江苏专用2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第3讲利用导数研究函数的最(极)值课件.ppt

第3讲利用导数研究函数的最(极)值,考试要求1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(A级要求)；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求).,知识梳理,1.函数的极值若在函数yf(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有_，则称函数yf(x)在点xx0处取得极大值，记作y极大值_；若在x0附近的所有点x，都有_，则称函数yf(x)在点xx0处取得极小值，记作y极小值_.,f(x)f(x0),f(x0),2.求函数极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的所有实数根；(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化，若f(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点.,3.函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有f(x)_，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax_；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有f(x)_，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin_.4.求函数yf(x)在区间a，b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间a，b上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.,f(x0),f(x0),f(x0),f(x0),诊断自测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)函数的极大值不一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故(1)错误，(3)对可导函数f(x)，f(x)0是x0为极值点的必要条件.答案(1)(2)(3)(4),2.函数f(x)x33x22在区间1，1上的最大值是_.解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1，0)上是增函数，f(x)在(0，1上是减函数.f(x)maxf(x)极大值f(0)2.答案2,其中，既是奇函数又存在极值的是_(填序号).解析由题意可知，中的函数不是奇函数，中函数yx3单调递增(无极值)，中的函数既为奇函数又存在极值.答案,4.(2018全国卷改编)函数yx4x22的图象大致为_(填序号).,答案,5.(2018江苏卷)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为_.,答案3,考点一利用导数研究函数的极值角度1求函数的极值,设函数g(x)f(x)(xa)cosxsinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解因为g(x)f(x)(xa)cosxsinx，所以g(x)f(x)cosx(xa)sinxcosxx(xa)(xa)sinx(xa)(xsinx)，令h(x)xsinx，则h(x)1cosx0，所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)0，所以，当x0时，h(x)0；当x0，g(x)单调递增.所以当xa时，g(x)取到极大值，,当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.,当a0时，g(x)x(xsinx)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；,综上所述：,当a0时，函数g(x)在(，)上单调递增，无极值；,【例12】已知函数f(x)ax2axxlnx，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(e1)e2.所以e20时，设函数g(x)exkx，x0，)，因为g(x)exkexelnk，当00，yg(x)单调递增.故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，lnk)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增.,所以函数yg(x)的最小值为g(lnk)k(1lnk).函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点,规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.(3)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.应注意导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.,【训练1】设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围.解(1)因为f(x)ax2(3a1)x3a2ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex.f(2)(2a1)e2.,(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.,当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值.若a1，则当x(0，1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1，).,考点二利用导数求函数的最值,(1)当a4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1，4上的最小值为8，求a的值.,综上有，a10.,规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,(1)解f(x)的定义域为(，2)(2，).,且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)单调递增.因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.,由(1)知，f(x)a单调递增，对任意a0，1)，f(0)aa1xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增.,所以，由xa(0，2，,考点三由函数极值、最值解决恒成立问题,【例3】已知函数f(x)ex(exa)a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0得xlna.当x(，lna)时，f(x)0.故f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增.,(2)若a0，则f