2019年中考数学复习第八章专题拓展8.2观察归纳型（讲解部分）素材.pdf

第八章 专题拓展 观察归纳型 题型特点 根据已有的图形与数字提供的信息或解题模式，通过观 察、实验、归纳、类比等直观地发现事物的共同特征，或者发现变 化的趋势，据此去猜想一般性的结论，并对所作出的猜想进行 验证 考查的形式分为三类：（）数式的规律探索问题；（）几何 图形中的规律探索问题；（）点的坐标的规律探索问题 命题趋势 主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在联 系，考查学生的逻辑推理能力，试题形式多样 题型一 数式的规律探究题 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其 中蕴含的规律一般思路是先写出数式的基本结构，然后通过横 比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等 式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的 格式 解数字或数式规律探索题的方法： 第一步：标序号； 第二步：找规律，分别比较各部分与序号数（，） 之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来； 第三步：根据找出的规律表示出第 个数式 几个常用的数字归纳： （）正整数：，第 个数为 ； 正偶数：，第 个数为 ； 正奇数：，第 个数为 （），第 个数为 ； ，第 个数为 ； ，第 个数为 （） （）正整数和：（） （）； 正奇数和：（）； 正偶数和：（）（） 例 （ 南宁， 分）观察下列等式： 第 层 第 层 第 层 第 层 在上述数字宝塔中，从上往下数， 在第 层 解析 因为每层的第一个数都是层数的平方，所以第 层的第一个数是 ，第 层的第一个数是 ， 因为 ，所以 在第 层 答案 例 （ 山东泰安， 分）下面每个表格中的四个数 都是按相同规律填写的： 根据此规律确定 的值为（ ） 解析 本题中给出四个表格，每个表格都分成左上、左 下、右上、右下四个小格，每个小格中都有一个数其中，左上小格 内的数字恰好是表格的序数 ；左下小格内的数字都比左上小格 内的数字大 ，即（）；右上小格内的数字是左下小格内的数 字的 倍，即 （） ；右下小格内的数字等于左下、右上 小格内的数字的积与左上小格内的数字的和，即（）（） ，所以由所求的表格中的右上小格内的数字是 ， 可得 ，解得 ，所以 答案 例 （ 湖南郴州， 分）请观察下列等式的规律： ()， ()， ()， ()， 则 解析 原式 () () () () () () 答案 好题精练 （ 贺州， 分）观察下列等式： ， ， ， ，解答下面问题： 的末位数字是（ ） 答案 ， ， ， ， ， ， ， 可知它们的末位数字以 ， 为一循环，原式 （ ） 因为 ，所以 的末位数字是 ，则 的末 年中考 年模拟 位数字是 ，故选 （ 山东东营， 分）在求 的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加 数的 倍，于是她假设： ， 然后在式的两边都乘 ，得 ， 得 ，即 ， 所以 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“”换成字母 （ 且 ），能否求出 的值？ 如能求 出，其正确答案是 答案 解析 设 ， 则 ， 得（） （ 甘肃武威， 分）古希腊数学家把数 ， ，叫做三角形数，其中 是第 个三角形数， 是第 个三 角形数， 是第 个三角形数，依此类推，那么第 个三 角形数是 ， 是第 个三角形数 答案 ； 解析 第 个三角形数是 ，第 个三角形数是 ，第 个 三角形数是 ，第 个三角形数是 ，第 个三角形数是 ，当 时，（） ，解得 （ 黔东南州， 分）将全体正整数排成一个三角形数阵， 根据上述排列规律，数阵中第 行从左至右的第 个数是 答案 解析 由排列的规律可得，第（）行结束时排了 （）个数 所以第 行从左向右的第 个数为 （） 当 时， 故答案为 （ 山东济宁， 分）若 ； （）（） ； （）（）（） ； 则（）（）（）（） （ ） 答案 （）（） 解析 （）（）； （）（） （）（ ）； （）（）（） （）（）； （）（）（）（） （ ） （）（） 故答案为（）（） （ 福建， 分）小明在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， 据此，小明猜想：对于任意锐角 ，均有 （） （）当 时，验证 （） 是否成立； （）小明的猜想是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，请 举出一个反例 解析 （）当 时，（） () 所以，当 时，（） 成立 （）小明的猜想成立证明如下： 如图， 中， 设，则 （） () () （ 云南， 分）观察下列各个等式的规律： 第一个等式： ， 第二个等式： ， 第三个等式： ， 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： （）直接写出第四个等式； （）猜想第 个等式（用含 的代数式表示），并证明你猜想的 等式是正确的 解析 （）第四个等式为 （）第 个等式为（） 证明：左边 ， 所以左边右边，所以等式成立 题型二 几何图形中的规律探究题 图形规律问题主要是观察图形的组成、拆分等过程中的特 点，分析其联系和区别，用相应的式子描述图形的变化所反映的 规律 例 （ 梧州， 分）如图是由等圆组成的一组图， 第个图由 个圆组成，第个图由 个圆组成，第个图由 个圆组成，按此规律排列下去，则第个图由 个 圆组成 第八章 专题拓展 解析 由题意可知第个图由 （）个圆 组成， 第个图由 个圆组成 答案 方法技巧 第个图由 个圆组成，第个图由 个圆组 成，第个图由 个圆组成， ； ；， 第 个图由（）个圆组成 例 （ 钦州， 分）如图，以点 为位似中心，将边 长为 的正方形 依次作位似变换，经第一次变化后得正 方形 ，其边长 缩小为 的 ，经第二次变化后得 正方形 ，其边长 缩小为 的 ，经第三次变化后 得正方形 ，其边长 缩小为 的 ，按此规 律，经第 次变化后，所得正方形 的边长为正方形 边长的倒数，则 解析 依题意，知 ， () ， () ， () ， () () ， () () 解得 答案 例 （ 山东潍坊， 分）如图，正 的边长为 ，以 边上的高 为边作正， 与公 共部分的面积记为 ；再以正边 上的高 为边 作正，与公共部分的面积记为 ； ，以此类推，则 （用含 的式子表示） 解析 等边三角形 的边长为 ， ， ， 根据勾股定理得 ， ， 易得 ， ； 为等边三角形， ， 易得 ， ， () ； 依此类推， () 故答案为 () 答案 () 好题精练 （ 重庆， 分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一 定规律所组成的，其中第个图形中一共有 个小圆圈，第 个图形中一共有 个小圆圈，第个图形中一共有 个小圆 圈，按此规律排列下去，第个图形中小圆圈的个数为 （ ） 答案 通过观察，第 个图形中小圆圈的个数为 （） ，第个图形中小圆圈的个数为（） ，第个图形中小圆圈的个数为（） ，第个 图形中小圆圈的个数为（） ，以此类推，第个图 形中 小 圆 圈 的 个 数 为 （）（） ， 当 时， （）（） ，故第个图形中小圆圈的个数为 故选 （ 崇左， 分）下列图形是将正三角形按一定规律排列 的，则第 个图形中所有正三角形的个数为（ ） 答案 第一个图形中正三角形的个数为 ，第二个图形 中正三角形的个数为 ，第三个图形中正三角形的个 数为 ，故第四个图形中正三角形的个数为 年中考 年模拟 ，故选 （ 山西， 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边 长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规 律，第 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有 的代数式表示） 答案 （） 解析 第 个图案，阴影正方形有 （）个， 第 个图案，阴影正方形有 （）个， 第 个图案，阴影正方形有 （）个， 故第 个图案，阴影正方形有（）个 （ 钦州， 分）如图， ，作边长为 的正六 边形 ，边 、分别在射线 、 上，边 所在的直线分别交 、 于点 、，以 为边作 正六边形 ，边 所在的直线分别交 、 于点 、，以 为边作正六边形 ，依 此规律，经第 次作图后，点 到 的距离是 答案 解析 连接 ，由正六边形的性质可知 ，在 中，可得 ，由题意知 ，以此类推， ，故 （ 山西， 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边 长相同的正方形和正三角形镶嵌而成第（）个图案有 个三 角形，第（）个图案有 个三角形，第（）个图案有 个三角 形，依此规律，第 个图案有 个三角形（用含 的代数式表示） 答案 （） 解析 通过观察发现： 图案 序号 三角形 的个数 解法一解法二 （） （） （） （） （）个 （） 个 （ 四川内江， 分）如图是由火柴棒搭成的几何图案， 则第 个图案中有 根火柴棒（用含 的代数式表示） 答案 （） 解析 依题意得 时，火柴棒有 （）根； 时，火柴棒有 （）根； 时，火柴棒有 （）根； 时，火柴棒有 （）根 （ 桂林， 分）如图是一个点阵，从上往下有无数多行， 其中第一行有 个点，第二行有 个点，第三行有 个点，第 四行有 个点，按此规律，第 行有 个点 答案 解析 ， ， ， ， 第 行点的个数为 方法技巧 寻找规律性试题，要从特殊的入手，寻找他们之 间的关系和变化，再总结出符合所有项数的通式 题型三 点的坐标变化规律探究题 图形在直角坐标系中的变化而引起点的坐标的变化，解决 此类型题应先分析图形的变化规律，求出一些点的坐标，再结合 点在直角坐标系中的位置变化找出坐标的变化规律，仿照猜想 数式规律的方法得到最终结论 例 （ 河南， 分）如图所示，在平面直角坐标系 中，半径均为 个单位长度的半圆 ，组成一条平滑 的曲线点 从原点 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 秒时，点 的坐标是（ ） （ ，）（ ，） （ ，）（ ，） 解析 半圆的半径 ， 一个半圆的弧长为 ， 又 每两个半圆为一个循环， 一个循环内点 运动的路程为 ()， 点 位于第 个循环的第 二个半圆弧的中点位置（即第 个半圆弧的中点），此时点 的横坐标为 ，纵坐标为， 第 秒时，点 的坐标为（ ，）故选 答案 例 （ 山东威海， 分）如图，点 的坐标为（， ），在 轴的正半轴上，且 过点 作 ，垂足为 ，交 轴于点 ；过点 作 ，垂足为 ，交 轴于点 ；过点 作 ，垂足为 ，交 轴于点 ；过点 作 ，垂足为 ，交 轴于点 ；，按此 规律进行下去，则点 的纵坐标为 第八章 专题拓展 解析 （，），（，（ ） ）， （ ） ，）， （， （ ），（ ） ，）， 在 轴负半轴上，在 轴的正半轴上，在 轴的正半轴上，在 轴的负半轴上， （ ） ，其中 为正整数， ， 在 轴 的负半轴上，纵坐标为（ ） ，故答案为（ ） 答案 （ ） 例 （ 四川甘孜州， 分）如图，正方形 ， ，（每个正方形从第三象限的顶点开 始，按顺时针方向，依次记为 ，；，；， ，；）的中心均在坐标原点，各边均与 轴或 轴平行， 若它们的边长依次是 ，则顶点 的坐标为 解析 ，再结合题图中所给各顶点在平面直角坐 标系中的位置特点知，顶点 在第四象限 由题意可知 所在正方形的边长为 ， 顶点 的坐标为（，） 答案 （，） 评析 坐标变化规律探究题是近几年中考的热点题型， 出现的频率很高解这类问题的关键是根据循环规律来确定点的 位置本题根据规律先找出顶点 所在的象限，再求出它的 坐标 好题精练 （ 广东梅州， 分） 如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到的位置，点 、 分别落 在点 、处，点 在 轴上，再将绕点 顺时针 旋转到的位置，点 在 轴上，将绕点 顺时针旋转到的位置，点 在 轴上，依次进 行下去若点 ， ()，（，），则点 的坐标为 答案 （ ，） 解析 由题图可知点 在第一象限， ， ， ， () ，易得 （，），（，），（，）， （ ，） （ 梧州， 分）如图，在坐标轴上取点 （，），作 轴 的垂线与直线 交于点 ，作等腰直角三角形 ；又 过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，作等腰三角形 ；，如此反复作等腰直角三角形，当作到 （ 为正 整数）点时，的坐标是 答案 （，） 解析 由题意知 （，），即 （，）， （，），即 （，），即 （，）， （，），即 （，），即 （，）， （，），即 （，），即 （，）， 故 （ ，）， 故答案为（ ，） （ 山东德州， 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ，过点（，）作 轴的垂 线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， ，依次进行下去，则点 的坐标为 答案 （ ， ） 解析 观察题图易得 （，），（，），（，）， （，），（，），第奇数个点落在直线 上，且横 坐标依次为 ，纵坐标依次为 ， （） ，（）（ 为自然数） ， 的坐标为（） ，（） ） （ ， ） （ 山东聊城， 分）如图，在平面直角坐标系中，边长为 的正方形 的两边在坐标轴上，以它的对角线 为 边作正方形 ，再以正方形 的对角线 为 边 作 正 方 形 ， ， 以 此 类 推， 则 正 方 形 的顶点 的坐标是 答案 （ ） ，）或写成（ ，） 解析 由已知得 （，），（，），（，），（，）， （，），（，），（，），（，）， ，故 在 轴 正 半 轴 上， 其 横 坐 标 为