高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理学案新人教A版.docx

三圆的切线的性质及判定定理学习目标1.理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.2.能归纳并正确表示由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理.知识链接1.根据直线与圆公共点的个数，说明它们有怎样的位置关系？提示直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.2.下列关于切线的说法中，正确的有哪些？(1)与圆有公共点的直线是圆的切线；(2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线；(3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(4)过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.提示(3)(4)正确.预习导引1.切线的性质定理文字语言圆的切线垂直于经过切点的半径符号语言直线l与圆O相切于点A，则OAl图形语言作用证明两条直线垂直2.性质定理推论1文字语言经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点符号语言直线l与圆O相切于点A，过点O作直线ml，则Am图形语言作用证明点在直线上3.性质定理推论2文字语言经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心符号语言直线l与圆O相切于点A，过点A作直线ml，则Om图形语言作用证明点在直线上4.切线的判定定理文字语言经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线符号语言OA是圆O的半径，直线lOA，且Al，则l是圆O的切线图形语言作用证明直线与圆相切要点一切线的性质例1如图所示，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DAB，ADCD.(1)求证：OCAD；(2)若AD2，AC，求AB的长.(1)证明如图所示，连接BC.CD为O的切线，OCCD.又ADCD，OCAD.(2)解AC平分DAB，DACCAB.AB为O的直径，ACB90.又ADCD，ADC90，ADCACB.，AC2ADAB.AD2，AC，AB.规律方法1.本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD、AC与AB之间关系的.2.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线.从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.跟踪演练1如图所示，C90，点O在AC上，CD为O的直径，O切AB于E，若BC5，AC12，求O的半径.解连接OE.AB与O切于点E，OEAB，即OEA90.C90，AA，RtACBRtAEO，.BC5，AC12，AB13，OE.要点二圆的切线的判定例2已知：AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，过点A作ADOC，交O于点D.求证：DC是O的切线.证明如图，连接OD，设OAD1，ODA2，BOC3，COD4.OAOD，12.ADOC，13，24.1234.又OBOD，34，OCOC.OBCODC，OBCODC.BC是O的切线，OBC90.ODC90，即ODCD.DC是O的切线.规律方法判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.跟踪演练2如图所示，在ABC中，已知ABAC，以AB为直径的O交BC于D，DEAC，垂足为E.求证：DE是O的切线.证明连接OD和AD.AB是O的直径，ADBC，又ABAC，BDCD，又AOBO，ODAC.DEAC，ODDE，DE是O的切线.要点三圆的切线的判定与性质定理的综合应用例3如图所示，正方形ABCD是O的内接正方形，延长BA到E，使AEAB，连接ED.(1)求证：直线ED是O的切线.(2)连接EO交AD于点F，求证：EF2FO.证明(1)如图所示，连接OD.四边形ABCD为正方形，AEAB，AEABAD，EADDAB90.EDA45，又ODA45.ODEADEODA90.直线ED是O的切线.(2)如图所示，作OMAB于M.O为正方形ABCD的中心，M为AB的中点.AEAB2AM，又AFOM，2，EF2FO.规律方法对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果.跟踪演练3已知：如图，A是O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OCBC，ACOB.(1)求证：AB为O的切线；(2)若ACD45，OC2，求弦CD的长.(1)证明如图，连接OA，OCBC，ACOB，OCBCCAOA，ACO为正三角形，O60，B30，OAB90，AB为O的切线.(2)解ACD45，RtACE中，AEEC，又ACO为正三角形，AEECAC，又CDAOC30，在RtAED中，DEAE，CDCEDE.1.圆的切线的判定方法有(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.2.圆的切线的性质与判定的综合运用在解决有关圆的切线问题，添加辅助线有以下规律：(1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线.(2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”.1.(2016石家庄模拟)如图所示，直线l与O相切于点A，B是l上任一点(与点A不重合)，则OAB是()A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形解析l与O相切，lOA.OAAB.OAB90，OAB是直角三角形.答案C2.已知AB是O的切线，下列给出的条件中，能判定ABCD的是()A.AB与O相切于直线CD上的点CB.CD经过圆心OC.CD是直线D.AB与O相切于点C，CD过圆心O解析由图可知，根据选项A，B，C中的条件都不能判定ABCD；因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确(如图).答案D3.如图所示，DB，DC是O的两条切线，A是圆上一点，已知D46，则A_.解析如图所示，连接OB，OC，则OBBD，OCCD，故DBODCO9090180，则四边形OBDC内接于一个圆.则有BOC180D18046134，所以ABOC13467.答案67一、基础达标1.下列说法中正确的个数是()过圆心且垂直于切线的直线必过切点；过切点且垂直于切线的直线必过圆心；过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点.A.2 B.3 C.4 D.5解析由切线的判定及性质定理知：正确，不正确，过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线或直径.答案B2.如图所示，O是正ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则EPF等于()A.120 B.90C.60 D.30解析如图所示，连接OE，OF.OEAB，OFBC，BEOBFO90.EOFABC180.EOF120.EPFEOF60.答案C3.如图，在O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若ADDC，则sinACO等于()A.B.C.D.解析连接BD，作OEAC于E.BC切O于B，ABBC，AB为直径，BDAC，ADDC，BABC，A45，设O的半径为R，OCR.OER，sinACO.答案A4.如图，在矩形ABCD中，AB5，BC12，O1和O2分别是ABC和ADC的内切圆，则|O1O2|_.解析设O1和O2的半径均为r，则SABCABBCr(ABBCAC).512r(512).r2.|O1O2|.答案5.如图，在RtABC中，C90，AC3 cm，BC4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若AB与圆相切，则r_.解析过C作CDAB，垂足为D，在RtABC中，AB5，CDABACBC，CD2.4 cm，AB与圆相切，rCD2.4 cm.答案2.4 cm6.如图，OAB是等腰三角形，AOB120.以O为圆心，OA为半径作圆.(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.证明(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60，在RtAOE中，OEAO，即O到直线AB的距离等于O的半径，所以直线AB与O相切.(2)因为OA2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.同理可证，OOCD，所以ABCD.二、能力提升7.如图所示，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BCAD于点C，AB2，半圆O的半径为2，则BC的长为()A.2 B.1C.1.5 D.0.5解析连接OD，AD切O于D，ODAD，又BCAD，ODBC，DOACBA，BC1.答案B8.如图所示，CD是O的直径，AE切O于B，DC的延长线交AB于A，A20，则DBE_.解析连接OB，则OBAB，AOB90A70，BOD180AOB110，又OBOD，OBD(180BOD)35，DBE90OBD55.答案559.如图所示，AC切O于D，AO的延长线交O于B，且ABBC，若ADAC12，则AOOB_.解析如图所示，连接OD，则ODAC.AC是O的切线，OBOD，OCOC，ODCOBC90.CDOCBO.BCDC.，ADDC.BCAC.又OBBC，ABC90，A30.OBODAO.答案2110.如图，AB是O的直径，BAC30，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECFE.求证：CF是O的切线.证明连接OC，AB是O的直径.ACB90，BAC30，ABC60，又OBOC，OCBOBC60.在RtEMB中，EMBE90，E30.EECF，ECF30，ECFOCB90，又ECFOCBOCF180，OCF90，CF为O的切线.11.如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB于E，POCPCE.(1)求证：PC是O的切线；(2)若OEEA12，PA6，求O半径.(1)证明在OCP与CEP中，POCPCE，OPCCPE，OCPCEP.CDAB，CEP90，OCP90.又C点在圆上，PC是O的切线.(2)解设OEx，则EA2x，OCOA3x.COEAOC，OECOCP90，OCEOPC，.即(3x)2x(3x6)，x1，OA3x3，即圆的半径为3.三、探究与创新12.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且E