数学建模论文-储油罐的变位识别与罐容表标定问题的探索.doc

储油罐的变位识别与罐容表标定问题的探索摘要本文首先分析了储油罐由于发生纵向倾斜和横向偏转，从而导致罐容表发生变化这一问题，然后针对罐体变位后对罐容表的影响建立了数学模型。最终解决了储油罐的变位识别与罐容表标问题。针对问题一，我们通过简化图形，推出两端平头的椭圆柱体水平时与倾斜后的位置关系，利用割补法将变位后的罐体转化为没有变位的罐体，求出没有变位的罐内液体体积，从而得到倾斜罐体内液体的体积。在求水平罐体体积时，我们通过微积分计算出截面面积，利用体积公式求出水平时罐体内液体体积。随后，可以根据纵向倾斜的角度，得出倾斜后罐内油位高度与储油量的对应关系。再对附件中的实际数据进行拟合，发现小椭圆型储油罐的罐体变位后所测得油面高度要比水平情况下所测得的油面高度要高。最终得出罐体变位后油位高度间隔为的罐容量表标定值。针对问题二，我们首先考虑横向偏转变位对罐容表的影响（即对油浮子测得高度的影响），再分析纵向倾斜变位对罐容表的影响。求出圆柱体内液体容积后，结合问题一的数学模型求出两个球罐体内液体的体积。在求球冠体内液体体积时，我们首先求出球冠体与圆柱截面相交形成的弓形面积表达式，通过积分计算出球冠体内液体的体积，进而确定罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。然后通过附表2中的数据求出变位参数与。并且结合附表2的数据对所得一般关系进行检验，用来判断模型的正确性与方法的可靠性。最后，通过建立的数学模型与所给数据画出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。最后，我们对模型所用思想方法的科学性，以及结果的合理性进行了分析与评价。该模型计算方法简单快捷，在日常生活中具有普遍可操作性，为非专业测量人员提供了方便。关键词：割补法；微积分；拟合一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。使用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析很多加油站的储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生变位，油浮子所测高度不是液体水平时高度，导致罐容表出现错误。针对这一问题，我们分为两个步骤来计算，第一步先计算水平时的罐体体积，第二步计算倾斜时的体积，然后通过实际数据来验证。对于问题一，我们通过简化小椭圆油罐的形状，考虑两端平头的椭圆柱体水平时与倾斜后的位置关系，画出简图，使用微积分计算出截面面积，利用体积公式先求出罐体水平时液体体积，进而求出变位后罐体内液体体积。然后根据水平与倾斜的角度，得出倾斜后罐内油位高度与储油量的对应关系。对于问题二，在问题一的基础上求出圆柱体的体积，然后通过积分及图形增补分割求出球冠体的体积，随后可得到液体容积。根据所求得的液体容积，可以找出罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系，通过一般关系及附表中数据可求出变位参数，并且将附表2 中数据代入函数关系中进行检验，从而对模型进行评价。三、符号说明 变位后油浮子所测油量高度 倾斜时油面高端高度 倾斜时油罐内的体积 油浮子到油罐左端距离 油罐主体部分总长度 圆柱体截面圆的半径 球罐体所在球面的球半径 纵向变位倾斜角 横向变位倾斜角 椭圆弓形面积 矩形柱体截面面积四、基本假设1.假设储油罐中原有的油足以将罐底完全覆盖，不考虑油罐截面为三角形的情况。2.假设储油罐不受温度压力和压强等外界因素条件对储油罐内剩余油量的影响。3.假设储油罐的油浮子在油罐倾斜状态下仍正常工作。4.假设考虑球冠体积时高度的误差忽略不计。 5.假设储油罐的进出油管以及油位探针的体积可忽略不计。五、模型的建立与求解问题一为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，我们先考虑储油罐在正常水平情况下罐内油位高度与储油量的对应关系，再考虑小椭圆油罐发生纵向倾斜后的罐容表的变化情况，最后根据附表中的数据验证模型的正确性。.正常水平情况下的罐内油位高度与储油量的对应关系考虑如下：设横截面椭圆长半轴为，短半轴为b,的方程为: 图椭圆弓形的高为，图中带阴影部分为储油横截面,先用定积分求储油体积。则设椭圆弓形的面积为，则：储油罐的长为,储油的体积为,可得：.对纵向倾斜情况下罐内油位高度与储油量的对应关系作以下分析：图如图所示，设油浮子所测高度为，油罐长度为，油浮子到油罐左端的距离为，纵向倾斜角为，则倾斜油体体积可由两部分组成，即图中三角形柱体体积与矩形柱体体积，设矩形柱体截面面积为,则储油罐的长度为，矩形柱体体积为,可得：则倾斜油体体积为在该式中，代入上式中最终得出罐内油位高度与储油量的对应关系，代入附表中的高度求解下面利用附表中的进出油量数据在MATLAB软件中得出实际数据与采集数据的对比图。图为变位前的罐内油量与油位高度的关系图：图为变位后罐内油量与油位高度的关系图：从图中可看出由本文模型求出的模拟数据与实际数据误差很小，因此本模型是科学可靠的。图为变位前与变位后的关系对比图：最终从图中可得出在罐内油量相等的情况下罐体变位后罐容表所测的数据比实际的要高，下给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值：液位编号标尺示值/mm储油量/L液位编号标尺示值/mm储油量/L液位编号标尺示值/mm储油量/L14101013.56256502015.66498903024.6724201052.78266602058.8509003064.1634301092.32276702101.93519103103.324440113206529203142.1254501172.34296902188.16539303180.5664601212.78307002231.22549403218.6174701253.49317102274.22559503256.2584801294.453272023174794901335.64337302360.04579703330.24105001377.06347402402.81589803366.54115101418.68357502445.49599903402.34125201460.5367602488.056010003437.64135301502.5377702530.486110103472.39145401544.66387802572.776210203506.58155501586.98397902614.91631030354043408002656.88641040357302418102698.666510503605.44185801714.71428202740.256610603637.05195901757.5438302781.636710703667.93206001800.39448402822.796810803698.04216101843.34458502863.76910903727.32226201886.36468602904.377011003755.72236301929.43478702944.76711110378353488802984.877211203809.62 通过上述模型中得出的罐容表标定值可对加油站的罐容表重新标定起到借鉴作用。问题二建立数学模型，求出经过纵向倾斜和横向偏转后，罐内液体体积，确定罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，并列出关系方程。求经过横向偏转和纵向倾斜后的罐体内液体体积，我们可以类似问题一，将倾斜液体通过增补转变为水平液体。如图1，我们要想求得倾斜罐体内剩余油量体积，应该先求出。得到 1圆柱截面半径为，端面所在的球半径为,球心为,为到弦的距离，液面与圆柱体截面交点到冠体底部的距离分别为（），液高时的容积为,液高为时的容积为，为高为时球冠体内容积，为高时圆柱体内容积。为高为时球冠体内容积，为高为时圆柱体容积。则有：， 把以为半径，以为半径的球缺放入空间直角坐标系中，已知球心为：。如图（图2）所示。则圆面方程为： 有球心坐标可知，之间有关系式： 设球冠体中液面的高度为 设弓形面积为，则如图3，设在球冠体中的截图为，设为且易知，得因为球体在坐标平面的投影为：故在中，因为所以又因为，所以故得：则球冠体积为：圆柱体积为：所以，水平状态下罐内剩余油量体积为：（*） 2.现在考虑横向倾斜对罐容表的影响由图13可知，考虑横向倾斜影响后，可求得则3.将、代入（*）得出、,则罐内液体体积为：考虑到公式太长，现令其中并且可以根据以上数据及图形易得所以，可以表示为：因此，可通过公式，将上述数据代入得到罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。 4.上述模型已经将罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系用函数表示出，现在要结合附表2的部分数据，运用MATLAB软件，确定出变位参数。 5.结合已经求出的变位参数值，给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值：（如下表）液位编号标尺示值/cm储油量/L液位编号标尺示值/cm储油量/L1404827.111417038001.412506566.731518040678.663608621.121619043321.7447010982.451720046162.1258013310.031821048582.8669015732.941922051301.48710018384.392023053661.92811021278.202124055783.96912023798.582225058102.641013026764.472326060691.651114028301.902427063468.821215032279.652528066198.571316035120.732629068972.31六、模型结果分析根据附件1中的数据，我们可以对在问题一中所求得的结果做出验证，并且根据MATLAB软件得出变位前后油面高度与罐体积的关系，如图,从这两个图中我们可清晰的得出模型中的模拟数据与实际数据的对比关系，即模拟数据与实际数据基本相符，表明了我们模型建立的正确性，最终得出结论即油罐的罐体变位后所测的油面高度要比水平情况下所测得的油面高度要高。在问题二中，我们求得了变位参数，根据附表2中的数据对其进行了验证，得到误差在允许范围内，即模拟数据与实际数据基本相符，证明了模型的正确性。七、模型的评价与改进模型的评价1. 优点：（1）本文首先应用微积分的方法得出正常水平时的剩余油量体积公式，从这个公式中可以准确的算出正常情况下（即无变位）圆柱体的体积，为在校学生求圆柱体体积提供了新方法。（2）在求解倾斜椭圆柱体和卧式圆柱体球冠端面方面，采用割补法，将求斜体液体容积转化为求水平液体容积，简化了对此类型柱体的求解，大大减少了误差，方便了对地下储油罐的罐容表的标定。对地下油罐的更精确工作起到了促进作用。（3）本题运用微积分求解出椭圆柱体以及圆柱体的体积，微积分在求解体积方面精确度高，适合于求各种规则图形的体积和面积。（4）该模型大量使用拟合方法，通过拟合将数据转化为图形，易于观察，方便计算。拟合方法在生活中被普遍应用。例如，观察人口增长率，统计税收，股票变化等一系列与数据相关模型。 缺点：（1）该模型在将倾斜液面柱体转化为相对水平液面柱体中都会有或多或少的偏差，尤其是问题二中求倾斜时的剩余油量体积没有考虑高度的误差，导致求出的结果有一定的偏差。模型的改进（1）应当考虑罐内油量不足以将罐底覆盖时的三角截面情况，建立更加合理精确完善的模型，这样才能提供更加接近实际的精确数据。（2）经过对结果的分析与检验后，发现我们的结果还存在着一定的误差。针对出现的误差，我们可以考虑建立更为精密的模型，将问题二中倾斜时的高度误差考虑在内，使误差尽量减小，得到较精确的结果。八、参考文献1 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年。2 孙宏达、关进波，用逼近法计算横截面为椭圆形( 圆形) 储油罐的储油体积，管件与设备，第3期；29至31页，2001年。3 蒲廷炳，常见卧式油罐罐表计算公式，南充师院学报（自然科学版），第2期；94至106页，1982年。附录附录1 确定水平状态下油量的体积#include #include #include using namespace std;int main()double sin(double _x);/正弦函数double tan(double _x);/正切函数double asin(double _x);/反正弦函数double sqrt(double _x);/开平方根函数const double pi=3.1415926;/定义pi的值double a=0.89,b=0.6,d=0.4,L=2.45;/定义数据double h1,h2;double A1=0,A2;double V1,V2; double m,n;cout欢迎使用水平状态储油罐油量体积计算器nendl;cout系统默认的数据如下：nendl;couta=a mn;coutb=b mn;coutd=d mn;coutL=L mn;cout角度a=A1 度n;RE:coutn请输入h的值：（单位：mm）h1; /下面为计算公式 h2=h1/1000; A2=(A1/180)*pi;m=(h2+d*tan(A2)-b)/b; V1=(a*b*L)*(pi/2+m*sqrt(1-m*m)+asin(m);V2=V1*1000;cout计算得到体积V=V1 Lendl;goto RE;/返回继续计