毕业设计（论文）-利用MATLAB对不同海拔中空气浓度的模拟.docx

学科分类号（二级）14025本科生毕业论文（设计）题目 利用MATLAB对不同海拔中空气浓度 的模拟 姓名 学号 院、系 专业 物理学 毕业时间 20年7月1日 指导教师 职称（学历/学位） 副教授（博士研究生/硕士） 云南师范大学教务处制填 表 说 明1指导教师意见由指导教师填写；2开题小组意见由开题指导小组负责人填写；3其余由学生在指导教师指导下填写；4此表供学院参考使用，各学院可根据各自学科专业的学术规范作适当调整。利用MATLAB对不同海拔中空气浓度的模拟 摘要：本文先对MATLAB的实用性进行简单的介绍，同时对大气的结构进行分析，并分析空气分子的组成，温度变化梯度，以及实际的空气的运动的过程，说明理想与实际模拟的误差来源。再结合真实的气体压强的分布规律，画出相应的气体压强分布变化规律。同时与多种模型进行对比，分析相应的误差来源，最后得出空气中的气体分子的热传递是一个多方过程，从而得出气体的压强分随高度分布的变化规律，进行误差来源的分析，并和实际比较，说明与实际的误差来源。关键词：MATLAB空气浓度；玻尔兹曼能量分布；空气压强1 MATLAB对不同海拔中压强模拟1.1 大气结构围绕在地球表面的一层空气层，由于重力作用大气分布不均匀，地表比较浓密 ，而离地面距离越远空气越稀疏。根据高度的不同把大气层分为几个层来研究：1） 靠近地球表面的层叫做对流层，这层占据空气质量的四分之三，这层收地面的热量的影响起伏不定，出于复杂的运动中，不但有水平方向的运动，又有竖直方向的运动，导致该层的空气的密度，压强，温度等处于不断的变化之中，随着高度的变化而减少，而对流层大概11km左右 。2） 高度在11-24km范围内由于没有空气的竖直移动所以该范围内的大气层叫做平流层，这层的特点是温度不会发生变化 ，平均温度为216.5K。3） 高度为24-85km之间的大气层叫做中间大气层，这一层气温大气变化比较剧烈，先随着高度的增加而增大，后随着高度的增加而减少。4） 85-800km之间叫做电离层，此层空气电离，可以反射电磁波 ，空气稀疏，对太阳光的作用较强，导致温度随着高度的增加而增加，气温迅速的增加。5） 过了800km空气极其稀疏。 由于人类主要活动在对流层，所以本文主要利用MATLAB模拟对流层的粒子浓度的变化趋势。由于这种模拟的复杂性，我们对大气进行标准化，即采用国际标准大气压。 国际为了方便处理飞机的飞行器的飞行数据，所以国际航空界规定了一种国际标准大气，国际标准大气主要是按照不同的纬度地区季节的平均值来估定的。描述如下：1）空气看成是完全气体；2）大气的相对湿度为零；3）以海平面作为高度计算的起点有：,；4）标准大气的温度和垂直温度梯度：在30km以下，根据温度高度变化规律，取温度为T为位势高度H的线性函数，即 （1）其中和 表示对应层的温度和位势高度，表示垂直温度梯度9。表1 温度与高度之间的关系位势高度温度温度温度梯度-5.00320.65047.500-6.500.00288.15015.000-6.5011.00216.650-56.5000.0020.00216.650-56.500+1.0030.00223.650-46.500 从表1可以看出，在对流层中，温度在11km之下时候，大气温度随着高度的增加而降低，每上升1km温度下降大约6.5K所以可以知道=6.5高度位在11-20km的平流层中，温度基本不变，均为216.650K。但是当高度超过20km以后，温度略有回升9-11。1.2 MATLAB的简介 MATLAB是一种高效的编程语言，有高效的数值计算和符号计算功能，能解决繁杂的计算过程，还具备很强的图像处理能力，实现计算结果和编程的可视化。由于在处理函数的图像方面有杰出的能力，这为用户提供大量方便实用的处理工具1。玻尔兹曼能量分布是大学物理中的一个重要的知识点，描述的是粒子 在场中的概率分布，地球的空气在重力场的作用，在理想的情况下我们可以近似的可以看成符合玻尔兹曼分布，而MATLAB强大的计算功能和图形绘制使得我们能模拟空气中的粒子分布和压强，使得分布更加直观，同时也为大学物理的可视化研究提供帮助。1.3 MATLAB对空气的模拟 空气中的浓度变化对我们生活的影响很大，不同的高度有不同的压强，研究空气的浓度变化在我们生活中成为一个很有必要的问题2-4。在测量不同的海拔的空气的浓度时候我们可以在实地通过仪器来测量，这是非常方便的，但是测量时候需要特定的海拔环境，这使得这个测量成为一个难点。但是我们可以通过软件模拟来探究随着海拔的升高的玻尔兹曼分布空气浓度的变化，这不但省去了很多必要的条件5。玻尔兹曼在对热力学第二定律在统计方面的阐述和说明和麦克斯韦分布规律的基础上提出了玻尔兹曼分布规律。描述的是理想气体分子在外力场中的一个分布规律。玻尔兹曼分布实用于处于平衡状态下的理想粒子的分布规律，对于任意微粒在任意场中的分布规律也遵循玻尔兹曼分布。所以我们可以通过粒子的玻尔兹曼分布导出粒子的分布规律。先通过玻尔兹曼对粒子的分布进行计算并用MATLAB进行模拟分析，再通过对粒子的分布进行模拟对比，并和实际的数据进行对比，得出相应的误差分析，但是实际的气体分布并非理想的气体，所以我们需要对这些模型和数据进行对比。2 理想气体的分布规律2.1 在有场的条件下的分布规律 在热力学微观模型中，理想气体分子只是参与分子之间和分子和容器壁之间的碰撞，而不考虑其他相互作用，即不考虑分子力，也不考虑外场对分子的作用力。这时气体分子只有动能而没有势能，并且在空间各处密度相同，麦克斯韦分布正是描述这种情况。而玻尔兹曼在麦克斯韦速率分布规律的条件下推广到气体分子在任意场中的运动情况。因为在麦克斯韦分布中，能量只考虑动能，而不考虑外力场产生的能量分布对速率的影响，而玻尔兹曼分布则认为能量应该是动能和外力场势能的和。由于势能大小随着位置的变化而变化，所以分子的分布将出现不均匀，所以我们考虑分子是考虑了两组变量，即速率和空间位置。之后玻尔兹曼所做的计算表明：当气体处于平衡态时，在一定温度下，在速度分量间隔和坐标分量间隔内的分子数为 （2）按照玻尔兹曼分布规律其中有E=EP+EK，而表示为玻尔兹曼常数，T表示温度，m表示气体的分子质量 ，而n0表示在E=0处单位体积内各速率分子的分子总数，这个公式叫做玻尔兹曼分布。从表达式可以看出，单位体积的分子总数大致指数式的正比于e-e/kT由于是随着位置的变化而变化的，表明分子占据低能级的状态。在考虑归一化条件下，我们可以把玻尔兹曼分布写成这在任意势场中都成立11。2.2 重力场的粒子按照高度的分布 重力场中粒子由于温度而无规则的运动，当平衡时在空间做无规则运动气体分子，由于受到重力，使得空气分子在空间是非均匀分布，从玻尔兹曼分布我们可以得知：气体分子随着势能增大而逐渐减少。根据玻尔兹曼分布，如果取z=0点的重力势能为零的话，设该位置单位体积的分子数为n0，则体积元上含有的分子数为即单位体积内的分子数则有来确定而压强与p和相应的n成正比。这表明在重力场中粒子数随着高度的增加而减小，随着温度的增加而增大5。根据上式我们可以用MATLAB模拟出相应的粒子分布规律：clear allclose allhold ong=9.8; 重力常数k=1.38*exp(-23); 玻尔兹曼常数m0=1.66*exp(-27); 原子的质量m=20,28,32; 氩氮氧的原子序数name=氩氮氧; 名字len=length(m); 计算长度zm=40000; 海拔的最高点z=0:0.05:zm; 海拔的取值范围x=rand(size(z); 任意取一高度 n0=rand(size(z); 任意一个高度t=300; 温度为300Kfs=8; 字体大小Figurefor i=1:len n=exp(-m(i)*m0*g*z/k/t); l=n0n; subplot(1,len,i),plot(x(l),z(l),.)； grid on； xlabel(name(i),气,FontSize,fs)；end 相应的粒子选取循环subplot(1,len,1),ylabel(hightitzrm/m,FonttSize,fs) 画相应的图表subplot(1,len,2),tit=重力场中气体分子按高度的分布; 标题title(tit,(气体温度:,num2str(t),K),FontSize,fs) 我们可以通过粒子在场中的分布规律，知道对于空气中的粒子，随高度的变化趋势，即根据玻尔兹曼分布我们知道粒子的分布大致是随着高度的增加，粒子的浓度减少。从模拟的图中我们可以看到这个规律：图1 粒子浓度随高度的变化趋势（图中的点的浓度代表粒子的浓度） 从图中我们可以看出粒子数在垂直高度上的分布随着高度的增加，导致粒子的数目减少，而不同的粒子分布也不一样，质量越大的粒子随着高度增加粒子数目的变化率越大，以上是对于理想的静态的气体的一个分布规律，但是真实的粒子的分布不再是这个规律，因为真实的大气的是个混合物不能当做一种气体来计算，并且随高度的变化，会有相应的温度变化梯度，同时真实的气体并非是静止的，即真实的气体又存在着一定的运动，这使得我们要模拟的不同海拔中的高度的变化带来了一定的难点，我们可以根据不同模型下的模拟和实际的对比得出相应的分布规律。 3 真实的大气组成与分布3.1 空气中的粒子的组成成分 干燥的空气中各组分成分中气体的体积分数大约是：氮气78.084%，氧气20.948%，氩气0.934%，二氧化碳0.033%，其他气体0.03%。并且在通常情况下，空气中各组分保持相对稳定。但是由于空气含有水分，以及一些固体杂质，是一个随着环境变化的一个微小的参量，所以本文不考虑，只考虑在理想的气体中空气的组成以及总的气体的浓度的变化模拟。（水汽占大气中的比例很小，仅0.1%-3%所以水汽的影响我们可以考虑不计）因为空气在零海拔处密度为空气中的相对分子质量空气，所以我们可以求出相应的压强为p=101325pa。 下表给出了空气中各种气体的摩尔质量和相对原子质量的数值9:表2 不同气体的分子质量与摩尔质量气体种类摩尔质量（g/mol）分子质量m()氮气284.65氧气325.31水181.99二氧化碳447.31氩406.59 通过表2结合气体的分布我们可以计算出相对应的粒子分布的规律，以及可以算出海拔为零时候气体的粒子数的变化趋势，以及总的气体粒子数随着高度的变化趋势。3.2 真实的气体的分布规律 首先对不同海拔中的粒子的修正由于空气由于大气是个混合物是多种气体的混合体所以实际的气体浓度是多种气体的浓度的加权平均数，也就是对应的压强的分布的加权平均数，其次大气的运动以及复杂的吸热放热等过程也是一个考虑的点。 结合对于实际的气体分布，我们可以先根据标准大气的模式给出的部分数值，来画出相应的平流层的气体压强的真实分布分布规律10:几何高度（m）压强(hpa)重力加速度(m/s2)01013.259.80661500845.559.80203000701.089.79745500505.069.78977000410.609.78519000307.429.778911000226.329.7727表3 高度与压强和重力加速度之间的关系根据表3我们可以用MATLAB来模拟出真实的气体分布，具体的操作如下： clear allclose allx2=0 1.5 3 5.5 7 9 11 相应的高度分布y2=1013.25 845.55 701.08 505.06 410.60 307.42 226.32 对应的压强a=polyfit(x2,y2,3) 三次多项式拟合曲线plot(x2,y2,linewidth,3) 画图图2 真实气体的压强分布示意图 图上我们可以看出气体的压强随和高度的增高而逐渐的减少，而且高度越高变化的速率越快。4 对空气模拟的几种模型对比4.1 绝热模型但是真实的气体的压强分布，我们可以用流体静力学知识和完全气体的状态方程可以计算出大气压强随着和大气密度随着高度的变化规律。可得在立体空间内部某点压强随着高度H的变化关系再用物态方程同除两边，我们可以得出将带入上式可以得出积分后有 当时，有即有带入上式则有 (4) 根据MATLAB 模拟相关以上的压强变化规律我们可以得出相应的图像：clear all close all 清除所有g=9.8; 重力常数R=8.31; 气体普适常数x1=0:0.1:11; 对应的高度取值y1=101325*(1-6.5*x1/288.15).(g/6.5*R);x2=0 15 3 5.5 7 9 11 高度取值范围y2=1013.25 845.55 701.08 505.06 410.60 307.42 226.32 高度对应的压强a=polyfit(x1,y1,3) 多项式拟合plot(x1,y1,*,x2,y2,-) 得出的曲线分布图3 绝热模型与实际的对比 从图上我们可以看出气体压强的分布和实际的分布之间存在着很大的差距，也就是说真实的粒子不符合准静态绝热的过程。4.2 粒子的玻尔兹曼分布模型 从上文的论述中我们可以发现，等温模型下的粒子是符合玻尔兹曼分布的，但是真实的气体分布存在垂直递减率，结合这个我们可以画出相关的压强随高度变化的规律。但是空气中的气体是个混合物，所以我们要考虑粒子组成这个问题如果我们考虑粒子的组成问题上，再考虑温度变化梯度，结合粒子的玻尔兹曼分布我们也可以画出相应的分布规律。用MATLAB来画考虑了粒子组成的压强分布的编程：clear allclose allhold on 画表格k=1.38*10(-23); 玻尔兹曼常数g=9.8 重力常数m1=5.31*10(-26) 氧气分子的质量m2=4.65*10(-26) 氮气分子的质量m3=7.31*10(-26) 二氧化碳分子的质量m4=6.59*10(-26) 水蒸气分子的质量x1=0:100:11000; 高度变化y1=1013.25*(0.21*exp(-m1*g*x1./(k*(288.15-9.8*x1*0.001)+0.78*exp(-m2*g*x1./(k*(288.15-9.8*x1*0.001)+0.01*exp(-m4*g*x1./(k*(288.15-9.8*x1*0.001); x2=0 1500 3000 5500 7000 9000 11000 高度变化y2=1013.25 845.55 701.08 505.06 410.60 307.42 226.32实际的压强分布a=polyfit(x1,y1,3) 三次多项式拟合plot(x1,y1,*,x2,y2,-,linewidth,3) 画图图4 理想气体与实际气体的比较 从图上我们可以看出，粒子的分布和真实的分布之间还是存在着一定的差异，我们知道空气中含有水分，一般空气中的水分的数值在0.1%-3%之间，如果我们考虑空气中的水汽的分布，话相关的图像：clear allclose allk=1.38*10(-23); 玻尔兹曼常数g=9.8 重力常数m1=5.31*10(-26) 氧气分子的质量m2=4.65*10(-26) 氮气分子的质量m3=7.31*10(-26) 二氧化碳分子的质量m4=6.49*10(-26) 水蒸气分子的质量x1=0:100:11000; 高度变化y1=1013.25*0.97*(0.2315*exp(-m1*g*x1./(k*(288.15-6.5*x1*0.001)+0.7552*exp(-m2*g*x1./(k*(288.15-6.5*x1*0.001)+0.0128*exp(-m3*g*x1./(k*(288.15-6.5*x1*0.001)+1013.25*0.03*exp(-m4*g*x1./(k*(288.15-6.5*x1*0.001);x2=0 1500 3000 5500 7000 9000 11000 高度变化y2=1013.25 845.55 701.08 505.06 410.60 307.42 226.32 压强变化a=polyfit(x1,y1,3) 三次多项式拟合plot(x1,y1,*,x2,y2,-,linewidth,3); 画图图5 气体压强随高度的变化 从图上我们可以看出气体压强的分布和实际的分布之间存在着很大的差距，也就是说真实的粒子不符合玻尔兹曼分布的过程。4.3 粒子的多方过程从上面的分析可以知道，空气中的粒子分布符合玻尔兹曼分布，而且不同的粒子由于分布产生不同的压强分布，从以上的图像可以看出，理论与实际之间存在一定的误差，由对流层的变化复杂 ，空气中的粒子在高处和低处之间不断的发生对流，但是空气的压强随高度升高而降低，空气上升时候膨胀，而在下降时候压缩，由空气的导热率很小，这个膨胀和和压缩过程在热力学书上看成是绝热过程，由于对流有一定的热量交换和太阳和地面对大气有热量提供，所以这个过程不是绝热过程，而是一个介于绝热和等温过程的一个多方过程。由于空气可以看成是双原子气体，所以多方指数n应该是位于1到1.4之间的一个值，这个数值可以由温度梯度来确定13。在考虑大气压与高度之间的关系时候，我们可以认为大气过程是一个准静态的过程。假设气体密度为及压强是P，他们都是高度和温度和函数。有流体力学可以知道该气体上下压力之差等于自身的重量，既可以得到方程 把空气看成是理想气体，大气运动过程看成是多方过程，现设多方指数为n对上用复合函数求导可以得出，（6）根据热力学多方过程可以知道 （7）对上进行偏导可以得到 （8）由物态方程可以知道有 （9）则有 （10）说明大气的温度梯度与高度无关，为一个常数，从标准大气的温度梯度变化规律可以知道，温度梯度为一个常数，在平流层内，温度梯度为一个常数这个值带入上式，以及和,带入上式可以知道n=1.235。从n=1.235我们可以得知，大气运动过程是一个介于等温和绝热过程之间的一个多方过程：对（10）积分可以得到 （11）在海平面上则可以求出上式可以写成 （12）由于（5）和物态方程可以消去密度并带入上式可以知道 （13）对上式积分之后可以得到 （14）通过假设令海平面上Z=0大气压强则可以确定相应的积分常数 （15）带入上式可以知道大气压强和高度之间的关系 （16）将相关的常数带入上式可以得出气体的压强分布方程 （17）对这个用MATLAB 拟合并和实际的进行对比 ：clear allclose allhold onh=0:100:10000 高度变化p=1013.25*(1-h*2.252*10(-5).(5.264) 对应的压强变化曲线分布x2=0 1500 3000 5500 7000 9000 11000 高度变化y2=1013.25 845.55 701.08 505.06 410.60 307.42 226.32 压强变化a=polyfit(x2,y2,3) 多项式拟合plot(h,p,*,x2,y2,-,linewidth,3) 画图从而我们可以看出相关的图像对比画出对应的图像：图6 实际与多方过程的模拟对比 从图片我们可以知道这个与实际之间的误差非常小，最大误差为0.2，而在高度较低时候基本吻合，所以空气中的气体分布我们可以看成是多方过程。符合的分布规律，这点在图像中我们可以看出符和的非常好。5 总结从上面的图像可以看出,在对流层内气体分布不遵循玻尔兹曼分布，也不遵循准静态绝热过程，而是遵循n=1.235的多方过程，这过程很好的符合了实际的大气分布。通过图像，我们可以看出随着海拔的升高压强是逐渐减少的，用MATLAB模拟可以很好的解决了实际测量的复杂性，通过图形直观的形象的描绘。但是由于这里考虑的标准大气情况下的压强分布由于实际粒子之间的自由程都非常接近所以我们可以近似的把压强变化等效于粒子的浓度变化，其次文中未考虑粒子的种类，但是基本能解决教学教育时候的分析，和实际生活的运用。参考文献：1Philipp berens. 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