体育比赛中的数学问题.pdf

让学习更有效让学习更有效 体育比赛中的数学 体育比赛中的数学是组合问题的重要组成部分， 主要结合逻辑推理考察孩子 的分析能力和思维的灵活性，走美杯每年都会考到本知识点，这个内容也是2015 年四年级学而思杯很可能考到的内容，家长可以让孩子看这个资料适当预习 下，咱们这讲内容会在春季下半册书上学习。 知识框架 一、 对 单循 环赛 、淘 汰赛 的认 识 在体育比赛中，每两个人之间都要赛一场并且只赛一场， 称这样的比赛为单 循环赛。例如：有 n 个队参加比赛，其中每个队都要和其他队各赛一场，即每个 队都赛了 ( n 1) 场。 每一场比赛都被算在两个 ( n 1) 中， 也就是说在 n 个 ( n 1) 每 一场比赛都计算了两次。那么一共进行了 n ( n 1) 2 场比赛。 练习 1 （2008 年第四届“IMC 国际数学邀请赛” （新加坡）初赛）学校进行乒乓 球选拔赛，每个选手都要和其它所有选手各赛一场，一共进行了 36 场比赛，有 （ ）人参加了选拔赛。 A、8 B、9 C、10 分析： 36 2 72 （场） 。如果有 n 个选手，那么 n ( n 1) 72 。两个连续的 自 然数乘积为 72， n 9 。 让学习更有效让学习更有效 在体育比赛中， 规定每一场赛事中败者淘汰胜者晋级， 称这类比赛为淘汰赛。 在淘汰赛中，每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军。 n 个队进行淘汰赛，每 进行一场比赛就要淘汰一个队，最后只剩下冠军，也就是说其它选手都被淘汰 掉了， 决出冠军需要进行 ( n 1) 场比赛。 练习 2 16 个人进行淘汰赛， （1） 决出冠军需要进行几场比赛？冠军一共参加了几场比赛？ （2） 要决出前三名需要进行几场比赛？ 分析： （1）第 一轮：16 2 8 （场） ，8 名胜利者晋级！ 第二轮：8 2 4 （场） ，4 名胜利者晋级！ 第三轮： 4 2 2 （场） ，2 名胜利者晋级！ 第四轮： 2 2 1 （场） ，决出冠军！ 要决出冠军共需要进行8 4 2 1 15 （场） 。在每一轮比赛中，冠军都参加 了其中一场比赛，冠军一共参加了1 4 4 场比赛。 （2）第四轮比赛中的两位选手分别是 1、2 名，3、4 名应该是第三轮中 淘汰的两位选手，他们之间要再进行一场比赛才能定出来名次。决出前三 名供需15 1 16 场比赛。 二、 比赛中的积分 若规定比赛中胜积 2 分，负积 0 分，平局积 1 分。从比赛结果看，每一场 比赛中，若能出现胜者，对手就一定是败者，双方一共积了 2 0 2 分；若能出 现平局，比赛的双方共积了1 1 2 分。从以上分析可见，每一场比赛后，所有 选手的总积分都会增加 2 分。若进行了 m 场比赛，比赛的总积分一定是 2 m 。 若规定比赛中胜积 3 分，负积 0 分，平局积 1 分。每一场比赛中，若有胜 负，双方共积3 0 3 分；若能出现平局，比赛双方共积 2 分，由此可见，其中 每出现一场平局， 总积分就会减少 1 分。 若进行了 m 场比赛， 比赛的总积分在 2 m 到3 m 之间。 练习 3 （09 年迎春杯决赛）A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个 队 之间都要赛一场， 且只赛一场 胜者得 3 分， 负者得 0 分， 平局每队各得 1 分 比 赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第 3 名的队得了 8 分， 那么这次比赛中共有 场平局 让学习更有效让学习更有效 分 析： 每个队参加了 6 1 5 场比赛，共进行了 6 5 2 15 场比赛，比赛的总 积 分在 2 15 30 到 3 15 45 之间。第三名参加了 5 场 比 赛 共 获 8 分， 8 3 3 1 1 0 ，两胜两平一负。有两平，说明 15 场比赛中至少有两场平局； 有两胜一负， 说明 15 场比赛中至多有 12 场平局。 每出现一场平局总分就会减少 1 分，那么总分最多是 45 2 43 分，最少是 45 12 33 分。 若第一名的总分为 15 分，15 8 7 ，这不可能是公差的 2 倍；第一名的总分应 为大于 8 的偶数! （1）若第一名总分为 12 分，12 8 4 ，公差为 4 2 2 。各位选手的得分分别 是：12、10、8、6、4、2。12 10 8 6 4 2 42 。符合条件！ （2）若第一名总分为 10 分，各位选手的得分分别是：10、9、8、7、6、5。 10 9 8 7 6 5 45 。不符合条件！ 根据以上分析知，总分为 42 分。出现一场平局，总分就会减少 1 分，45 42 3 分，共出现了 3 场平局！ 总结： （1）有胜就有负，胜的场数=负的场数； （2）每一次平局，都给平局的场数增加 2，平局的场数一定是偶数； （3）3,0，1 类型的积分制中，每出现一次平局，积分减 1， 平局场数=（3总场数）实际得分。 拓展 （全国小学生数学奥林匹克）四名棋手两名选手都要比赛一局，规 则规 定胜一局得 2 分，平一局得 1 分，负一局得 0 分。比赛结果，没有人全胜，并 且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？ 分 析： 每名选手都赛了 3 场。总场数是 4 3 2 6 场。总积分是 6 2 12 分。 因为各人得分不同且没有人全胜，4 3 2 1 10 12 ，故他们的积分不 会出现 这种情况。 因为没有人全胜，所以得分最高的选手是两胜一平，总分 为 5 分。 另外的三局比赛中： 如果全都是平局，则四人的得分只能分别是： 5、3、2、2。矛盾。 如果有两局是平局，则四人得分分别是：5、4、2、1。符 合条件。 那么至少有 3 局平局。 让学习更有效让学习更有效 三、体育比赛中的逻辑推理 练习 4 （走美杯）甲乙丙丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者 得 2 分，平局各得 1 分，输者得 0 分。结果甲第一，乙、丙并列第二，那么乙 得几分？ 分 析：每人都要赛 4 1 3 场，一共进行了 4 3 2 6 场比赛。每一场两人的 总 积分一定是 2 分，最后的总积分是 2 6 12 分。每人的总得分在 06 之间。 若第一名的甲得 6 分，12 6 6 ，又因为乙丙并列，那么乙丙只能各得 3 分， 丁得 0 分。 若乙丙的得分是其他情况时，如下表 乙 4 5 1 2 2 丙 4 5 1 2 2 丁 0 1 0 甲 最多为 4 最多为 2 10 7 8 结论 错误 错误 错误 错误 错误 所以乙的得分只能是 3 分。 总结；分情况讨论，排除法是逻辑推理中的核心方法。 练习 5 （走美杯）12 个对参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比 赛中，胜队得 3 分，负队得 0 分，平局则各得 1 分。比赛完毕后，获得第三名 和第四名的两个队的得分最多可以相差多少分？ 分析： 假设甲乙丙是前三名。要使得第三名与第四名的得分相差最多，那么第 三 名的得分要尽量多同时第四名的得分尽量少。 第三名在后面九名选手比赛 时全胜得分较多， 但他的得分最多不超过第二名，也 就是说第三名与