，.当与有一对对边平行，且与没有交点时，结论显然还是成立的.上面对平行射影证明了定理2.7，下面就一般的仿射对应证明定理2.7设上三角形经平行射影变到上三角形经到的平行射影变到上，以此类推，上经过到的平行射影变到上三角形由上面证明，每一次投影，有一个面积比较常数，于是所以.若是上另一个三角形，经过变成上三角形，且,故有 证毕推论2.8 任何两个多边形的面积之比是仿射不变量，因此任意两个图形的面积之比是仿射不变量。 练习1、 证明：三角形的重心有仿射不变性2、 证明：平行四边形的中心有仿射不变性3、 证明：梯形在仿射对应下仍为梯形4、 证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量5、 已