全概率公式贝叶斯公式的应用及推广.doc

目录诚信申明3课题及摘要4引言51. 全概率公式和贝叶斯公式61.1 全概率公式61.2 贝叶斯公式61.3 全概率公式和贝叶斯公式的关系6 2. 全概率公式和贝叶斯公式的应用7 2.1 商业市场中的应用7 2.2 医疗诊断中的应用9 2.3 实际比赛中的应用10 3. 全概率公式和贝叶斯公式的推广及应用12 3.1 全概率公式的推广12 3.2贝叶斯公式的推广15 3.4 全概率和贝叶斯推广公式的应用17 总结19 参考文献20河西学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二O 年 月 日（打印） 3全概率公式和贝叶斯公式的应用及推广摘 要：全概率公式和贝叶斯公式是计算复杂事件概率的公式，本文对两个公式在医疗诊断、商业市场和实际比赛等的应用举例说明了其用法和使用的概型。为了解决更多的实际问题，对两个公式进行了简单的推广及推广后的应用。 关键词：全概率公式；贝叶斯公式；应用；推广Abstract: The total probability formula and Bias formula is to calculate the complex event probability formula, the application of two formulas in medical diagnosis, the commercial market and the actual game, illustrates its use and the use of probability. In order to solve the actual problem more, for the two formula for the application and promotion of simple after.Key words：Total Probability Formula ;Bayes Formula; Application; Promotion引言全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科,起源于17 世纪。发展到现在,已经深入到科学和社会的许多领域。从十七世纪到现在很多国家对这两个公式有了多方面的研究。概率论的重要课题之一, 就是希望从已知的简单事件概率推算出未知的复杂事件的概率。为了达到这个目的, 经常把一个复杂的事件分成若干个互不相容事件, 再通过分别计算这些简单事件的概率, 最后利用概率的可加性得到最终结果。 这就是全概率公式的基本思想。把上面的整理清楚就是全概率公式。全概率公式是概率论中一个非常重要的基本公式，通过对概率论课程的研究，发现有多内容可以进一步深化与挖掘，从而得到更广泛，更简洁，更实用的结论，以丰富和完善概率论的理论体系。它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简。在概率论中起着很重要的作用,灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便。蕴涵的数学思想方法：全概率公式蕴含了化整为零，化复杂为简单的数学思想；全概率公式的本质：全概率公式中的P(B)是一种平均概率，是条件概率PBAi的加权平均，其中加在每个条件概率上的权重就是作为条件的事件Ai发生的概率.贝叶斯公式首先出现在英国学者T贝叶斯（1702-1761）去世后的1763年的一项著作中。从形式推导上看，这个公式平淡无奇，它不过是条件概率定义与全概率公式的简单推导。其之所以著名，在于其现实乃至哲理意义的解释上：原以为不甚可能的一种情况，可以因某种事件的发生变得甚为可能；或者相反，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化。目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行统计决策的重要工具。概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征。利用数学方法，充分利用好全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治。利用好全概率公式和贝叶斯公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题中。两个概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用全概率公式和贝叶斯公式会给我们的解题带来很大方便，而其推广形式将进一步拓展公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具1.全概率公式和贝叶斯公式定义 设S为试验E的样本空间，B1, B2,Bn为E的一组事件，若（i）BiBj = ，ij，i，j=1,2n；（ii）B1B2 Bn =S，则称B1，B2Bn为样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B1，B2Bn中必有一个且仅有一个发生。例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为S=1,2,3,4,5,6。E的一组事件 B1=1,2,3，B2=4,5，B3=6是S的一个划分。而事件组C1=1,2,3，C2=3,4，C3=5,6不是S的划分。1.1 全概率公式定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2Bn为S的一个划分，且P（Bi）0(i=1,2,n)，则P(A)= P(A丨B1)P(B1) + P(A丨B2)P(B2) + P(A丨Bn)P(Bn) （1.1）（1.1）式称为全概率公式。在很多实际问题中P(A)不易直接求得，但却容易找到S的一个划分B1，B2Bn，且P（Bi）和P(A丨Bi)或为已知，或容易求得，那么就可以根据（1.1）式求出P(A)。1.2 贝叶斯公式定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2Bn为S的一个划分，且P(A)0，P（Bi）0(i=1,2,n)，则P(Bi丨A)=P(A丨Bi)P（Bi）j=1nP(A丨Bj)P（Bj） （1.2）（1.2）式称为贝叶斯公式1.3全概率公式和贝叶斯公式的关系全概率公式的“全”是指要把能影响A事件的因素找全。定理说明目标事件A发生的概率是在划分（i=1,2，n）基础上两两互斥事件组A(i=1,2，n)的概述之和，可视为为事件A的诱发事件，P(AiB)为诱发成功的可能；若A已经发生，则来自诱发成功的可能是P(BiA)P(A) ，这本是一个条件概率PBiA,使用乘法公式和全概率公式之后成为贝叶斯公式。在全概率公式和贝叶斯公式中，B1,B2,Bn是伴随结果A发生的各种原因，P（Bi）是各种原因发生的概率，它一般是有经验给出的，称为先验概率。PBiA反映试验后各种情况发生的概率的新结果，可用来修正P（Bi）。“由因索果”用全概率公式，“由果索因”用贝叶斯公式。2.全概率公式和贝叶斯公式的应用2.1 在商业市场中的应用例 1.某电子设备制造厂所用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录三家厂的次品率分别为0.02,0.01,0.03，三家厂所提供的份额分别为0.15,0.80,0.05。设这三家厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此品出自何厂，需求出此品由三家工厂生产的概率分别是多少？解：设A表示“取到的是一只次品”，Bi（i=1,2，3）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”。易知B1，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=0.15 P(B2)=0.80 P(B3)=0.05P(A丨B1)=0.02 P(A丨B2)=0.01 P(A丨B3)=0.031.由全概率公式P(A)= P(A丨B1)P(B1) + P(A丨B2)P(B2) + P(A丨Bn)P(Bn) =0.01252.由贝叶斯公式P(B1丨A) = P(A丨B1)P（B1）P(A) = 0.02*0.150.0125 = 0.24P(B2丨A) = 0.64 P(B3丨A) = 0.12以上结果表明，这只产品来自第二家工厂的可能性最大。例2.某厂生产的产品次品率为某厂生产的产品次品率为01 ，但是没有适当的仪器进行检验有人声称发明一种仪器可以用来检验，误判的概率仅为5试问厂长能否采用该人所发明的仪器?分析“5的误判率”给检验带来怎样的可信度，这是厂长决策的依据，即弄清“被检验出的正(或次)品中实际正(或次)品率”解：设事件A表示“客观的次品”，事件B表示“经榆验判为次品的产品”，由题意知P(A)=0.001 P()=0.999P(A丨B) = 0.95 P(B丨) = 0.05由贝叶斯公式可计算“被检验出次品的实际次品率”为P(A丨B) = P(A丨B)P（B）PB丨APA +P(B丨)P（） = (0.0010.95)/(0.0010.95+0.9990.05) =0.018664同理，“被检验出的正品中实际正品率”为P(A丨B) 0.99947由P(A丨B)=0.018664可知，如果产品的成本较高，厂长就不能采用这台新仪器，因为被仪器判为次品的产品中实际上有98以上的是正品，这样导致损耗过高同时，我们也注意到该仪器对 正品的检验还是相当精确的，若检验对产品没有破坏作用，倒是可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品”，这就降低了损耗，叉保证了正品具有较高的可信度例3. 一种新产品，一个推销员去推销，成功记为“S”，失败记作“D”，推销员的主观概率P(S)=0.3，P(D)=0.7，成功的收益为50000元，失败的收益为-3000元，请咨询公司作预测调查，有两种调整方法1，2，其费用分别为2000元，3000元，若同时进行1，2，费用为4000元，了解咨询公司的业绩，预报的结论为： 对1： PFS=0.6 PFD=0.1对2：PFS=0.8 PFD=0.1 (F：可行；E：不可行)现有如下六种决策:a.不进行调查 ； b.只进行1 ； c.只进行2 ; d.1，2同时进行；e.先做1，视情况后做2 ； f.先做2，视情况后做1.若效益系数为风险中性，请试选择一种最好的决策？解: 分别计算各决策的期望效益(收支)：.不进行调查：推销EU=50000P(S)+(-30000)P(D) =500000.3-300000.7=-6000 不推销，期望效益(收支)为0. EU(a)=-600012+012=-3000.只进行调查方法1. P(F1)=PF1SPS +PF1DPD=060.3+0.10.7=0.25；. P(E1)=0.75E1表示调整结果为不可行，已用咨询费2000元.F1表示可行，导致推销，此时运用贝叶斯公式:PSF1)=PF1SPSPF1SPS+PF1DPD=0.72因而PDF1=0.28 期望收支(效益)：EU(F1)=500000.72-300000.28=27600EU(b)=276000.25-20000.75=5400；c.只进行2，同(b)一样用贝叶斯公式有：EU(c)=6796 d.同时进行1.2，有四种可能结果：F1F2，F1E2，E1F2，E1E2 P(F1F2) =PF1F2S+PF1F2DP(D) =PF1SPF2SP(S)+PF1DPF2DPD=0.151; 同理有P(F1F2)=0.099,P(E1F2)=0.159,P(E1E2)=0.591再运用贝叶斯公式， 注意到此时咨询费用为4000元，进一步计算有EU(d)=5808e.先进行l，若结论为不可行(E)，则不进行2.若结论为可行，则进行2，经计算(同以前方法)有：EU(e)=4196 f.同e，有EU(f)=6188根据期望效益准则，通过多次贝叶斯公式的应用，可以知道选择期望效益最大值为6796，对应的决策是C，即只进行2是最好的决策，此例中还多次运用了全概率公式，事实上全概率公式与贝叶斯公式的综合联用是统计决策中的一个重要方法.2.2在医疗诊断中的应用例1.据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者患肺癌的概率是多少？解：C=患肺癌 A=吸烟依题意有P(C)=0.001 P(A)=0.20 PCA = 0.004 ,需要求条件概率PCA.由全概率公式有P(C) = PCAP(A) + PCAP(A) 将数据代入，得0.001 = 0.004 0.20 + PCAP(A) 0.004 0.20 + PCA 0.80PCA = 0.00025例2.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，一C事件表示“被诊断者患有癌症”，则有PAC = 0.95，PAC = 0.95。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C) = 0.005，试求PCA。解：已知PAC = 0.95， P(AC) = 0.95PAC=1-PAC=1-0.95=0.05P(C) = 0.005， P(C) = 0.995 由贝叶斯公式PCA = P(A丨C)P(C) PACPC+ PACP(C) = 0.087 本题的结果表明虽然PAC = 0.95，PAC = 0.95，这两个概率都比较高。但若将此试验用于普查，则有PCA = 0.087，亦即其正确性有8.7%。如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明PCA和PAC混淆了会造成不良的后果 。例3.据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲，分析两种疾病是否相关. 分析:设事件A为耳聋人，事件B为色盲人，P(A)=p，则P(A)=1-p.依题意可得，PBA = 450 = 0.08，PBA= 7969950 = 0.08 由全概率公式，P(B)=i=1nPAiPBAi =P(A)PBA+P(A)PBA =p0.08+(1-p)0.08 =0.08 所以，P(B)=PBA=PBA=0.08,事件A与事件B相互独立. 经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关.2.3 在实际比赛中的应用 例1. 某射击小组共有20名射手, 其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手8人，一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率？ 分析：问题实质上涉及到两个部分：第一, 选出的射手不知道是哪个级别的,由全概率公式知, 都应该考虑到, 才为全面.第二, 某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的, 记为：Ai =“选出的级射手”，i=1,2,3，则A1，A2，A3构成一个完备事件组，有： ，且， 由题意：, “选出的射手能通过选拔进入比赛”，要求： 则： = =62% 即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%.这个数比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了.例2. 甲乙两个比赛射击，每次射击胜者得1分，每次甲胜的概率为，乙胜的概率为，平局概率为,( +=1).比赛进行到一方比对方多2分为止，多2分者获胜，求甲获胜的概率.解：由题意每次比赛与上一次比赛是独立进行的，设为甲获胜的概率，考虑前两次比赛作为条件以1作为第一、二甲胜的概率，2作为第一、二次均平局的概率，3作为第一、二次各胜一局的概率，1，2，3满足定理1的条件但不满足一般的全概率公式，由定理1知：；易知 ；所以 ；即 .例1. 某射击小组共有20名射手, 其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手8人，一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率？ 分析：问题实质上涉及到两个部分：第一, 选出的射手不知道是哪个级别的,由全概率公式知, 都应该考虑到, 才为全面.第二, 某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的, 记为：=“选出的级射手”，则构成一个完备事件组，有： ，且， 由题意：, “选出的射手能通过选拔进入比赛”，要求： 则： = =62% 即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%.这个数比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了.例2. 甲乙两个比赛射击，每次射击胜者得1分，每次甲胜的概率为，乙胜的概率为，平局概率为,( +=1).比赛进行到一方比对方多2分为止，多2分者获胜，求甲获胜的概率.解：由题意每次比赛与上一次比赛是独立进行的，设为甲获胜的概率，考虑前两次比赛作为条件以1作为第一、二甲胜的概率，2作为第一、二次均平局的概率，3作为第一、二次各胜一局的概率，1，2，3满足定理1的条件但不满足一般的全概率公式，由定理1知：；易知 ；所以 ；即 .3.全概率公式和贝叶斯公式的推广3.1 全概率公式的推广及应用全概率公式在概率论的计算中有广泛的应用，往往能使一个复杂函数的概率计算问题简化，事实上，我们可以对全概率公式进行推广，从而拓展全概率公式的使用范围3.1.1全概率公式推广1几何概率的严格定义:设某一事件A(也是S中的某一区域),S包含A,它的量度大小为(A),若以P(A)表示事件A发生的概率,考虑到“均匀分布”性,事件A发生的概率取为:P(A)=(A)/(S),这样计算的概率称为几何概率。 设（）。是n+1维随机变量,其分布函数为:F(x,y)F()。其中是n维连续型随机变量。为一维取值为0、1的离散型随机变量。易见F(x,0.5)/F()和F(x,)分别是某个随机向量的分布函数,设它们都有密度函数(x,0.5),(x,)。设:p(x,y) (x,0.5) F(x,0.5) （当y=0） p(x,y)0 （当y0，y1） p(x,y)(x,)-(x,) F() （当y=1）则y0时, F(x,y)0 (x,0.5)dx当0y 0, P(AiC) 0 (i=1,2,，n)时, . 所以 PBC = i=1nPAiC PBAiC 故 PBC=P(BC)P(C)=i=1nPBC PBAiC 而当C与A1,A2,An独立时，有：PAiC= P(A)此时：PBC = i=1nP(Ai) PBAiC3.1.4 全概率公式的推广4在第一节对全概率公式的条件和结论作如下改动,就可以得到推广的全概率公式.设n 个A1,A2,An事件互不相容, 且j=1nAi=,m个事件B1,B2,Bn中的Bi(i = 1 ,2 , ,m) 只能与事件A1,A2,An之一同时发生,Bi=j=1nBiAj (i=1,2,m)则有P (Bi)=j=1nP(Aj)PBiAj(i=1,2,m)3.1.5全概率公式的推广5因为P (Bi)=j=1nP(Aj)PBiAj(i=1,2,m)即 .按矩阵的乘法,有= 3.2贝叶斯公式的推广 设事件A1,A2,An互不相容,且,在事件B1,B2,Bn中的Bi (i = 1 ,2 , ,m) 只能与事件A1,A2,An之一同时发生,则在事件Bi (i=1,2,m)发生的条件下,事件Aj (j=1,2,n)发生的概率将所有的排成如下矩阵,则由矩阵的运算,有 =即 =容易证明3.3全概率公式及贝叶斯公式推广的应用例1.设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击，每人击中目标的概率为，一人击中目标被摧毁的概率是,两人击中目标被摧毁的概率是，三人击中目标被摧毁的概率是，求目标被摧毁的概率.解：令B=“目标被摧毁”，Ai=“有i个人击中目标”i=1,2,3 ,其中. 虽然A1,A2,A3不构成样本空间的分割，但添加C=“三人均未击中”后就构成的分割，而.于是由推广结论得：例2.设有两箱相同的产品，第一箱内装50件，其中10件合格品；第二箱内装30件，其中18件合格品，从两箱中任取一箱随机取两个产品，试求若先取出产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率.解 ：设表示“抽取第箱”；表示“第次取出的产品是合格品” .得：, 由于:,由推广结论3得：例3某厂有号码1、2、3的箱子个数分别为其中1号箱子装有一等品件，二等品件，三等品件，2号箱子装有一等品件，二等品件，三等品件，3号箱子装有一等品件，二等品件，三等品件，现任选一个箱子，并从中任取一件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？解设：“取出的一件是j号箱的”(j=1，2，3)，且A: 取出的一件是一等品B: 取出的一件是二等品C: 取出的一件是三等品由条件知P()=(j=1,2,3) = =例4 炮弹爆炸时产生大、中、小三种弹片,这三种弹片击中坦克的概率依次分别为0. 1 、0. 3 、0. 6 ,若这三种弹片击中坦克,则其击穿坦克的概率依次分别为0. 9 、0. 2 、0. 05 ,已知坦克被弹片击穿,求坦克被大、中、小弹片击穿的各情况的概率解：设B：“坦克被弹片击穿”:“大弹片击中坦克”，则=0.1:“中弹片击中坦克