湖南省张家界市民族中学2019届高三数学上学期第二次月考习题理.docx

张家界市民族中学2018年下学期高三第二次月考理科数学试题时量：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，“AB” 是“sin Asin B”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知sin，则sin()等于()A B C D3已知平面向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，且(ab)(2ab)，则实数的值为()A7 B3 C2 D34已知奇函数f(x)在R上是增函数若af(log2)，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()AabcBbac Ccba Dca1f(x)，f(0)0，f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex1(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(，1)(0，) B(0，) C(，0)(1，) D(1，)11若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0，1时，f(x)x，则函数yf(x)lg|x|的零点个数是()A多于20 B20 C18 D1012如果函数f(x)在区间a，b上存在x1，x2(ax1x2b)，满足f(x1)，f(x2)，则称函数f(x)是区间a，b上的“双中值函数”已知函数f(x)x3x2a是区间0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围为 ()A. B. C(0,1) D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13若函数的值域为，则实数的取值范围是_14写出数列，-1,11，-111,1111，-11111，的一个通项公式_15设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于_16已知函数f(x)则函数g(x)f(f(x)的零点个数是_三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60方向10 km处(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短18(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：空气质量指数空气质量等级级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率（）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；（）该校年月、日将作为高考考场，若这两天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望19、(本小题满分12分)已知点F为椭圆E：1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围20、(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD平面SBC，SBSC，M是BC的中点，AB1，BC2.(1)求证：AMSD；(2)若二面角BSAM的正弦值为，求四棱锥SABCD的体积21、(本小题满分12分)已知函数f(x)(2a)ln x2ax.(1)当a2时，求函数f(x)的极值；(2)当aB” 是“sin Asin B”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知sin，则sin()等于()A B C D3已知平面向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，且(ab)(2ab)，则实数的值为()A7 B3 C2 D34已知奇函数f(x)在R上是增函数若af(log2)，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()AabcBbac Ccba Dca1f(x)，f(0)0，f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex1(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(，1)(0，) B(0，) C(，0)(1，) D(1，)11若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0，1时，f(x)x，则函数yf(x)lg|x|的零点个数是()A多于20 B20 C18 D1012如果函数f(x)在区间a，b上存在x1，x2(ax1x2b)，满足f(x1)，f(x2)，则称函数f(x)是区间a，b上的“双中值函数”已知函数f(x)x3x2a是区间0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围为 ()A. B. C(0,1) D.选择答案：CDDCB BBCCB CA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若函数的值域为，则实数的取值范围是_14写出数列，-1,11，-111,1111，-11111，的一个通项公式_15设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于_16已知函数f(x)则函数g(x)f(f(x)的零点个数是_三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60方向10 km处(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短解：(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120，根据余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 120621022610196，所以AB14.故集镇A，B间的距离为14 km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切设切点为C，连接OC(图略)，则OCMN.设OMx，ONy，MNc，在OMN中，由MNOCOMONsin 120，得3cxysin 120，即xy2c，由余弦定理，得c2x2y22xycos 120x2y2xy3xy，所以c26c，解得c6，当且仅当xy6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.18(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：空气质量指数空气质量等级级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率（）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；（）该校年月、日将作为高考考场，若这两天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望（）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为（天） - 4分（）由题可知，的所有可能取值为：， - 6分则： ， 的分布列为- 10分（元）- 12分19、(本小题满分12分)已知点F为椭圆E：1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解：(1)由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由，得x22x43c20.因为直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，所以44(43c2)0c21，所以椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M(1，)，因为直线1与y轴交于P(0，2)，所以|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，所以|PM|2|PA|PB|，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得，x1x2，且48(4k21)0，所以|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，所以(1)，因为k2，所以1.综上所述，的取值范围是，1)20、(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD平面SBC，SBSC，M是BC的中点，AB1，BC2.(1)求证：AMSD；(2)若二面角BSAM的正弦值为，求四棱锥SABCD的体积【解】(1)证明：设AD的中点为N，连接MN，由四边形ABCD是矩形，知MNBC.因为SBSC，M是BC的中点，所以SMBC.因为平面ABCD平面SBC，平面ABCD平面SBCBC，所以SM平面ABCD，所以SMMN.所以直线MC，MS，MN两两垂直以M为坐标原点，MC，MS，MN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，设SMa.依题意得，M(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，S(0，a，0)所以(1，0，1)，(1，a，1)因为110(a)(1)10，所以，即AMSD.(2)由(1)可得(0，a，0)，(1，0，1)设平面AMS的法向量为n1(x，y，z)，则n1，n1，所以，即，令x1，则n1(1，0，1)是平面AMS的一个法向量同理可得n2(a，1，0)是平面ABS的一个法向量设二面角BSAM的大小为，则cos .所以1cos21sin2，解得a.所以四棱锥SABCD的体积VS矩形ABCDSM21.21、(本小题满分12分)已知函数f(x)(2a)ln x2ax.(1)当a2时，求函数f(x)的极值；(2)当a0时，求函数f(x)的单调增区间解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a2时，f(x)4x，则f(x)4.令f(x)40，得x或x(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f4，无极大值(2)f(x)2a，令f(x)0，得x或x.当2a0，得x，所以函数f(x)在上单调递增；当a2时，f(x)0，所以函数f(x)无单调递增区间；当a0，得x0恒成立，函数f(x)在R上单调递增当a0，得xln(a)；由f(x)0，得xln(a)，函数f(x)在(，ln(a)上单调递减，在(ln(a)，)上单调递增综合知，当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(ln(a)，)，单调递减区间为(，ln(a)(2)令g(x)f(x)x232ex(xa)23，x0，则g(x)2(exxa)又令h(x)2(exxa)，则h(x)2(ex1)0，h(x)在0，)上单调递增，且h(0)2(a1)当a1时，h(x)0，即g(x)0恒成立，函数g(x)在0，)上单调递增，从而需满足g(0)5a20，解