2019年中考数学复习第八章热点题型探究8.2观察归纳型（讲解部分）素材.pdf

第八章 热点题型探究 观察归纳型 题型特点 根据已有的图形与数字提供的信息或解题模式，通过观 察、实验、归纳、类比等直观地发现事物的共同特征，或者发现变 化的趋势，据此去猜想一般性的结论，并对所作出的猜想进行 验证 考查的形式分为三类：（）数式的规律探索问题；（）几何 图形中的规律探索问题；（）点的坐标的规律探索问题 命题趋势 主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在联 系，考查学生的逻辑推理能力，试题形式多样 题型一 数式的规律探究题 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其 中蕴含的规律一般思路是先写出数式的基本结构，然后通过横 比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等 式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的 格式 解数字或数式规律探索题的方法 第一步：标序号； 第二步：找规律，分别比较各部分与序号数（，） 之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来； 第三步：根据找出的规律表示出第 个数式 几个常用的数字归纳 （）正整数：，第 个数为 ； 正偶数：，第 个数为 ； 正奇数：，第 个数为 （），第 个数为 ； ，第 个数为 ； ，第 个数为 （） （）正整数和：（） （）； 正奇数和：（）； 正偶数和：（）（） 例 （ 安徽合肥包河一模，）观察下列等式： ， ， ， ， （）按此规律完成第 个等式：（ ） （ ）（ ）； （）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明 其正确性 解析 （） ； ； （） （） 证明：右边 （） （） （） ， 左边右边，即 （） 思路分析 （）根据所给式子发现规律，即可得解；（）由 （）的规律可得第 个式子为 （），利用分式的加 减进行计算，即可得证 例 （ 安徽， 分）按一定规律排列的一列数：， ，若 、 表示这列数中的连续三个数，猜测 、 满足的关系式是 解析 ， ， ， ， 、 满足的关系式是 答案 （只要关系式对前六项是成立的即可） 例 （ 广西南宁， 分）观察下列等式： 第 层 第 层 第 层 第 层 在上述数字宝塔中，从上往下数， 在第 层 解析 因为每层的第一个数都是层数的平方，所以第 层的第一个数是 ，第 层的第一个数是 ， 因为 ，所以 在第 层 答案 好题精练 （ 山东枣庄， 分）一列数 ，满足条件： ， （，且 为整数），则 答案 解析 由题意得 ， ， ， （） ， 每 个数为一个循环， ， （ 山东东营， 分）在求 的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加 数的 倍，于是她假设： ， 然后在式的两边都乘 ，得 ， 得 ，即 ， 所以 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“”换成字母 （ 且 ），能否求出 的值？ 如能求 出，其正确答案是 答案 年中考 年模拟 解析 设 ， 则 ， 得（） （ 甘肃武威， 分）古希腊数学家把数 ， ，叫做三角形数，其中 是第 个三角形数， 是第 个三 角形数， 是第 个三角形数，依此类推，那么第 个三 角形数是 ， 是第 个三角形数 答案 ； 解析 第 个三角形数是 ，第 个三角形数是 ，第 个 三角形数是 ，第 个三角形数是 ，第 个三角形数是 ，当 时，（） ，解得 （ 贵州黔东南州， 分）将全体正整数排成一个三角形 数阵，根据上述排列规律，数阵中第 行从左至右的第 个数是 答案 解析 由排列的规律可得，第（）行结束时排了 （）个数 所以第 行从左向右的第 个数为 （） 当 时， 故答案为 （ 安徽， 分）观察下列关于自然数的等式： 根据上述规律解决下列问题： （）完成第四个等式：（ ） （ ）； （）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并验证其 正确性 解析 （）；（ 分） （）第 个等式为（） 左边右边， 第 个等式成立 （ 分） 题型二 几何图形中的规律探究题 图形规律问题主要是观察图形的组成、拆分等过程中的特 点，分析其联系和区别，用相应的式子描述图形的变化所反映的 规律 例 （ 四川内江， 分）如图是由火柴棒搭成的几 何图案，则第 个图案中有 根火柴棒（用含 的代数 式表示） 解析 依题意得 时，火柴棒有 （）根； 时，火柴棒有 （）根； 时，火柴棒有 （）根； 时，火柴棒有 （）根 答案 （） 例 （ 山东潍坊， 分）如图，正 的边长为 ，以 边上的高 为边作正， 与公 共部分的面积记为 ；再以正边 上的高 为边 作正，与公共部分的面积记为 ； ，以此类推，则 （用含 的式子表示） 解析 等边三角形 的边长为 ， ， ， 根据勾股定理得 ， ， 易得 ， ； 为等边三角形， ， 易得 ， ， () ； 依此类推， () 故答案为 () 答案 () 好题精练 （ 广西崇左， 分）下列图形是将正三角形按一定规律 排列的，则第 个图形中所有正三角形的个数为（ ） 答案 第一个图形中正三角形的个数为 ，第二个图形 中正三角形的个数为 ，第三个图形中正三角形的个 数为 ，故第四个图形中正三角形的个数为 ，故选 （ 山西， 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边 长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规 第八章 热点题型探究 律，第 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有 的代数式表示） 答案 （） 解析 第 个图案，阴影正方形有 （）个， 第 个图案，阴影正方形有 （）个， 第 个图案，阴影正方形有 （）个， 故第 个图案，阴影正方形有（）个 评析 本题考查学生探索规律的能力 （ 山西， 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边 长相同的正方形和正三角形镶嵌而成第（）个图案有 个三 角形，第（）个图案有 个三角形，第（）个图案有 个三角 形，依此规律，第 个图案有 个三角形（用含 的代数式表示） 答案 （） 解析 通过观察发现： 图案 序号 三角形 的个数 解法一解法二 （） （） （） （） （）个 （） 个 （ 安徽， 分）我们把正六边形的顶点及其对称中心称 作如图（）所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有 个 特征点将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的 一边重合，这样得到图（），图（）， （）观察以上图形并完成下表： 图形的名称基本图的个数特征点的个数 图（） 图（） 图（） 图（） 猜想：在图（）中，特征点的个数为 （用 表示）； （）如图，将图（）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的 对称中心 的坐标为 （，）， 则 ； 图 （ ）的对称中心的横坐标为 图（） 解析 （）；（ 分） （） ； （ 分） 题型三 点坐标变化的规律探究题 点坐标变化规律探究题有两种考查形式：一种是点坐标变 换在同一象限的递推变化；另一种是点坐标变换在坐标轴上或 象限内的循环递推变化，解决这类题的方法如下： （）根据图形中点坐标的变换特点判断出属于哪一类； （）根据图形的变换规律分别求出第 个点、第 个点、第 个点、第 个点的坐标，归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之 间存在的倍分关系； （）第一类确定点坐标的方法：根据（）中得到的倍分关 系，得到第 个点坐标；第二类确定点坐标的方法：先观察点坐 标变换的规律是按顺时针循环还是按逆时针循环，然后找出循 环一周的变换次数，记为 ，用 （），则第 次变换后的点坐标所在的坐标轴或象限与每个循环中第 次变 换的点坐标所在的坐标轴或象限与每个循环中第 次变换的点 坐标所在的坐标轴或象限相同，根据（）中得到的倍分关系，得 到第 个点坐标 例 （ 河南， 分）如图所示，在平面直角坐标系 中，半径均为 个单位长度的半圆 ，组成一条平滑 的曲线点 从原点 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 秒时，点 的坐标是（ ） （ ，）（ ，） （ ，）（ ，） 解析 半圆的半径 ， 一个半圆的弧长为 ， 又 每两个半圆为一个循环， 一个循环内点 运动的路程为 ()， 点 位于第 个循环的第 二个半圆弧的中点位置（即第 个半圆弧的中点），此时点 的横坐标为 ，纵坐标为， 第 秒时，点 的坐标为（ ，）故选 答案 例 （ 山东威海， 分）如图，点 的坐标为（， ），在 轴的正半轴上，且 过点 作 ，垂足为 ，交 轴于点 ；过点 作 ，垂足为 ，交 轴于点 ；过点 作 ，垂足为 ，交 轴于点 ；过点 作 ，垂足为 ，交 轴于点 ；，按此 规律进行下去，则点 的纵坐标为 年中考 年模拟 解析 （，），（，（ ） ）， （ ） ，）， （， （ ），（ ） ，）， 在 轴负半轴上，在 轴的正半轴上，在 轴的正半轴上，在 轴的负半轴上， （ ） ，其中 为正整数， ， 在 轴 的负半轴上，纵坐标为（ ） ，故答案为（ ） 答案 （ ） 好题精练 （ 广东梅州， 分） 如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到的位置，点 、 分别落 在点 、处，点 在 轴上，再将绕点 顺时针 旋转到的位置，点 在 轴上，将绕点 顺时针旋转到的位置，点 在 轴上，依次进 行下去若点 ， ()，（，），则点 的坐标为 答案 （ ，） 解析 由题图可知点 在第一象限， ， ， ， () ，易得 （，），（，），（，）， （ ，） （ 山东德州， 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ，过点（，）作 轴的垂 线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， ，依次进行下去，则点 的坐标为 答案 （ ， ） 解析 观察题图易得 （，），（，），（，）， （，），（，），第奇数个点落在直线 上，且横 坐标依次为 ，纵坐标依次为 ， （） ，（）（ 为自然数） ， 的坐标为（） ，（） ） （ ， ） （ 山东聊城， 分）如图，在平面直角坐标系中，边长为 的正方形 的两边在坐标轴上，以它的对角线 为 边作正方形 ，再以正方形 的对角线 为 边 作 正 方 形 ， ， 以 此 类 推， 则 正 方 形 的顶点 的坐标是 答案 （ ） ，）或写成（ ，） 解析 由已知得 （，），（，），（，），（，）， （，），（，），（，），（，）， ，故 在 轴 正 半 轴 上， 其 横 坐 标 为 ， 所 以 （ ，） （ 浙江衢州， 分）已知，正六边形 在直角坐 标系内的位置如图所示，（，），点 在原点，把正六边形 沿 轴正半轴做无滑动的连续翻转，每次翻转 ，经 过 次翻转之后，点 的对应点 的坐标是 答案 （ ， ） 解析 正六边形 沿 轴正半轴做无滑动的连续 翻转，每次翻转 ， 每 次翻转为一个循环， ， 第 次翻转为第 个循环的第 次翻转，点 的位置 如图， （，）， ， 翻转前进的距离为 ， 过点 作 轴于 ，则， ， ， ， 点 的坐标为（ ， ） 故答案为（ ， ） （ 四川成都， 分） 已知菱形 的边长为 ， ，对角线 ，相