工程力学上课课件圆轴扭转

机械工程基础,第一讲：扭矩与扭矩图第二讲：圆轴扭转时应力和强度计算第三讲：圆轴扭转时的变形和刚度计算,第五章圆轴扭转,第一讲：扭矩与扭矩图,目的要求：掌握圆轴扭转内力图的绘制。教学重点：扭矩图的绘制。教学难点：指定截面扭矩的计算。,第一讲：扭矩与扭矩图,一、圆轴扭转的概念与实例,F,F,传动轴,受力特点构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的外力偶作用，两力偶大小相等，转向相反。且满足平衡方程:,变形特点横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动.,扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。,1分钟输入功：,1分钟m作功：,单位,二、扭矩与扭矩图,、外力偶矩的计算,m-作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿米（Nm)；P-轴传递的功率，P的单位大多为千瓦(kW)；n-轴的转速，单位为转/分(r/min)。,其中：P功率，千瓦（kW）n转速，转/分（r/min）,其中：P功率，马力（PS）n转速，转/分（r/min）,1PS=735.5Nm/s,1kW=1.36PS,功率，转速和力偶矩之间的关系,2.扭矩杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩。,用截面法求扭矩：,为使上述两种算法所得同一横截面处扭矩的正负号相同，特作如下规定：采用右手螺旋法则，拇指指向外法线方向。扭矩的转向与四指的握向一致时为正；反之为负。,Mn,n,Mn,n,n,在工程实际中常用一个图形来表示沿轴长各横截面上的扭矩随横截面位置的变化规律，这种图形称为扭矩图。扭矩图和轴力图相似，也采用截面法求各个截面上的扭矩，正的扭矩在x轴的上方，负的扭矩画在x轴的下方,3、扭矩图,一传动系统的主轴ABC，其转速n=960r/min，输入功率PA=27.5kW，输出功率PB=20kW，PC=7.5kW，不计轴承摩擦等功率消耗。试作ABC轴的扭矩图。,例1,解1)计算外力偶矩。,Mn1,2)计算扭矩。将轴分为两段，逐段计算扭矩。由截面法可知Mn1=-MA=-274NmMn2=-MA+MB=-75Nm3)画扭矩图。根据以上计算结果，按比例画扭矩图。由图看出，在集中外力偶作用面处，扭矩值发生突变，其突变值等于该集中外力偶矩的大小。最大扭矩在AB段内，其值为Mnmax=274Nm,Mn2,Mn,75Nm,274Nm,x,0,直接求扭矩图的简便方法：从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶向上为正，扭矩上升；外力偶向下为负，扭矩下降。（若从杆件最右端直接画扭矩图，则外力偶向下为正，扭矩上升；外力偶向上为负，扭矩下降。）外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。待画完扭矩图后可检查扭矩图两端的扭矩与两端外力偶是否相对应，以确保扭矩图正确无误。,例2某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。,T图,5.46MA向上，扭矩上升,简便方法求扭矩（1）（从左端开始）,1.64MC向下，扭矩下降,2.18MD向下，扭矩下降,1.64MB向下，扭矩下降,从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶向上为正，扭矩上升；外力偶向下为负，扭矩下降。外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。,练习：图示传动轴上，经由A轮输入功率10kW，经由B、C、D轮输出功率分别为2kW、3kW、5kW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,（-）,扭矩T-图,（+）,（在CA段和AD段）,将A、D轮的位置更换，则,扭矩T-图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,目的要求：掌握扭转横截面上的应力分布规律和强度条件的应用。教学重点：强度条件及其应用。教学难点：对圆轴扭转的应力分布规律的理解和强度条件应用。,第二讲：圆轴扭转时应力和强度计算,等直圆杆横截面应力,变形几何方面物理关系方面静力学方面,第二讲：圆轴扭转时应力和强度计算,一、等直圆杆扭转实验观察：,为了研究圆轴横截面上应力分布的情况，可先进行实验观察。在圆轴表面画若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线，两端施加方向相反、力偶矩大小相等的外力使圆轴扭转。当扭转变形很小时，可观察到：,1）各圆周线的形状、大小及两圆周线的间距均不改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线仍为直线，且倾斜同一角度，使原来的矩形变成平行四边形。,2）由上述现象可认为：扭转变形后，轴的横截面仍保持平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。这就是圆轴扭转的平面假设。,则可以得到如下推论：1）横截面上无正应力2）横截面上有剪应力,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力,1、变形几何关系：,则距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。,扭转角沿长度方向变化率。同一横截面来说，为一常数,c,a,a1,d,T,2、物理关系：,胡克定律：代入上式得：,则同一横截面内部，剪应力也与扭转半径成正比,切变模量,3、静力学关系：,令,代入物理关系式得：,4、公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。,式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。,D,d,O,对于实心圆截面：,O,d,对于空心圆截面：,应力分布,（实心截面）,（空心截面）,根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度可提高；,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻,结构轻便，应用广泛。,三、圆轴扭转时的强度条件,1、强度条件,受扭圆轴破坏的标志：,塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。,脆性材料：变形很小，在与轴线约成45的面上断裂。,一般强度条件：,对于等截面圆轴：,WP：抗扭截面模量（mm3或m3）,强度条件：,2.强度计算的应用,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,例1已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15kW、15kW、20kW，轴的转速为300r/min，=60MPa。试设计该轴直径d。,477.5Nm,955Nm,637Nm,解（1）计算外力偶矩，画扭矩图,T,x,选：d=45mm,Tmax=955Nm,（2）由强度条件设计轴直径,例2,由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45钢，许用切应力=60MPa，工作时最大外扭矩Mn1.5kNm。1)试校核AB轴的强度。2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。3)比较实心轴和空心轴的质量。,解1)校核AB轴的强度。由已知条件可得,Mn=M=1.5103Nm,故AB轴满足强度要求。,2)确定实心轴的直径。若实心轴与空心轴的强度相同，则两轴的抗扭截面系数必相等。设实心轴的直径为Dl，则有,3)比较实心轴和空心轴的质量。,两轴的材料和长度相同，它们的质量比就等于面积比。设Al为实心轴的截面面积，A2为空心轴的截面面积，则有,结论：,1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。,2）截面任一处截面外圆周处（表面）tr=Tr/Irtmax=T/WP,3)则同一横截面内部，剪应力也与扭转半径成正比,2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?,1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？,相同,相同,练习,练习1：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的倍？,练习2：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比d2D20.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。,解：由,得：,练习3：在强度相同的条件下，用d/D=0.8的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?,解：设实心轴的直径为d1，由,得：,目的要求：掌握圆轴扭转的变形计算和刚度条件。教学重点：圆轴扭转的刚度条件。教学难点：对圆轴扭转的刚度条件的理解和应用。,第三讲：圆轴扭转时变形和强度计算,由公式,一、圆轴扭转时的变形,第三讲：圆轴扭转时变形和强度计算,扭转变形是以任意两截面间相对转过的角度来表示的。,知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为,1、扭转角,T、G、Ip均为常量,2）单位扭转角：,或,G为材料的切变模量；GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。,在扭矩相同的条件下，,单位扭转角是单位长度上的扭转角，用符号来表示，单位为rad/m,通常用来表示扭转变形的程度。,二、圆轴扭转时刚度条件,或,称为许用单位扭转角。,的数值按照对机器的要求决定：,精密机器的轴：,一般传动轴：,精度要求不高的轴：,精度要求较低的轴：,一传动轴如图，直径d=40mm，材料的切变模量G=80GPa，载荷如图示。试计算该轴的总扭角。,解画出阶梯轴的扭矩图，AB和BC段的扭矩分别为,Mn,800Nm,1200Nm,x,0,Mn1=1200Nm,Mn2=-800Nm,圆轴截面的极惯性矩为,例1,BC段的扭角为,由此得轴的总扭角,AB段的扭角为,传动轴如图。已知该轴转速n=300r/min，主动轮输入功率PC=30kW，从动轮输出功率PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材,料的切变模量G=80GPa，许用切应力=40MPa，=l/m。试按强度条件及刚度条件设计此轴直径。,例2,解1)求外力偶矩,3)按强度条件设计轴的直径,2)画扭矩图。首先计算各段扭矩AB段：Mn1=-159.2NmBC段：Mn2=-477.5NmCD段：Mn3=477.5Nm按求得的扭矩值画出扭矩图。,Mn/Nm,477.5,159.2,x,0,477.5,由式和强度条件,由图可知最大扭矩发生在BC段和CD段，即Mnmax=477.5Nm,4)按刚度条件设计轴的直径,由式和刚度条件，得到,为使轴同时满足强度条件和刚度条件，可选取较大的值，即d44mm。,工程上还可能遇到非圆截面杆的扭转，如正多边形截面和方形截面的传动轴。非圆截面杆扭转时，横截面不再保持平面，即横截面要发生翘曲。因此。务请注意，上述平面假设导出的扭转圆轴的应力、变形公式，对非圆截面杆均不再适用。有关矩形截面杆和薄壁截面杆扭转的一些结论，可参阅有关资料，这里不再阐述。,o,内力是扭矩T,剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。,小结,圆轴扭转,最大剪应力在截面边缘,作用在轴上的外力偶矩,右手螺旋法则定正负,强度设计,刚度设计,习题课,A、刚体B、变形体C、刚体和变形体D、刚体与变形体均不适用,1、作用力与反作用力定律适用于(),3、重力G=10N的物体搁置在与水平位置成30度的斜面上，物体与斜面间的静摩擦系数为0.6，此时物体处于（）状态。,A、静止B、向下滑动C、临界下滑状态D、无法确定,4、当力偶中任一力沿着作用线移动时，力偶矩的大小（）,A、增大B、减小C、不变D、无法确定,2、变形体在已知力系作用下处于平衡状态，那么如将它看成刚体，其平衡（）,A、不受影响B、不再平衡C、变形增大D、无法确定,C,A,C,A,力的静力学公理,考虑摩擦时的平衡问题,力偶矩等效的条件,5、为保证构件有足够的抵抗变形的能力，构件应具有足够的(),A、刚度B、强度C、硬度D、韧性,6、在正应力相同情况下，材料的拉压弹性模量()，其正应变（）,A、越大/越大B、越大/越小C、越小/越小D、无法确定,7、其他条件不变，若受轴向拉伸杆件的直径增大一倍，则杆件横截面上的正应力为原来的（）,A、2倍B、0.5倍C、0.25倍D、0.75倍,8、若两杆材料不同,几何尺寸相同，轴向拉力不同，则它们的（）,A、应力和应变都不同B、应变相同，应力不一定相同C、应力和应变都相同D、应力不同，应变不一定相同,A,B,C,D,材料力学研究的问题,应力与应变关系,应力计算公式,9、两个实心轴直径相等，长度相等，仅是材料不同，在相等的外力偶矩的作用下，则两者的最大剪应力（）,A、相等B、不等C、不一定D、无法判断,11、圆轴扭转时，横截面上（）,A、三角形分布B、抛物线分布C、等值分布D、不规则分布,10、杆件剪切变形时，一般假设横截面上的剪应力分布为（）,A、只有正应力B、只有剪应力C、两者都有D、两者都没有,C,A,B,12、一般情况下，固定铰链约束的约束反力可用（）来表示,A、一对相互垂直的力B、一个力偶C、A+BD、都不是,13、当作用在物体上的主动力系的合力作用线与接触面法线间的夹角小于摩擦角时，不论该合力大小如何，物体都处于平衡状态，这种现象称为（）,A,A、静止B、超平衡C、自锁D、静定,C,剪切变形,圆轴扭转问题,常见约束类型,14、关于铸铁拉伸试验的正确说法是（）,A、有屈服阶段，但无颈缩阶段B、无屈服阶段，但有颈缩阶段C、无屈服阶段和颈缩阶段，但有强化阶段D、无屈服阶段，但可以测出强度极限,D,15、低碳钢材料经过拉伸强化后，其比例极限和屈服极限显著提高，而塑性变形相对减少的现象称为（）,A、强化现象B、脆化现象C、冷作硬化D、脆性硬化,16、相同截面积，相同材料的空心轴比实心轴抗扭转力（）,A、相同B、大C、小D、有大有小,B,C,17、关于塑性材料与脆性材料的比较，有下列说法，正确的是（）,1、塑性材料的工艺性能好；2、塑性材料的抗拉屈服极限等于抗拉压屈服极限3、脆性材料在破裂之前有明显的先兆；4、脆性材料屈服极限较大,A、1、2对B、2、3对C、3、4对D、1、4对,A,18、由一对大小相等，方向相反，间距很近的横向力作用，使杆体两截面沿外力作用方向产生相对错动的变形，称为（）,A、弯曲B、扭转C、剪切D、挤压,19、圆轴扭转变形时，剪切应变和剪切应力的分布规律是（）,A、轴心处