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第五章 圆 第五章 圆 圆的性质及与圆有关的位置关系 考点一 圆的有关概念及性质 圆的有关概念 ()三角形的外接圆:三角形的三个顶点确定一个圆,这个 圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心是三角形 三边 垂直平分线 的交点,叫做三角形的 外 心 ()三角形的内切圆:和三角形各边都相切的圆,叫做三角 形的内切圆内切圆的圆心是三角形 三条角平分线 的交点, 叫做三角形的 内 心 圆的有关性质 ()圆是轴对称图形, 经过圆心 的直线都是它的对称轴,圆 有无数条对称轴圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形,即旋转 任意角度都和自身重合 圆心 是对称中心 ()垂径定理(推论) 垂直于弦的直径 平分 这条弦,且平分弦所对的两条弧 平分弦( 不是直径 )的直径垂直于弦,并且平分弦所对 的两条弧如图: 是直径 , ( ( , ( ( , 是直径 , ( ( , ( ( ()圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 ()圆周角定理及其推论 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的 一半 ;直径所对的圆周角是 直角 ,的圆周角 所对的弦是 直径 考点二 与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 如图 ()点在圆外 ,如点 ()点在圆上,如点 ()点在圆内 ,如点 ( 为点到圆心的距离, 为 的半径) 直线与圆的位置关系 ()直线和圆相交(有两个公共点) ()直线和圆 相切 (有且只有一个公共点) ()直线和圆 相离 (没有公共点) ( 为圆心到直线的距离, 为圆的半径) 切线的判定和性质 ()切线的判定:到圆心距离 等于 半径的直线是圆的切 线经过直径外端并且 垂直 于这条直径的直线是圆的切线 ()切线的性质:圆的切线 垂直 于经过切点的直径 年中考 年模拟 方法一 圆中两条重要定理的应用 圆周角定理及垂径定理和它们各自的推论,在解决圆的 相关问题时应用较多,多用于角、线段的求解 圆中常用辅助线的作法: 常用辅助线的作法图示关系式所用知识点 遇到 弦时 添加弦心距,再 连接过弦的端点 的半径 , 垂径定理, 勾股定理 连接圆心和弦的 两个端点,构成 等腰三角形 等边对等角 连接圆周上一 点和弦的两个 端点 圆周角定理 遇到 直径时 作直径所对的 圆周角 , 若遇到圆周角等于 ,则连接 角两边与圆的两交点的线段(即 直径)必过圆心 圆 周 角 定 理,勾股 定理 例 ( 安徽马鞍山当涂四模)如图, 的直径 ,则 的长度为( ) 解析 由圆周角定理可得, 又 为 的直径,所以, 所以,可得 , 由勾股定理可得 答案 方法指导 圆的基本性质应用歌: 圆的问题不算难,常把半径直径连; 有弦可作弦心距,它定垂直平分弦; 直径是圆最大弦,直圆周角立上边; 直径垂直平分弦,垂径相似在心间; 圆周角、圆心角,细找关系把线连; 同弧圆周角相等,证题用它最多见 变式训练 ( 湖南长沙, 分)如图,在 中,弦 ,圆心 到 的距离 ,则 的半径长为 答案 解析 由题意得 , , 在 中, 的半径长为 方法指导 由垂径定理可得出,半径、弦的一半、弦心距 可以组成一个直角三角形,当题中没有这种直角三角形时,应通 过圆心作弦的垂线和连接圆心与弦的端点构造出直角三角形, 再用勾股定理解题 方法二 三角形的外接圆与内切圆 解决这类题常抓住三角形外接圆的性质(三角形的外心到 三角形三个顶点的距离相等)以及三角形内接圆的性质(三角形 的内心到三角形三边的距离相等)同时灵活运用解直角三角形、 相似以及全等知识解答问题 例 ( 安徽, 分)如图,点 是等边三角形 外接圆 上的点在以下判断中,不正确的是( ) 当弦 最长时, 是等腰三角形 当 是等腰三角形时, 当 时, 当时, 是直角三角形 解析 项: 弦 是 的直径时最长,此时 , , 是等腰三角形,故 本选项正确; 项:若点 与点 不重合, 当 是等腰三角形时, , 是 的直径,又 且 , ,即 ,若点 与点 重合, 由于 是等边三角形, ,即 , 故本选项正确; 项:当点 与点 重合时满足 ,但此时 ,故本选项错误; 项:当时,则 或, 一定是直角三角形,故本选项正确故选 答案 点评 本题主要考查等边三角形和圆的有关

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