2019年中考数学第三章函数3.1函数及其图象（讲解部分）素材.pdf

第三章 函 数 第三章 函 数 函数及其图象 考点一 平面直角坐标系 各象限点的坐标的符号特征 第一象限： （，） ；第二象限： （，） ； 第三象限： （，） ；第四象限： （，） 坐标轴上点的坐标特征 轴上的点 纵坐标为 ； 轴上的点 横坐标为 ；原点 的坐标为 （，） 在象限角平分线上的点的坐标特征 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标 相等 ； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标 互为相反数 点 （，）关于 轴对称的点的坐标为 （，） ，点 （，）关于 轴对称的点的坐标为 （，） ，点 （，）关于 原点对称的点的坐标为 （，） 考点二 函数及其图象 函数的定义 一般地，某一变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 在某一范围内的每一个值， 都有唯一确定的值与它对应，那 么就说 是 的函数，其中 是自变量如果当 时，那 么 叫做当自变量的值为 时的函数值 理解函数的概念时，应注意： （）在某一变化过程中，有两个 变量 和 ； （） 的值随 值的变化而变化； （）对于 的每一个值， 都有 唯一确定的值与它对应 函数的三种表示方法 解析法、 图象法 和列表法 画函数图象的步骤 列表、 描点 、连线 已知函数解析式，判断点 （，）是否在函数图象上的方法： 若点 （，）的坐标适合函数解析式，则点（，）在其图象上；若点 （，）的坐标不适合函数解析式，则点（，）不在其图象上 线段中点坐标 在平面直角坐标系中，已知 （，）、（，），试求线段 中点 的坐标 解析 在下图中，过 作 轴于 ，过 作 轴 于 ， 则四边形 是直角梯形 再作它的中位线 ，则 ， ， 轴 ， ， ， ，解得 ，同理可得， 线段 中点 的坐标为 ， () 方法一 直角坐标系中点的坐标特征的应用 各象限点的坐标符号：第一象限的点的横、纵坐标皆为正 数，即（，）；第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即 （，）；第三象限的点的横、纵坐标皆为负数，即（，）；第四象 限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，即（，） 例 如果点 在第二象限， 到 轴的距离是 ，到 轴的 距离是 ，那么点 的坐标为（ ） （，）（，） （，）（，） 解析 点 到 轴的距离是其横坐标的绝对值，即 ；点 到 轴的距离是其纵坐标的绝对值，即 因为点 在第二象限，所以 ，所以点 的坐标为（，）故 选 答案 年中考 年模拟 变式训练 如图，阴影部分组成的图案既是关于 轴对称 的图形，又是关于坐标原点 中心对称的图形若点 的坐标是 （，），则点 和点 的坐标分别为（ ） （，），（，）（，），（，） （，），（，）（，），（，） 答案 解析 点 与点 关于 轴对称， （，） 点 与点 关于 轴对称， （，）故选 方法二 利用函数图象正确描述实际问题的方法 对已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实 际问题，要清楚图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的 单位，图象的变化趋势等，从而表达出所反映的实际意义 例 （ 广西南宁， 分）“黄金 号”玉米种子的价 格为 元 千克，如果一次购买 千克以上的种子，超过 千克部 分的种子的价格打 折，设购买种子数量为 千克，付款金额为 元，则 与 的函数关系的图象大致是（ ） 解析 一次购买种子 千克以内，每千克 元，在图象上 为从原点出发的一条线段；超过 千克部分的种子的价格打 折，即每千克 元，与前一段比较变化幅度变小，即比前一段图 象的倾斜程度小，显然符合条件的图象只有 故选 答案 变式训练 图是公交公司某条公交线路上的收支差额 （即票价总收入减去运营成本）与乘客量 之间的函数图象 目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会 乘客代表认为：公交公司应改善管理，降低运营成本，以此 实现扭亏 公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，应适当提 高票价才能扭亏 根据这两种意见，可以把图分别改画成图和图 （）说明图中点 、点 的实际意义 （）你认为图和图两个图象中，反映乘客意见的是 图 ，反映公交公司意见的是图 （）如果公交公司采用适当提高票价，同时采用减少成本的 办法实现扭亏，请你在图中画出符合这种办法的 与 之间函 数关系的大致图象 解析 （）点 表示公交公司的该条公交线路的运营成 本为 万元 点 表示当乘客量为 万人时，公交公司的该条公交线路 收支恰好平衡 （）； （）把原射线按逆时针旋转一个适当的角度，再略往上平移 即可得到，如图所示（若点 沿 轴平移至 轴或 轴上方则 不给分） 方法三 运用函数的图象特征解决实际问题的方法 由函数图象的定义可知图象上任意一点 （，）中的坐标 值 是解析式方程的一个解，以解析式方程的任意一解为横坐 标的点一定在函数的图象上 注意方程与函数的结合，抓住方程（方程的解） 点的 坐标 函数图象与性质这个网，综合数学知识，用数形结合法 来解题 例 （ 重庆 卷， 分）、 两地之间的路程为 米，甲、乙两人分别从 、 两地出发，相向而行已知甲先 出发 分钟后，乙才出发，他们两人在 、 之间的 地相遇，相 遇后，甲立即返回 地，乙继续向 地前行甲到达 地时停止行 走，乙到达 地时也停止行走在整个行走过程中，甲、乙两人均 保持各自的速度匀速行走甲、乙两人相距的路程 （米）与甲出 发的时间 （分钟）之间的关系如图所示，则乙到达 地时，甲与 地相距的路程是 米 解析 由图象可得甲的速度为（ ） 米 分， 乙的速度为（ ）（） 米 分， 则乙从 到 地用的时间为 分钟， 他们相遇的时间为 （） 分钟， 第三章 函 数 甲从开始到相遇走了 （） 米， 甲从相遇至乙到达 地这段时间又走了 （） 米， 所以，乙到达 地时，甲与 地相距的路程是 米 答案 变式训练 小明早晨从家里出发匀速步行去上学，在小明 出发 分钟后，小明的妈妈发现小明的数学课本没带，于是她 带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小 明同时到达学校，已知小明在整个上学途中，他所在的位置与家 的距离 （千米）与小明出发后的时间 （分钟）之间函数关系的 图象如图中的折线段 所示 （）试求折线段 所对应的函数关系式； （）请解释图中线段 的实际意义； （）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她 所在的位置与家的距离 （千米）与小明出发后的时间 （分钟）之间 函数关系的图象（请对所画图象中的数据作适当的解释） 解析 （）线段 对应的函数关系式为 （ ）；线段 对应的函数关系式为 （） （）图中线段 的实际意义：小明出发 分钟后，沿着以 他家为圆心