2019年中考数学第六章空间与图形6.1图形的轴对称、平移与旋转（讲解部分）素材.pdf

第六章 图形与变换 第六章 图形与变换 图形的轴对称、平移与旋转 考点一 图形的轴对称 轴对称图形和轴对称 （）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折的 两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条 直线称为对称轴对称轴一定为直线 基本图形中的轴对称图形有线段、角、等腰三角形、等边三 角形、矩形、菱形、正方形、圆等 （）轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它 能与另一个图形重合，那么称这两个图形成 轴对称 两个图 形中的对应点（两个图形重合时互相重合的点）叫对称点 轴对称图形的性质 （）对应线段相等，对应角相等；对应点的连线被对称 轴 垂直平分 （）轴对称变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变 图形的位置新旧图形具有对称性 （）成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线若相 交，则交点在 对称轴 上 考点二 图形的平移 定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距 离，这样的图形运动称为平移 特征：（）平移后，对应线段相等且平行对应点所连的线 段平行（或在同一直线上）且相等 （）平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行（或在同 一直线上），方向相同 （）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置平 移后新旧两图形全等 考点三 图形的旋转 中心对称和中心对称图形 （）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能 与另一个图形重合， 那么这两个图形成中心对称， 该点叫 做 对称中心 （）中心对称图形：一个图形绕着某一点旋转 后能与自 身重合，这种图形叫中心对称图形，该点叫对称中心 （）性质：在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段 都经过 对称中心 且被对称中心平分 图形的旋转 （）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋 转一个角度，这样的图形运动称为旋转这个定点称为旋转中心， 转动的角度称为旋转角 （）特征：图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心 沿相同方向转动了相同角度；注意每一对对应点与旋转中心的 连线所成的角都是旋转角，旋转角都相等；对应点到旋转中心的 距离相等 方法一 利用轴对称的概念及性质解题的方法 图形的对称是中考试题的重要考点，常见的图形如：线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆都是轴对称图形，识别图 形是不是轴对称图形，需要观察图形是否由这几种常见图形组 合而成利用轴对称的性质解题的常见题型有：镜面问题，最短路 径问题，折叠问题理解轴对称的性质，利用相似三角形，勾股定 理以及方程思想的应用是解题关键 例 （ 广西贵港， 分）已知，在 中， ， ， 是 边上的一个动点，将 沿 所在直线折叠，使点 落在点 处 （）如图 ，若点 是 中点，连接 写出 ， 的长； 求证：四边形 是平行四边形； （）如图 ，若 ，过点 作 交 的延长线 于点 ，求 的长 解析 （）在 中， ， ， 年中考 年模拟 ， ， 由翻折可知， 证明： 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形 （）如图，作 于 ， 于 ，连接 ，延长 交 于 设 ，则 ， 在 中， ， （） ， ， ， ， 在 中， ， 由，可得 ， ， ， ， 由，可得 ， ， ， ， 易证四边形 是矩形， 思路分析 （） 分别在 ， 中，求出 、 即可；先证出 ，即可证明四边形 是平行四边形 （）作 于 ， 于 ，连接 ，延长 交 于 设 ，则在 中，列方程求得 ，推出 ，由，可得 ，由此求出 ，由 ，可得 ，由此求出 ，可得 ，再根据四边形 是矩形，即可求出 解题关键 本题是轴对称的综合题，考查轴对称的性质， 勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形解决问 题，属于难题 变式训练 （ 山东济宁， 分）实验探究： （）如图 ，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折 痕 ，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折 痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ，请你观察图 ， 猜想 的度数是多少，并证明你的结论； （）将图 中的三角形纸片 剪下，如图 折叠该纸片， 探究 与 的数量关系写出折叠方案，并结合方案证明你 的结论 解析 （）猜想： 理由：如图 中，连接 ， 直线 是 的垂直平分线， 由折叠可知， ， 是等边三角形， ， （）结论： 折纸方案：如图 中，折叠，使得点 落在 上 处，折痕为 ，连接 理由：由折叠可知， ， ， ， ， ， ， 方法二 用旋转的性质解探究类问题的方法 旋转变换是全等变换的一种，可以等量转移图形的相关量， 将一些分散的条件集中，构造全等三角形来研究图形中线段或 角的关系与旋转有关的题目还常以直角三角形、等腰三角形、正 方形等图形为背景，结合三角函数、勾股定理、相似进行考查探 究旋转过程中由特殊到一般的图形的变化，理解旋转的性质，才 能把握题目变化中的不变量，从而解决问题 例 （ 山东烟台， 分）【操作发现】 （）如图 ， 为等边三角形，先将三角板中的 角与 重合，再将三角板绕点 按顺时针方向旋转（旋转角大于 第六章 图形与变换 且小于 ），旋转后三角板的一直角边与 交于点 ，在三 角板斜边上取一点 ，使 ，线段 上取点 ，使 ，连接 ， 求 的度数； 与 相等吗？ 请说明理由； 【类比探究】 （）如图 ， 为等腰直角三角形， ，先将三 角板的 角与 重合，再将三角板绕点 按顺时针方向旋 转（旋转角大于 且小于 ），旋转后三角板的一直角边与 交于点 ，在三角板另一直角边上取一点 ，使 ，线段 上取点 ，使，连接 ，请直接写出探究结果： 的度数； 线段 ， 之间的数量关系 解析 （） 是等边三角形， ， ， 在 和 中， ， ， ， （）， ， 理由如下： ， 在 和 中， ， ， ， （） （）； 提示： 是等腰直角三角形， ， ， 在 和 中， ， ， ， （）， ， ，理由如下： ， 在 和 中， ， ， ， （）， 在 中， ， 又 ， 思路分析 （）根据 ，等边三角形的 性质以及旋转的性质得出的条件，可以证明 和 ，可以求得结论； （）由等腰直角三角形的性质及旋转的性质，类比（）解题 过程，可以求得结论 变式训练 （ 湖北武汉， 分）如图，在 中， ，点 ， 都在边 上， 若 ，则 的长为 答案 解析 如图，将 沿 翻折得，连接 ， ， ， ， 又， ， ， （）， ， 过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 设 ，